Throughout the course of this thesis, we give an introduction to optimal control theory and its necessary conditions, prove Pontryagin's Maximum Principle, and present the life-cycle saving under uncertain lifetime optimal control problem. We present a very involved sensitivity analysis that determines how a change in the initial wealth, discount factor, or relative risk aversion coefficient may affect the model the terminal depletion of wealth time, optimal consumption path, and optimal accumulation of wealth path. Through simulation of the life-cycle saving under uncertain lifetime model, we are not only able to present the model dynamics through time, but also to demonstrate the feasibility of the model.

Le contexte général de cette thèse est l’étude de problèmes inverses et directs en théorie du contrôle. Plus précisément, les trois problèmes étudiés sont les suivants.Le premier est un problème de contrôle optimal (approche directe). Il s’agit de fournir la synthèse temps minimum du modèle cinématique d'un drone volant à altitude constante, de vitesse linéaire non nécessairement constante voulant rejoindre une trajectoire circulaire de rayon de courbure minimum.Le deuxième problème concerne une approche inverse du contrôle optimal. Il s’agit d’élaborer des méthodes théoriques de reconstruction du critère optimisé dans un problème de contrôle optimal à partir d’un ensemble de solutions à ce problème, ainsi que caractériser les "bons" ensembles de trajectoires permettant la reconstruction du critère. Le contrôle optimal inverse connait un regain d’intérêt depuis une quinzaine d’années, en particulier dans l’étude des comportements moteurs humains. En effet, selon un paradigme largement accepté en neurophysiologie, parmi tous les mouvements possibles ceux effectivement réalisés sont solutions d’un processus d’optimisation.Le troisième problème traite de stabilisation par retour de sortie. Nous analysons, à travers un exemple académique tiré du contrôle quantique, le problème de stabilisation par retour de sortie (à l’aide d’un observateur) lorsque le point où l'on souhaite stabiliser le système correspond à un contrôle qui rend le système inobservable. L’idée générale est de perturber le retour d’état stabilisant afin de garantir l’observabilité du système tout en stabilisant le système sur la cible. L’analyse de cet exemple académique nous permet dans un second temps de dégager une méthode générale pouvant s’appliquer à une classe de système beaucoup plus large. / The overall context of this thesis is the study of inverse and direct problems in control theory. More specifically, the following three problems are studied.The first one is an optimal control problem (direct approach). The aim is to give a time minimum systhesis fora kinematic model of a UAV flying at constant altitude with positive (non-necessarily constant) linear velocityin order to steer it to a fixed circle of minimum turning radius.The second problem deals with an inverse approach of optimal control. The aim is to develop theoretical methods in order to reconstruct the minimized criterion in an optimal control problem from a set of solution to this problem. The aim is also to characterize the « good » sets of trajectories leading to the reconstruction of the criterion. In the last fifteen years, there has been a renewed interest in inverse optimal control, especially inhuman motor behavior. Indeed, according to a well accepted paradigm in neurophysiology, among all possible movements, those actually accomplished are solutions of an optimization process.The third problem tackles output feedback stabilization. We analyze, via a simple academic example from quantum control, the problem of dynamic output feedback stabilization, when the point where we want to stabilize corresponds to a control value that makes the system unobservable. The general idea is to perturb the stabilizing state feedback in order to ensure the observability of the system while stabilizing it to the target.The analysis of this example allows, secondly, to identify a general procedure that can be applied to a widerclass of systems.

Le premier chapitre de ce mémoire porte sur l'étude des minimum forts pour des problèmes de contrôle optimal gouvernés par des EDP semi-linéaires elliptiques et paraboliques avec contraintes intégrales sur l'état final. Le second chapitre porte sur l'étude du problème de temps minimal pour un système de type chemostat en présence de points singuliers stationnaires. On y étudie également un problème de contrôle optimal pour un système chemostat avec deux espèces en compétition et qui comporte une courbe de non-contrôlabilité. Le troisième chapitre s'intéresse à la synthèse d'un contrôle optimal par retour d'état pour un problème de temps minimal issu d'un système fed-batch, notamment en présence d'un contrôle impulsionnel. Le quatrième chapitre étudie deux problèmes de contrôle optimal sous contraintes d'état périodiques. Enfin, le dernier chapitre traite de problèmes d'optimisation de forme géométriques sous contraintes de convexité. Cette dernière est formulée comme une contrainte semi-définie, ce qui permet ensuite d'utiliser la programmation SDP pour minimiser la fonction coût.

La propulsion des véhicules électriques hybrides parallèles est généralement assurée par un moteur à combustion interne combiné à une machine électrique réversible. Les flux de puissance entre ces deux organes de traction sont déterminés par un algorithme de supervision, qui vise à réduire la consommation de carburant et éventuellement les émissions de certains polluants. Dans la littérature, la théorie de la commande optimale est maintenant reconnue comme étant un cadre puissant pour l’élaboration de lois de commande pour la gestion énergétique des véhicules full-hybrides. Ces stratégies, dénommée « Stratégies de Minimisation de la Consommation Equivalente » (ECMS) sont basée sur le principe du Maximum de Pontryagin. Pour démontrer l’optimalité de l’ECMS, on doit supposer que les limites du système de stockage ne sont pas atteintes durant le cycle de conduite. Il n’est plus possible de faire cette hypothèse lorsque l’on considère les véhicules micro et mild hybrides étudiés dans cette thèse car la variable d’état atteint généralement plusieurs fois les bornes. Des outils mathématiques adaptés à l’étude des problèmes de commande avec contraintes sur l’état sont présentés et appliqués à deux problèmes en lien avec la gestion énergétique. Le premier problème consiste à déterminer le profil optimal de la tension aux bornes d’un pack d’ultra-capacités. Le second problème se concentre sur un système électrique intégrant deux stockeurs. L’accent est mis sur l’étude des conditions d’optimalités valables lorsque les contraintes sur l’état sont actives. Les conséquences de ces conditions pour la commande en ligne sont mises en avant et exploitées afin de concevoir une commande en temps réel. Les performances sont évaluées à l’aide d’un prototype. Une comparaison avec une approche de type ECMS plus classique est également présentée. / Parallel hybrid electric vehicles are generally propelled by an internal combustion engine, which is combined to a reversible electric machine. The power flows between these two traction devices are determined by a supervisory control algorithm, which aims at reducing the fuel consumption and possibly some polluting emissions. In the literature, optimal control theory is now recognized as a powerful framework for the synthesis of energy management strategies for full hybrid vehicles. These strategies are referred to as “Equivalent Consumption Minimization Strategies” (ECMS) and are based on the Pontryagin Maximum Principle. To demonstrate the optimality of ECMS, it must be assumed that the storage system limits are not reached during the drive cycle. This hypothesis cannot be made anymore when considering the micro and mild hybrid vehicles studied in this thesis because the state variable generally reaches several times the boundaries. Some mathematical tools suitable for the study of state constrained optimal control problems are introduced and applied to two energy management problems. The first problem consists in determining the optimal profile of the voltage across a pack of ultra-capacitors. The second problem focuses on a dual storage system. The stress is put on the study of the optimality conditions holding in case of active state constraints. Some consequences of these conditions for the online control are pointed out are exploited for the design of a real-time controller. Its performances are assessed using a demonstrator vehicle. A comparison with a classical ECMS-based approach is also provided.

As equações do modelo bidimensional de veículos autônomos subaquáticos fornecem um exemplo de sistema de controle não linear com o qual podemos ilustrar propriedades da teoria de controle ótimo. Apresentamos, sistematicamente, como os conceitos de formalismo hamiltoniano e teoria de Lie aparecem de forma natural neste contexto. Para tanto, estudamos brevemente o Princípio do Máximo de Pontryagin e discutimos características de sistemas afins. Tratamos com cuidado do Fenômeno Fuller, fornecendo critérios para decidir quando ele está ou não presente em junções, utilizando para isso uma linguagem algébrica. Apresentamos uma abordagem numérica para tratar problemas de controle ótimo e finalizamos com a aplicação dos resultados ao modelo bidimensional de veículo autônomo subaquático. / The equations of the two-dimensional model for autonomous underwater vehicles provide an example of a nonlinear control system which illustrates properties of optimal control theory. We present, systematically, how the concepts of the Hamiltonian formalism and the Lie theory naturally appear in this context. For this purpose, we briefly study the Pontryagin\'s Maximum Principle and discuss features of affine systems. We treat carefully the Fuller Phenomenon, providing criteria to detect its presence at junctions with an algebraic notation. We present a numerical approach to treat optimal control problems and we conclude with an application of the results in the bidimesional model of autonomous underwater vehicle.

As equações do modelo bidimensional de veículos autônomos subaquáticos fornecem um exemplo de sistema de controle não linear com o qual podemos ilustrar propriedades da teoria de controle ótimo. Apresentamos, sistematicamente, como os conceitos de formalismo hamiltoniano e teoria de Lie aparecem de forma natural neste contexto. Para tanto, estudamos brevemente o Princípio do Máximo de Pontryagin e discutimos características de sistemas afins. Tratamos com cuidado do Fenômeno Fuller, fornecendo critérios para decidir quando ele está ou não presente em junções, utilizando para isso uma linguagem algébrica. Apresentamos uma abordagem numérica para tratar problemas de controle ótimo e finalizamos com a aplicação dos resultados ao modelo bidimensional de veículo autônomo subaquático. / The equations of the two-dimensional model for autonomous underwater vehicles provide an example of a nonlinear control system which illustrates properties of optimal control theory. We present, systematically, how the concepts of the Hamiltonian formalism and the Lie theory naturally appear in this context. For this purpose, we briefly study the Pontryagin\'s Maximum Principle and discuss features of affine systems. We treat carefully the Fuller Phenomenon, providing criteria to detect its presence at junctions with an algebraic notation. We present a numerical approach to treat optimal control problems and we conclude with an application of the results in the bidimesional model of autonomous underwater vehicle.

The PhD presents a combined approach to improving individual car efficiency. An optimal observer, the Extended Kalman Filter, is used to create an efficiency model for the car. Particular attention was paid to handling the asynchronous and redundant nature of the measurement data. A low-cost sensor suite developed to measure data is described. This sensor suite was installed on multiple vehicles to good success. It employsan accelerometer, gps, fuel injector timer, and Vss input to measure all the data necessary to reconstruct the car's state. This observer and sensor suite can be used as the base for any study which requires car efficiency maps, allowing research to proceed without manufacturer supplied data. Once the efficiency map is found, it is then curve-fitted in order to reduce model complexity. The simplified model is then used as a basis for optimal control through Pontryagin's Maximum Principle. Real-world test results are given, both for efficiency mapping, and for optimal control. Detailed discussion of the observer and controller is presented, in order to ease understanding and save implementation time

Ce mémoire de thèse présente une méthode permettant d'améliorer laconduite automobile. Le filtre de Kalman étendu est utilisé pour identifierun modèle de la voiture. Ce filtre est particulièrement étudié afin de prendreen compte la redondance des informations et leur mesure asynchrone.Un ensemble cohérent et bon marché de capteurs - incluant accéléromètres,GPS, temps d'ouverture des injecteurs et vitesse - a été développé et installédans plusieurs véhicules. Ces mesures sont utilisées afin de reconstituer lafonction d'efficacité du moteur. Cette méthodologie peut-être utilisée pourtoute étude requérant la connaissance de cette fonction.La fonction d'efficacité est approchée par une fonction polynomiale etle modèle obtenu est la base d'une optimisation utilisant le principe dumaximum de Pontryagin.Les résultats des tests en condition réelle sont donnés et montrent l'efficicacité de l'observateur et du contrôleur / The PhD presents a combined approach to improving individual car efficiency. An optimal observer, the Extended Kalman Filter, is used to create an efficiency model for the car. Particular attention was paid to handling the asynchronous and redundant nature of the measurement data. A low-cost sensor suite developed to measure data is described. This sensor suite was installed on multiple vehicles to good success. It employsan accelerometer, gps, fuel injector timer, and Vss input to measure all the data necessary to reconstruct the car's state. This observer and sensor suite can be used as the base for any study which requires car efficiency maps, allowing research to proceed without manufacturer supplied data. Once the efficiency map is found, it is then curve-fitted in order to reduce model complexity. The simplified model is then used as a basis for optimal control through Pontryagin's Maximum Principle. Real-world test results are given, both for efficiency mapping, and for optimal control. Detailed discussion of the observer and controller is presented, in order to ease understanding and save implementation time

L'objectif de cette thèse est principalement d'appliquer la théorie du contrôle optimal à des problématiques que soulèvent la maladie du diabète et celle de la propagation de la rumeur sur les réseaux sociaux.Pour la première application, à savoir la maladie du diabète, nous développons deux études. Dans une première étude, à un modèle qui examine les diabétiques avec et sans complications, nous associons un problème de contrôle optimal. Nous montrons qu'il n'existe pas de comportement cyclique entre le groupe des diabétiques avec complications et celui des diabétiques sans complications, et que le point d'équilibre associé au problème existe et est un point selle. Dans une seconde étude, nous modifions un modèle de glucose-insuline à temps différé par l'ajout d'actions extérieures avec retard. Puis, pour minimiser la glycémie d'un diabétique, nous les contrôlons séparément puis simultanément, afin d'en donner une caractérisation à l'aide du principe du maximum de Pontryagin.Pour la deuxième application, la problématique de la propagation de la rumeur sur les réseaux sociaux, nous proposons aussi deux approches. Premièrement, nous mettons en place des stratégies optimales, par l'ajout d'actions extérieures sur un modèle d'e-rumeur de type SIR que nous contrôlons séparément puis simultanément, pour minimiser la propagation d'une fausse information. Et, dans une deuxième approche, nous construisons un nouveau modèle d'e-rumeur pour lequel nous étudions les points d'équilibres admissibles en mettant en évidence leurs conditions de stabilité, ainsi que les critères de persistance du modèle. / The aim of this thesis is mainly to apply optimal control theory to problems raised by diabetes disease and the spread of rumors on social networks.For the first application, namely diabetes disease, we develop two studies. In a first one, from a model that examines diabetics with and without complications, we associate an optimal control problem. We show that there is no cyclical behavior between the group of diabetics with complications and the one without complications, and that the associated equilibrium point exists and is a saddle point. In a second study, we modify a model of delayed glucose-insulin by adding external actions with delay. Then, in order to minimize the glycemia of a diabetic, we control them separately and simultaneously in order to give a characterization of the optimal actions with the Pontryagin maximum principle.For the second application, the issue of spreading rumors on social networks, we also give two approaches. First, we introduce some optimal strategies, by adding external actions on a e-rumor model of SIR type that we control separately and simultaneously to minimize the spread of fake news. Then, in a second approach, we build a new e-rumor model for which we study the admissible equilibrium points by highlighting their stability conditions, as well as the criteria of persistence of the model.

Orientador: Valeriano Antunes de Oliveira / Resumo: Neste trabalho, primeiramente, serão apresentados problemas de otimização nos quais a função objetivo é de múltiplas variáveis e de valor intervalar e as restrições de desigualdade são dadas por funcionais clássicos, isto é, de valor real. Serão dadas as condições de otimalidade usando a E−diferenciabilidade e, depois, a gH−diferenciabilidade total das funções com valor intervalar de várias variáveis. As condições necessárias de otimalidade usando a gH−diferenciabilidade total são do tipo KKT e as suficientes são do tipo de convexidade generalizada. Em seguida, serão estabelecidos problemas de controle ótimo nos quais a funçãao objetivo também é com valor intervalar de múltiplas variáveis e as restrições estão na forma de desigualdades e igualdades clássicas. Serão fornecidas as condições de otimalidade usando o conceito de Lipschitz para funções intervalares de várias variáveis e, logo, a gH−diferenciabilidade total das funções com valor intervalar de várias variáveis. As condições necessárias de otimalidade, usando a gH−diferenciabilidade total, estão na forma do célebre Princípio do Máximo de Pontryagin, mas desta vez na versão intervalar. / Abstract: In this work, firstly, it will be presented optimization problems in which the objective function is interval−valued of multiple variables and the inequality constraints are given by classical functionals, that is, real−valued ones. It will be given the optimality conditions using the E−differentiability and then the total gH−differentiability of interval−valued functions of several variables. The necessary optimality conditions using the total gH−differentiability are of KKT−type and the sufficient ones are of generalized convexity type. Next, it will be established optimal control problems in which the objective function is also interval−valued of multiple variables and the constraints are in the form of classical inequalities and equalities. It will be furnished the optimality conditions using the Lipschitz concept for interval−valued functions of several variables and then the total gH−differentiability of interval−valued functions of several variables. The necessary optimality conditions using the total gH−differentiability is in the form of the celebrated local Pontryagin Maximum Principle, but this time in the intervalar version. / Doutor