Dans cet ouvrage, on présente une généralisation des polynômes symétriques de Jack, les superpolynômes de Jack N = 2, et on discute de ses connections avec le modèle Calogero-Moser-Sutherland trigonométrique (tCMS) supersymétrique N = 2. On fait d’abord une brève introduction à la théorie des polynômes symétriques pour ensuite définir le polynôme symétrique de Jack. On le définit de trois façons : combinatoirement, en tant que fonction propre du modèle tCMS et comme le résultat de la symétrisation du polynôme de Jack non symétrique. On introduit ensuite la théorie des superpolynômes symétriques N = 1. Le superpolynôme de Jack est alors défini selon les trois mêmes approches adaptées au superespace. On procède ensuite à la construction des superpolynômes N = 2 et à la construction du modèle tCMS avec deux supersymétries, à la suite de quoi les quantités conservées du modèle sont présentées. Ultimement, on pose une première définition des superpolynômes de Jack N = 2. On montre alors que ceux-ci sont les fonctions propres du modèle tCMS N = 2 et de ses quantités conservées. On obtient auxiliairement une définition combinatoire de ces superpolynômes qui est conjecturée équivalente à la première. / We present a generalization of the symmetric Jack polynomial, the N = 2 symmetric Jack superpolynomial, and discuss its links with the N = 2 supersymmetric extension of the trigonometric Calogero-Moser-Sutherland (tCMS) model. We first briefly review the theory of symmetric polynomials that leads us to three different definitions of the symmetric Jack polynomials: a combinatorial definition, the Jack polynomial as the eigenfunction of the tCMS model and as the result of the symmetrization of the non-symmetric Jack polynomial. We then do a brief introduction to the theory of symmetric superpolynomials. We also define the symmetric Jack superpolynomials using the superextension of the three aforementioned characterizations. After this introduction, we get to the main matter by defining the symmetric N = 2 superpolynomials. This ultimately results in a definition of the N = 2 Jack superpolynomial. We construct a N = 2 superextension of the tCMS model and find its conserved quantities. The N = 2 Jack superpolynomials are found to be the eigenfunctions of this model. As an auxiliary result, we obtain a conjecture regarding a combinatorial definition of these superpolynomials.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2008-2009 / Les polynômes de Jack sont des polynômes symétriques qui constituent les fonctions propres de l'hamiltonien du problème à N corps complètement intégrable de Calogero- Moser-Sutherland (CMS). Ces polynômes sont bien connus en physique et en mathématiques et plusieurs de leurs propriétés ont été obtenues. Entre autres, il existe des règles, nommées formules de Pieri, qui permettent de développer un produit de deux polynômes de Jack dans une combinaison linéaire de polynômes de Jack. Ces formules ont mené à l'obtention d'opérateurs différentiels analogues à des opérateurs de création qui permettent de générer ces polynômes sans avoir à diagonaliser explicitement l'hamiltonien. Dans le cadre de ce mémoire, on s'intéresse au modèle CMS supersymétrique et plus particulièrement aux généralisations des formules de Pieri. On introduit aussi quelques propriétés des superpolynômes de Jack qui seront utiles pour prouver les formules de Pieri obtenues dans le cas supersymétrique.

Ce mémoire fait état des résultats obtenus concernant les vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme dans le secteur de Ramond. Une formule explicite exprimant ces vecteurs singuliers a été obtenue en termes de superpolynômes de Jack via la représentation de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes symétriques. On présente d’abord les partitions d’entiers et les fonctions symétriques standards. Ceci permet d’introduire les fonctions propres du modèle Calogero-Sutherland (CS) en termes de polynômes de Jack qui se révèlent être une représentation efficace des vecteurs singuliers de l’algèbre conforme. Suivant cette piste, on procède à la supersymétrisation du modèle CS ce qui permet de générer les superpolynômes de Jack, polynômes symétriques dans le superespace. On présente finalement la formule explicite des vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes de Jack. / This mémoire presents results concerning the Ramond singular vectors of the superconformal algebra. An explicit formula has been obtained for the Ramond singular vectors of the superconformal algebra via its superpolynomial representation and the formula is given here in terms of Jack superpolynomials. We first present some basic elements of the integer partition and symmetric functions theories. This leads us to consider the eigenfunctions of the Calogero-Sutherland (CS) model, the Jack polynomials. These happen to be the singular vectors of the conformal algebra when represented in terms of symmetric polynomials. Given those results, we extend the CS model to the supersymmetric case and interpret its eigenfunctions as the Jack superpolynomials which are symmetric functions in superspace. We then display the explicit formula of the Ramond singular vectors of the superconformal algebra which has been obtained in terms of Jack superpolynomials.