Cette thèse porte sur les techniques d'analyse formelle de systèmes hybrides à dynamiques continues non linéaire. Ses contributions portent sur les algorithmes d'atteignabilité et sur les problèmatiques liées à la representation des ensembles atteignables. This thesis deals with formal analysis of hybrid system with non linear continous dynamic. It contributes to the fields of reachability analysis algorithm and the set representation.

Cette thèse porte sur les techniques d'analyse formelle de systèmes hybrides à dynamiques continues non linéaire. Ses contributions portent sur les algorithmes d'atteignabilité et sur les problèmatiques liées à la representation des ensembles atteignables. This thesis deals with formal analysis of hybrid system with non linear continous dynamic. It contributes to the fields of reachability analysis algorithm and the set representation. / In this thesis, we presented our contributions to the formal analysis of dynamical systems. We focused on the problem of efficiently computing an accurate approximation of the reachable sets under nonlinear dynamics given by differential equations. Our aim was also to design scalable methods which can handle large systems. The first contribution of this thesis concerns the dynamic hybridization technique for a large class of nonlinear systems. We focused on the hybridization domain construction such that the linear interpolation realized in this domain ensures a desired error between the original system trajectories and those computed with the approximated system. We propose a construction method which tends to maximize the domain volume which reduce the number of creation of new domains during the analysis. The second research direction that we followed concerns a subclass of nonlinear dynamical systems which are the polynomial systems. Our results for the reachability analysis of these systems are based on the Bernstein expansion properties. We approximate an initial reachability computation (which requires solving polynomial optimization problems) with an accurate over-approximation (which requires solving linear optimization problems). The last theoretical contribution concerns the reachability analysis of linear systems with polyhedral input which often result from approximation of nonlinear systems. We proposed a technique to refine

L’Agence nationale pour la gestion des déchets radioactifs (l’Andra) en France propose un nouveau type de voussoirs de tunnel pour les ouvrages très profonds. Pour éviter des segments de tunnel trop épais, ils proposent d’intégrer une couche de matériau granulaire sur l’extrados d’un voussoir moins épais. Cette approche prétend utiliser la grande compressilibité de la couche granulaire constituée de particules broyables et les transferts de charge interne au matériau granulaire pour réduire l’épaisseur du voussoir tout en gardant des performances mécaniques importantes. Un segment de tunnel avec une telle conception est appelé un VMC monobloc compressible (brevet en instance de l’Andra & CMC). Il s’agit d’un nouveau type de revêtement de tunnel particulièrement innovant.Cette thèse est consacrée à la création d’un modèle numérique capable de reproduire le comportement mécanique d’un couche granulaire très compressible à l’aide de la méthode aux éléments discrets (DEM) en 3D. Le milieu granulaire est constitué de particules d’argile cylindriques creuses appelées textitcoques. Chaque coque est un tube de 2 cm de long avec un diamètre de 2 cm. La faible épaisseur de la coque cylindrique la rend essentiellement constituée de vide entourée d’une fine couche d’argile. Dans le modèle, un cluster sécable (la coque) est généré à l’aide de clumps sphéro-polyédriques allon- gées . Ces clumps, appelés secteurs, sont associés entre eux en utilisant deux lois de contact adhésives. Si la combinaison des forces de contact normales et tangentielles satisfait un critère de charge spécifique, la coque se casse au niveau de l’interface entre les deux secteurs. L’outil DEM Rockable mis au point pour cette recherche peut fonctionner sur ces particules fragiles. Les propriétés mécaniques des coques, composé de 12 à 24 secteurs, sont ajustées à l’aide d’essais de compression radiale uniaxiale (verticale). Les expériences à l’échelle du grain sur les coques en argile cuite ont servi de référence. Nous avons déterminé la plage réelle de rupture et sa distribution statistique (Weibull). Les paramètres numériques et mécanique ainsi obtenus ont été validés avec succès dans le cas de la compression radiale d’une coque contrainte latéralement.Dans un premier temps, l’étude des assemblages de coques porte sur la caractérisation expérimen- tale des échantillons avec un controle sur les variables d’état initiales telles que la densité et l’orienta- tions des coques. La reconstruction 3D à partir de tomographies à rayons X d’échantillons de coques carottés dans l’extrados d’un voussoir nous a permis de caractériser l’anisotropie de l’orientation des particules. Il s’agit là d’une information précieuse pour la génération d’échantillons numériques ayant les caractéristiques initiales pertinentes. Deuxièmement, des simulations DEM de compressions oedo- métriques sur des échantillons de ⟨2 000⟩ coques sont réalisées. Une étude paramétrique permet de mettre en évidence le rôle des variables d’état initiales. Un ensemble bien choisi de variables initiales et des paramètres DEM correctement adaptés permettent d’obtenir des simulations prédictives pertinentes pour une comparaison avec les expériences de laboratoire. Une analyse micro-mécanique de l’effet de la proportion des grains cassés sur les contraintes locales exercées sur les coques (et les fragments) est effectuée. Il est observé que la rupture des coques entraîné une compressibilité élevée du matériau. Par conséquent, la réponse mécanique en déformation est considérée comme une conséquence directe de l’évolution de la rupture des particules. Pour finir, un modèle analytique de prédiction de la re- lation Contrainte↔Déformation est proposé dans le cas de la compression oedométrique. Ce modèle prédictif tient compte des variables internes du milieu granulaire comme la résistance mécanique en compression des coques. / The National Agency for Radioactive Waste Management (FR Andra) in France suggested a new way to design a tunnel lining, especially, beneficial in the case of very deep tunnels. To avoid very thick tunnel segments, they propose to integrate a layer of granular material on the extrados of the thinner lining. This approach takes the advantages of the compressible capacity of the crushable particles and the load transfer in the granular material. A tunnel segment with such design is called a Mono-block Compressible Arch-segment VMC (Andra’s & CMC’s pending patent) and is an innovative new type of tunnel linings.This PhD dissertation is dedicated to the creation of a numerical model capable of reproducing the mechanical behaviour of this compressible granular layer using 3D Discrete Element Method (DEM). The granular packing is made of the brittle hollow coarse-size cylindrical particles, called shells. Each shell is a 2 cm long tube with a diameter of 2 cm. Its small thickness makes the cylindrical shell mainly made of void surrounded by a thin layer of clay. In the model, a breakable cluster (shell) is generated using sphero-polyhedral elongated clumps. These clumps, called sectors, are glued together using two adhesive contact force laws. If the combination of the normal and tangential contact forces exceeds a suitable failure criterion, a de-clustering of the shell (breakage) occurs. The DEM tool Rockable devel- oped for this research can operate on such crushable particles. The mechanical properties of the shell model, composed of 12 to 24 sectors, are adjusted in the case of a uniaxial (vertical) radial compres- sion of shells. The preceding grain-scale experiments on the true shells made of baked clay serve as a reference. We determine the true range of the failure tensile load and its statistical Weibull distribu- tion. The user-specified parameters is then successfully validated in the case of radial compression of a horizontally constrained shell.Firstly, the macroscopic study of shell assemblies focuses on the experimental characterisation of the samples with a control of the initial state variables like a number density and a spatial arrangement of shells (shells orientations). 3D reconstruction from X-ray tomographies of the original coated shells samples extracted from the extrados of a tunnel segment help us to characterise the anisotropy of the shells orientation. This is a piece of valuable information to the generation the numerical samples of shells with relevant initial features. Secondly, a series of DEM oedometric tests on ⟨1 000 : 2 000⟩ shells is simulated. A parametric study successfully leads to the understanding of each internal state variable role. A well-chosen set of initial variables with properly adapted DEM parameters give the relevant predictive simulations for a final comparison with the experimental oedometer tests. Thanks to a discrete insight into the micromechanics, the evolutions of the breakage level, the orientation anisotropy and the local stresses exerted on the shells (and/or the fragments) are quantified during the compression. The breakage of the shells result in high compressibility of the material. Therefore, the mechanical response is seen as a consequence of the breakage evolution. Finally, an analytical model is suggested in order to predict the Stress↔Void ratio relationship knowing the initial state of the sample and the tensile strength of the constituents: the shells.