Trois thèmes ont été poursuivis dans la thèse : -On introduit les fonctions symétriques non commutatives dans le cadre des extensions de Ore. On généralise les résultats obtenus par Gelfand, Retakh et Wilson. Notre méthode est en outre plus naturelle et évite l’utilisation des quasi déterminants. -On montre que les factorisations des polynômes de Wedderburn sont en bijection avec des drapeaux complets d’espaces vectoriels provenant de noyaux d’applications polynomiales en des transformations pseudo-linéaires. D’autres résultats, motivés par la théorie des codes, concernent la factorisation dans des anneaux de Ore construits sur des corps finis. On y montre, en particulier, comment se ramener au cas d’un anneau de polynômes classique. -On caractérise l’existence de P.P.C.M. à gauche de polynômes linéaires dans des extensions de Ore sur des anneaux quelconques. Dans ce cadre, une étude détaillée des transformations pseudo-linéaires s’est révélée, une fois encore, un outil indispensable. / Three themes have been pursued in the thesis : We introduce the noncommutative symmetric functions in the frame of Ore extensions. We generalize the results obtained by Gelfand, Retakh and Wilson. Moreover our method is more natural and avoid the use of quasideterminants. We show that the factorizations of Wedderburn polynomials are in bijection with complete flags of vector spaces coming from kernels of polynomial maps in pseudo-linear transformations. Other results, motivated by coding theory, concern the factorizations in Ore extension over finite fields. In particular, we show how to translate factorisations in these rings into factorisations in the usual polynomial rings. We characterize the existence of L.L.C.M of linear polynomials in Ore extensions over general rings. In this frame, a detailed study of pseudo-linear transformations was necessary.

L’objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l’action du groupe symétrique sur la fraction (...). En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante : (...). L’auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées a la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l’aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une q-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald / The main purpose of this document is the symmetric group. In particular, we study the two following problems. First, the symmetric group acts naturally on the rational function (…), by permuting the variables. With the help of some operations on the graphs, we give algorithms and combinatorial formulas allowing us to compute the reduced fraction (…). The author C. Greene has introduced these rational functions in the aim to generalize some identities related to the Murnaghan-Nakayama rules. We use these properties to give an original algorithm to perform partial decompositions of fractions with the help of graphs. In the second problem, we study the expansion of the even powers of the Vandermonde in several basis of symmetric functions. In this part, we give identities between symmetric functions and hyperdeterminants and we use them to obtain an hyperdeterminental expression of the coefficients in Schur’s basis. We investigate also the relation between the even powers of the Vandermonde and Jack’s functions. Finally, we introduce a q-deformation of the even powers of the Vandermonde and we relate it to some specialisations of Macdonald’s polynomials

Le quotient d'un espace vectoriel de dimension finie par l'action d'un sous-groupe fini d'automorphismes est une variété en général singulière. Sous bonnes hypothèses, la correspondance de McKay relie la géométrie de bonnes résolutions des singularités aux représentations du groupe. Pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine, nous étudions comment les différentes correspondances (McKay, McKay duale et McKay multiplicative) sont reliées les unes aux autres. A cette fin, nous calculons des formules combinatoires pour les fibrés vectoriels usuels sur le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Parallèlement à ces questions, nous étudions le comportement multiplicatif du théorème de Bridgeland, King \& Reid construisant la correspondance de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Dans une dernière partie, nous calculons les classes de Chern du fibré tangent au schéma de Hilbert de points sur le plan affine.

Ce mémoire fait état des résultats obtenus concernant les vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme dans le secteur de Ramond. Une formule explicite exprimant ces vecteurs singuliers a été obtenue en termes de superpolynômes de Jack via la représentation de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes symétriques. On présente d’abord les partitions d’entiers et les fonctions symétriques standards. Ceci permet d’introduire les fonctions propres du modèle Calogero-Sutherland (CS) en termes de polynômes de Jack qui se révèlent être une représentation efficace des vecteurs singuliers de l’algèbre conforme. Suivant cette piste, on procède à la supersymétrisation du modèle CS ce qui permet de générer les superpolynômes de Jack, polynômes symétriques dans le superespace. On présente finalement la formule explicite des vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes de Jack. / This mémoire presents results concerning the Ramond singular vectors of the superconformal algebra. An explicit formula has been obtained for the Ramond singular vectors of the superconformal algebra via its superpolynomial representation and the formula is given here in terms of Jack superpolynomials. We first present some basic elements of the integer partition and symmetric functions theories. This leads us to consider the eigenfunctions of the Calogero-Sutherland (CS) model, the Jack polynomials. These happen to be the singular vectors of the conformal algebra when represented in terms of symmetric polynomials. Given those results, we extend the CS model to the supersymmetric case and interpret its eigenfunctions as the Jack superpolynomials which are symmetric functions in superspace. We then display the explicit formula of the Ramond singular vectors of the superconformal algebra which has been obtained in terms of Jack superpolynomials.

L'objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l'action du groupe symétrique sur la fraction (...). En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante : (...). L'auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées a la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l'aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une q-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald

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Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension 2m, ! étant la forme de Kähler, ­ une forme volume donnée dans [!]m et k un entier 1 < k < m, on cherche à résoudre de façon unique dans [!] l'équation ˜ !k ^!m−k = ­ en utilisant une notion de k-positivité pour ˜ ! 2 [!] (les cas extrêmes sont résolus : k = m par Yau, k = 1 trivialement). Nous résolvons par la méthode de continuité l'équation hessienne d'ordre k complexe elliptique correspondante sous l'hypothèse que la variété est à courbure bisectionelle holomorphe non-négative, ici requise seulement pour établir un pincement a priori de valeurs propres.

Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension $2m$, $\omega $ étant la forme de Kähler, $\Omega $ une forme volume donnée dans $[\omega ]^m$ et $k$ un entier $1