En hydrologie, l'étude statistique de débits est souvent concentrée sur l'analyse des valeurs extrêmes (crues et étiages). Cette étude porte sur l'analyse des crues, en considérant l'existence de la crue maximale probable (CMP), comme la limite physique supérieure du phénomène. Un appel à la fonction Bêta a été requis, étant donné que cette courbe analytique peut représenter une fonction de densité de probabilité, ayant la particularité d'avoir deux bornes, ainsi qu'en possèdent grand nombre de phénomènes naturels. Cette étude délimite les formes possibles de la fonction Bêta à partir des caractéristiques propres de l'échantillon et des limites supérieure et inférieure du phénomène. L'emploi d'une série de polynômes orthogonaux, de type Jacobi, a permis d'augmenter le degré de convergence vers la vraie fonction de densité de probabilité du phénomène. De cette façon, une amélioration dans les prévisions des crues de rivières peut ainsi être atteinte par l'utilisation de cette nouvelle méthode. En effet, pour la validation du modèle, une série de mille données aléatoires suivant une loi Bêta [0;1000] a été générée, et l'application de cette nouvelle méthode a permis un ajustement très satisfaisant. De plus, une analyse de sensibilité de la fonction Bêta-Jacobi par rapport au nombre optimum des moments à utiliser a démontré que le degré de la fonction à employer se situe entre quatre et six. Il faut cependant souligner que la grandeur de l'échantillon joue un rôle primordial dans l'accroissement de la précision du modèle Bêta - Jacobi. D'autre part, afin de rendre la méthode efficace, précise et facile à utiliser, un logiciel de ce modèle mathématique a été conçu et écrit en langage turbo Pascal (version quatre) pour microordinateur. Finalement, quelques applications pratiques ont été réalisées sur des rivières importantes de la province de Québec, au Canada; ces applications ont révélé un très bon degré d'ajustement entre la fonction de distribution expérimentale et la fonction Bêta-Jacobi. De tels résultats justifient l'applicabilité du nouveau modèle mathématique ici proposé, pour l'analyse d'événements extrêmes en hydrologie, notamment dans l'analyse des crues des rivières. / Québec Université Laval, Bibliothèque 2014

On se place dans le cadre de<br />l'estimation non paramétrique pour les problèmes inverses, où une<br />fonction inconnue subit une transformation par un opérateur<br />linéaire mal posé, et où l'on en observe une version bruitée par<br />une erreur aléatoire additive. Dans ce type de problèmes, les<br />méthodes d'ondelettes sont très utiles, et ont été largement<br />étudiées. Les méthodes développées dans cette thèse s'en<br />inspirent, mais consistent à s'écarter des bases d'ondelettes<br />"classiques", ce qui permet d'ouvrir de nouvelles perspectives<br />théoriques et pratiques. Dans l'essentiel de la thèse, on utilise<br />un modèle de type bruit blanc. On construit des estimateurs<br />utilisant des bases qui d'une part sont adaptées à l'opérateur, et<br />d'autre part possèdent des propriétés analogues à celles des<br />ondelettes. On en étudie les propriétés minimax dans un cadre<br />large, et l'on implémente ces méthodes afin d'en étudier leurs<br />performances pratiques. Dans une dernière partie, on utilise un<br />modèle de regression en design aléatoire, et on étudie les<br />performances numériques d'un estimateur reposant sur la<br />déformation des bases d'ondelettes.