Le quotient d'un espace vectoriel de dimension finie par l'action d'un sous-groupe fini d'automorphismes est une variété en général singulière. Sous bonnes hypothèses, la correspondance de McKay relie la géométrie de bonnes résolutions des singularités aux représentations du groupe. Pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine, nous étudions comment les différentes correspondances (McKay, McKay duale et McKay multiplicative) sont reliées les unes aux autres. A cette fin, nous calculons des formules combinatoires pour les fibrés vectoriels usuels sur le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Parallèlement à ces questions, nous étudions le comportement multiplicatif du théorème de Bridgeland, King \& Reid construisant la correspondance de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Dans une dernière partie, nous calculons les classes de Chern du fibré tangent au schéma de Hilbert de points sur le plan affine.

Nous construisons l'espace de modules M_θ(X) des (G,h)-constellations θ-stables sur X pour un groupe réductif G qui agit sur un schéma affine X sur C et pour une fonction de Hilbert h: Irr G → N_0. Cet espace de modules est une généralisation commune du schéma de Hilbert invariant d'après Alexeev et Brion et de l'espace de modules des G-constellations θ-stables pour un groupe fini G introduit par Craw et Ishii. Notre construction d'un morphisme M_θ(X) → X//G fait de cet espace de modules un candidat pour une résolution des singularités du quotient X//G. De plus, nous déterminons le schéma de Hilbert invariant de la fibre en zéro de l'application moment d'une action de Sl_2 sur (C²)⁶. C'est un des premiers exemples d'un schéma de Hilbert invariant avec multiplicités. Ceci nous amène à décrire une façon générale de procéder pour effectuer de tels calculs. En outre, nous démontrons que notre schéma de Hilbert invariant est lisse et connexe : Cet exemple est donc une résolution des singularités de la réduction symplectique de l'action.

L'étude de la répartition des points rationnels ou algébriques d'une variété algébrique selon leur hauteur est un problème classique de géométrie diophantienne. Dans cette thèse, nous nous intéresserons au cardinal asymptotique de l'ensemble des points algébriques de degré fixé et de hauteur bornée d'une variété lisse de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque la borne sur la hauteur tend vers l'infini. En particulier nous montrerons que cette question peut-être reliée à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre, c'est-à-dire le cas des points rationnels, sur un schéma de Hilbert ponctuel. Nous en déduisons ainsi la distribution des points algébriques de degré fixé d'une courbe rationnelle. Lorsque la variété de départ est une surface lisse de Fano, notre étude montre que les schémas de Hilbert associés fournissent, sous certaines conditions, de nouveaux contre-exemples à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. Néanmoins, pour deux surfaces que nous étudions en détail, les schémas de Hilbert associés vérifient une version légèrement affaiblie de la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. / The study of the distribution of rational or algebraic points of an algebraic variety according to their height is a classic problem in Diophantine geometry. In this thesis, we will be interested in the asymptotic cardinality of the set of algebraic points of fixed degree and bounded height of a smooth Fano variety defined over a number field, when the bound on the height tends to infinity. In particular, we show that this can be connected to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture, i.e. the case of rational points, on some ponctual Hilbert scheme. We thus deduce the distribution of algebraic points of fixed degree on a rational curve. When the variety is a smooth Fano surface, our study shows that the associated Hilbert schemes provide, under certain conditions, new counterexamples to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture. However, in two cases detailed in this thesis, the associated Hilbert schemes satisfie a slightly weaker version of the Batyrev-Manin-Peyre conjecture.

Le travail effectué dans cette thèse consiste à construire et adapter dans d'autres cadres des objets issus de la géométrie algébrique. Nous nous intéressons d'abord à la théorie des classes de Chern pour les faisceaux cohérents. Sur les variétés projectives, elle est complètement achevée dans les anneaux de Chow grâce à l'existence de résolutions globales localement libres et se ramène formellement à la théorie pour les fibrés. Un résultat de Voisin montre que ces résolutions n'existent pas toujours sur des variétés complexes compactes générales. Nous construisons ici par récurrence sur la dimension de la variété de base des classes de Chern en cohomologie de Deligne rationnelle pour les faisceaux analytiques cohérents en imposant la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions et en utilisant des méthodes de dévissage. Ces classes sont les seules à vérifier la formule de fonctorialité par pull-back, la formule de Whitney et la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions; elles coïncident donc avec les classes topologiques et les classes d'Atiyah. Elles vérifient aussi le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch pour les morphismes projectifs. Notre second travail est l'étude des schémas de Hilbert ponctuels d'une variété symplectique ou presque complexe de dimension 4. Ils ont été construits par Voisin et généralisent les schémas de Hilbert connus pour les surfaces projectives. En utilisant les structures complexes relatives intégrables introduites dans la construction de Voisin, nous pouvons étendre au cas presque complexe ou symplectique la théorie classique. Nous calculons les nombres de Betti, nous construisons les opérateurs de Nakajima, nous étudions l'anneau de cohomologie et la classe de cobordisme de ces schémas de Hilbert, et nous prouvons dans ce contexte un cas particulier de la conjecture de la résolution crêpante de Ruan.

Nous allons étudier les automorphismes des variétés symplectiques holomorphes irréductibles de type K3^[n], c'est-à-dire des variétés équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de n points sur une surface K3, pour n > 1.Dans la première partie de la thèse, nous classifions les automorphismes du schéma de Hilbert de n points sur une surface K3 projective générique, dont le réseau de Picard est engendré par un fibré ample. Nous montrons que le groupe des automorphismes est soit trivial soit engendré par une involution non-symplectique et nous déterminons des conditions numériques et géométriques pour l’existence de l’involution.Dans la deuxième partie, nous étudions les automorphismes non-symplectiques d’ordre premier des variétés de type K3^[n]. Nous déterminons les propriétés du réseau invariant de l'automorphisme et de son complément orthogonal dans le deuxième réseau de cohomologie de la variété et nous classifions leurs classes d’isométrie. Dans le cas des involutions, e des automorphismes d’ordre premier impair pour n = 3, 4, nous montrons que toutes les actions en cohomologie dans notre classification sont réalisées par un automorphism non-symplectique sur une variété de type K3^[n]. Nous construisons explicitement l’immense majorité de ces automorphismes et, en particulier, nous présentons la construction d’un nouvel automorphisme d’ordre trois sur une famille de dimension dix de variétés de Lehn-Lehn-Sorger-van Straten de type K3^[4]. Pour n < 6, nous étudions aussi les espaces de modules de dimension maximal des variétés de type K3^[n] munies d’une involution non-symplectique. / We study automorphisms of irreducible holomorphic symplectic manifolds of type K3^[n], i.e. manifolds which are deformation equivalent to the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, for some n > 1. In the first part of the thesis we describe the automorphism group of the Hilbert scheme of n points on a generic projective K3 surface, i.e. a K3 surface whose Picard lattice is generated by a single ample line bundle. We show that, if it is not trivial, the automorphism group is generated by a non-symplectic involution, whose existence depends on some arithmetic conditions involving the number of points n and the polarization of the surface. We also determine necessary and sufficient conditions on the Picard lattice of the Hilbert scheme for the existence of the involution.In the second part of the thesis we study non-symplectic automorphisms of prime order on manifolds of type K3^[n]. We investigate the properties of the invariant lattice and its orthogonal complement inside the second cohomology lattice of the manifold, providing a classification of their isometry classes. We then approach the problem of constructing examples (or at least proving the existence) of manifolds of type K3^[n] with a non-symplectic automorphism inducing on cohomology each specific action in our classification. In the case of involutions, and of automorphisms of odd prime order for n=3,4, we are able to realize all possible cases. In order to do so, we present a new non-symplectic automorphism of order three on a ten-dimensional family of Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfolds of type K3^[4]. Finally, for n < 6 we describe deformation families of large dimension of manifolds of type K3^[n] equipped with a non-symplectic involution.

Dans ce travail, nous classifions les automorphismes non-symplectiques des variétés équivalentes par déformations à des variétés de Kummer généralisées de dimension 4, ayant une action d'ordre premier sur le réseau de Beauville-Bogomolov. Dans un premier temps, nous donnons les lieux fixes des automorphismes naturels de cette forme. Par la suite, nous développons des outils sur les réseaux en vue de les appliquer à nos variétés. Une étude réticulaire des tores complexes de dimension 2 permet de mieux comprendre les automorphismes naturels sur les variétés de type Kummer. Nous classifions finalement tous les automorphismes décrits précédemment sur ces variétés. En application de nos résultats sur les réseaux, nous complétons également la classification des automorphismes d'ordre premier sur les variétés équivalentes par déformations à des schémas de Hilbert de 2 points sur des surfaces K3, en traitant le cas de l'ordre 5 qui restait ouvert. / Ln this work, we classify non-symplectic automorphisms of varieties deformation equivalent to 4-dimensional generalized Kummer varieties, having a prime order action on the Beauville-Bogomolov lattice. Firstly, we give the fixed loci of natural automorphisms of this kind. Thereafter, we develop tools on lattices, in order to apply them to our varieties. A lattice-theoritic study of 2-dimensional complex tori allows a better understanding of natural automorphisms of Kummer-type varieties. Finaly, we classify all the automorphisms described above on thos varieties. As an application of our results on lattices, we complete also the classification of prime order automorphisms on varieties deformation-equivalent to Hilbert schemes of 2 points on K3 surfaces, solving the case of order 5 which was still open.