Title: Goppa codes and their applications Author: Bc. Jaroslav Kotil Department: Department of algebra Supervisor: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. Abstract: In this diploma paper we introduce Goppa codes, describe their para- metres and inclusion in Alternant codes, which are residual Generalized Reed- Solomon codes, and Algebraic-geometry codes. Aftewards we demonstrate deco- ding of Goppa codes and introduce Wild Goppa codes. We also describe post- quantum cryptography member: McEliece cryptosystem for which no effective attacks with quantum computers are known. We outline a usage of this crypto- system with Goppa codes and describe the security of the cryptosystem together with possible attacks of which the most effective ones are based on information- set decoding. Keywords: Goppa codes, Generalized Reed-Solomon codes, Algebraic-geometry codes, Post-quantum cryptography, McEliece cryptosystem 1

The Signal protocol can be considered state-of-the-art when it comes to secure messaging, but advances in quantum computing stress the importance of finding post-quantum resistant alternatives to its asymmetric cryptographic primitives. The aim is to determine whether existing post-quantum cryptography can be used as a drop-in replacement for the public-key cryptography currently used in the Signal protocol and what the performance trade-offs may be. An implementation of the Signal protocol using commutative supersingular isogeny Diffie-Hellman (CSIDH) key exchange operations in place of elliptic-curve Diffie-Hellman (ECDH) is proposed. The benchmark results on a Samsung Galaxy Note 8 mobile device equipped with a 64-bit Samsung Exynos 9 (8895) octa-core CPU shows that it takes roughly 8 seconds to initialize a session using CSIDH-512 and over 40 seconds using CSIDH-1024, without platform specific optimization. To the best of our knowledge, the proposed implementation is the first post-quantum resistant Signal protocol implementation and the first evaluation of using CSIDH as a drop-in replacement for ECDH in a communication protocol.

Os sistemas criptográficos de chave pública amplamente utilizados hoje em dia tem sua segurança baseada na suposição da intratabilidade dos problemas de fatoração de inteiros e do logaritmo discreto, sendo que ambos foram demonstrados inseguros sob o advento dos computadores quânticos. Sistemas criptográficos baseados em Multivariáveis Quadráticas (MQ) utilizam como base o problema MQ, que consiste em resolver um sistema de equações polinomiais multivariáveis quadráticas sobre um corpo finito. O problema MQ foi provado como sendo NP-completo e até hoje não se conhece algoritmo, nem mesmo quântico, de tempo polinomial que possa resolver o problema, fazendo com que sistemas criptográficos baseados nesta primitiva mereçam ser investigados e desenvolvidos como reais candidatos a proverem nossa criptografia pós-quântica. Durante a CRYPTO\'2011 Sakumoto, Shirai e Hiwatari introduziram dois novos protocolos de identificação baseados em polinômios multivariáveis quadráticos, os quais chamamos de MQID-3 e MQID-5, e que em especial e pela primeira vez, tem sua segurança reduzida apenas ao problema MQ. Baseados nestas propostas iremos apresentar uma versão aprimorada do protocolo MQID-3 na qual teremos uma redução da comunicação necessária em aproximadamente 9%. / The public-key cryptography widely used nowadays have their security based on the assumption of the intractability of the problems of integer factorization and discrete logarithm, both of which were proven unsafe in the advent of quantum computers. Cryptographic systems based on Multivariate Quadratic polynomials (MQ) are based on the MQ problem, which consists in solve a system of multivariate quadratic polynomials over a finite field. The MQ problem has been proven NP-complete and so far no polynomial time algorithm is known, not even quantum, which would resolve this problem, making worthwhile to be investigated and developed as a real candidate to provide post-quantum cryptography. In CRYPTO\'2011 Sakumoto, Shirai and Hiwatari introduced two new identification protocols based on multivariate quadratic polynomials, which we call MQID-3 and MQID-5, in particular, for the first time, their security is based only on the MQ problem. Using these proposals, we will present an improved version of the protocol MQID-3 that reduces communication by approximately 9%.

Hash-based signature schemes are a class of post-quantum algorithms that usually consist of hash-trees built upon OTS solutions. These schemes have small key sizes, eficient processing and are simple to implement, while their security properties rely basically on the pre-image or collision resistance of the their underlying hash function. Despite such advantages, however, they have relatively large signature sizes compared to traditional signature algorithms. One way of tackling this issue is to reduce the sizes of their underlying OTS algorithms. Besides that, in applications where signature verifications are done much more frequently than signature generation (e.g. trusted software distribution), it is desirable that signature verification has less overhead than signature generation. In this work, two contributions are presented to tackle these issues. The first one is a probabilistic technique that, with negligible processing overhead, allows reductions in the underlying OTS signature sizes; namely, up to 12.5% average size reduction can be achieved depending on the w parameter chosen for the signature (however, for w = 4 the reduction is only 0.2%). The second contribution is a novel OTS scheme which has all advantages of W-OTS and W-OTS+ and yet has much faster signature verification times at the cost of slightly slower signature generation times. / Esquemas de assinaturas baseadas em hash são uma classe de algoritmos pós-quânticos que basicamente consistem em árvores de hash construídas em cima de soluções de assinaturas unitárias (OTS). Tais esquemas possuem tamanhos pequenos de chaves, processamento eficiente e são simples de se implementar, enquanto que a segurança desses esquemas baseia-se na resistência à pré-imagem ou à colisão das funções de hash utilizadas. Apesar dessas vantagens, eles possuem tamanhos de assinaturas relativamente grandes comparados aos algoritmos tradicionais de assinatura. Nesse caso, uma forma de lidar com essa questão é reduzir os tamanhos de assinatura das OTS utilizadas. Além disso, em aplicações em que se faz muito mais verificações de assinatura do que gerações de assinatura, é desejável que a vericação seja significativamente mais rápida do que a geração. Nesse trabalho, duas contribuições são apresentadas para mitigar os problemas acima mencionados. A primeira é uma técnica probabilística que permite a redução do tamanho das assinaturas nas OTS utilizadas com custo adicional de processamento desprezível, isto é, pode-se alcançar uma redução média de até 12.5% dependendo do valor de w escolhido para a assinatura (no entanto, para w = 4 a redução é de apenas 0.2%). A segunda contribuição é um esquema inovador de assinatura digital que possui todas as vantagens do W-OTS e do W-OTS+, além de possuir verificação bem mais rápida do que estes em troca de uma geração de assinatura um pouco mais lenta.

The conventional digital signature schemes widely used today may have their security threatened with the possibility of the rising of a large quantum computer. Moreover, such schemes are not entirely suitable for utilization on very constrained-resource platforms. Therefore, there is a need to look at alternatives that present reasonable security in the medium and long term, in addition to attaining acceptable performance when few resources are available. This work provides more efficient multivariate and hash-based post-quantum digital signatures and targets the deployment in scenarios like Internet of Things and Wireless Sensor Networks where the typical devices are very resource-constrained. In the context of multivariable quadratic digital signatures we describe a new technique that attempts to minimize the main drawbacks of these schemes, the large key sizes. The new technique explores certain structures compact matrix rings. Some of the analyzed matrix rings are not secure (one of the attacks runs in polynomial time). Other less compact matrix rings are investigated and they apparently do not suffer a polynomial time attack, but unfortunately are still far from deployment on very constrained platforms. On the other hand, this work describes a method for hash-based signatures providing a 2/3 reduction of the signature sizes in the Merkle-Winternitz multi-time signature scheme. In fact, the signature sizes constitute the main bottleneck of these schemes. The improvement also leads to a 2/3 reduction in the run times (key generation, signing and verifying) and in energy consumption for all these operations on an AVR ATmega128L microcontroller, typically found in Wireless Sensor Networks. This result is much more promising for the deployment in an IoT scenario. / Os esquemas convencionais de assinatura digital mais usados na atualidade têm sua segurança ameaçada com a possibilidade da construção de um computador quântico de grande porte. Ademias, tais esquemas não têm se mostrado completamente adequados para uso em plataformas com recursos computacionais extremamente escassos. Surge então a necessidade da busca por alternativas que satisfaçam as condições de segurança a médio e longo prazo, além de apresentarem desempenho razoável quando poucos recursos computacionais estão disponíveis. Este trabalho obtém assinaturas digitais pós-quânticas multivariadas quadráticas e baseadas em hash mais eficientes e tem o intuito de torna-las práticas em cenários como Internet das Coisas e Redes de Sensores Sem Fio (RSSF), caracterizados por apresentarem dispositivos com recursos computacionais limitados. No contexto de assinaturas multivariadas quadráticas, descreve-se uma nova técnica que tenta minimizar o principal gargalo desses esquemas, o grande tamanho de chaves. A nova técnica explora certos anéis matriciais com estrutura compacta. Mostra-se que alguns dos anéis analisados não são seguros (um dos ataques apresenta tempo polinomial), enquanto outros anéis menos compactos aparentam não sofrer ataque polinomial, mas infelizmente ainda não são adequados para uso em dispositivos muito restritos. Por outro lado, descreve-se um método para obter assinaturas digitais baseadas em hash que fornece redução das assinaturas para 2/3 do tamanho original do esquema multi-time Merkle-Winternitz. De fato, o tamanho das assinaturas constitui o principal gargalo desses esquemas, A melhoria também acarreta uma redução em 2/3 nos tempos de execução (geração de chave, geração de assinaturas e verificação de assinatura) e no consumo de energia para essas operações quando executadas em um microcontrolador AVR tipicamente usado em Redes de Sensores Sem Fio, o AT-mega 128L. Este resultado torna-se promissor para implantação de assinaturas baseadas em hash no cenário de Internet das Coisas.

The conventional digital signature schemes widely used today may have their security threatened with the possibility of the rising of a large quantum computer. Moreover, such schemes are not entirely suitable for utilization on very constrained-resource platforms. Therefore, there is a need to look at alternatives that present reasonable security in the medium and long term, in addition to attaining acceptable performance when few resources are available. This work provides more efficient multivariate and hash-based post-quantum digital signatures and targets the deployment in scenarios like Internet of Things and Wireless Sensor Networks where the typical devices are very resource-constrained. In the context of multivariable quadratic digital signatures we describe a new technique that attempts to minimize the main drawbacks of these schemes, the large key sizes. The new technique explores certain structures compact matrix rings. Some of the analyzed matrix rings are not secure (one of the attacks runs in polynomial time). Other less compact matrix rings are investigated and they apparently do not suffer a polynomial time attack, but unfortunately are still far from deployment on very constrained platforms. On the other hand, this work describes a method for hash-based signatures providing a 2/3 reduction of the signature sizes in the Merkle-Winternitz multi-time signature scheme. In fact, the signature sizes constitute the main bottleneck of these schemes. The improvement also leads to a 2/3 reduction in the run times (key generation, signing and verifying) and in energy consumption for all these operations on an AVR ATmega128L microcontroller, typically found in Wireless Sensor Networks. This result is much more promising for the deployment in an IoT scenario. / Os esquemas convencionais de assinatura digital mais usados na atualidade têm sua segurança ameaçada com a possibilidade da construção de um computador quântico de grande porte. Ademias, tais esquemas não têm se mostrado completamente adequados para uso em plataformas com recursos computacionais extremamente escassos. Surge então a necessidade da busca por alternativas que satisfaçam as condições de segurança a médio e longo prazo, além de apresentarem desempenho razoável quando poucos recursos computacionais estão disponíveis. Este trabalho obtém assinaturas digitais pós-quânticas multivariadas quadráticas e baseadas em hash mais eficientes e tem o intuito de torna-las práticas em cenários como Internet das Coisas e Redes de Sensores Sem Fio (RSSF), caracterizados por apresentarem dispositivos com recursos computacionais limitados. No contexto de assinaturas multivariadas quadráticas, descreve-se uma nova técnica que tenta minimizar o principal gargalo desses esquemas, o grande tamanho de chaves. A nova técnica explora certos anéis matriciais com estrutura compacta. Mostra-se que alguns dos anéis analisados não são seguros (um dos ataques apresenta tempo polinomial), enquanto outros anéis menos compactos aparentam não sofrer ataque polinomial, mas infelizmente ainda não são adequados para uso em dispositivos muito restritos. Por outro lado, descreve-se um método para obter assinaturas digitais baseadas em hash que fornece redução das assinaturas para 2/3 do tamanho original do esquema multi-time Merkle-Winternitz. De fato, o tamanho das assinaturas constitui o principal gargalo desses esquemas, A melhoria também acarreta uma redução em 2/3 nos tempos de execução (geração de chave, geração de assinaturas e verificação de assinatura) e no consumo de energia para essas operações quando executadas em um microcontrolador AVR tipicamente usado em Redes de Sensores Sem Fio, o AT-mega 128L. Este resultado torna-se promissor para implantação de assinaturas baseadas em hash no cenário de Internet das Coisas.

This work explores two methods for practical cryptography on mobile devices. The first method is a quantum-resistant key-exchange protocol proposed by Jao et al.. As the use of mobile devices increases, the deployment of practical cryptographic protocols designed for use on these devices is of increasing importance. Furthermore, we are faced with the possible development of a large-scale quantum computer in the near future and must take steps to prepare for this possibility. We describe the key-exchange protocol of Jao et al. and discuss their original implementation. We then describe our modifications to their scheme that make it suitable for use in mobile devices. Our code is between 18-26% faster (depending on the security level). The second is an highly optimized implementation of Miller's algorithm that efficiently computes the Optimal Ate pairing over Barreto-Naehrig curves proposed by Grewal et al.. We give an introduction to cryptographic pairings and describe the Tate pairing and its variants. We then proceed to describe Grewal et al.'s implementation of Miller's algorithm, along with their optimizations. We describe our use of hand-optimized assembly code to increase the performance of their implementation. For the Optimal Ate pairing over the BN-446 curve, our code is between 7-8% faster depending on whether the pairing uses affine or projective coordinates.

Les croissances constantes de l’Internet et des services associés ont conduit à des problématiques naturellement liées au domaine de la cryptographie, parmi lesquelles l’authentification et le respect de la vie privée des utilisateurs. L’utilisation désormais commune d’appareils connectés (smartphone, tablette, montre, …) comme moyen d’authentification amène à considérer la génération et/ou la gestion de clés cryptographiques par de tels appareils pour répondre à ces besoins. Les résonances cryptographiques identifiées de ces deux cas d’étude sont respectivement le domaine des Fuzzy Extractors (« Extracteurs de Flous » en français) et les schémas de signature de groupe. D’une part, cette thèse présente alors le premier Fuzzy Extractror non basé sur la distance de Hamming à être réutilisable (dans le modèle de l’oracle aléatoire non programmable). Ce faisant, nous avons alors pu concevoir un module de génération de clés cryptographiques permettant d'authentifier un utilisateur à partir des ses appareils. D’autre part, deux schémas de signature de groupe basés sur la théorie des codes, respectivement en métrique de Hamming et en métrique rang sont également proposés. Ces deux schémas constituent des alternatives crédibles aux cryptosystèmes post-quantiques équivalents basés sur les réseaux euclidiens. / Internet constant growth has naturally led to cryptographic issues such as authentication and privacy concerns. The common usage of connected devices (smartphones, tablet, watch, …) as authentication means made us consider cryptographic keys generations and/or managements from such devices to address aforementioned needs. For such a purpose, we identified fuzzy extractors and group signature schemes. On the one hand, this thesis then presents the first reusable fuzzy extractor based on set difference metric (in the nonprogrammable random oracle). In so doing, we were able to design a key generation module performing authentication from users’ devices. On the other hand, we came up with two group signature schemes, respectively based on Hamming and rank metrics, that seriously compete with post-quantum concurrent schemes based on lattices.

Os sistemas criptográficos de chave pública amplamente utilizados hoje em dia tem sua segurança baseada na suposição da intratabilidade dos problemas de fatoração de inteiros e do logaritmo discreto, sendo que ambos foram demonstrados inseguros sob o advento dos computadores quânticos. Sistemas criptográficos baseados em Multivariáveis Quadráticas (MQ) utilizam como base o problema MQ, que consiste em resolver um sistema de equações polinomiais multivariáveis quadráticas sobre um corpo finito. O problema MQ foi provado como sendo NP-completo e até hoje não se conhece algoritmo, nem mesmo quântico, de tempo polinomial que possa resolver o problema, fazendo com que sistemas criptográficos baseados nesta primitiva mereçam ser investigados e desenvolvidos como reais candidatos a proverem nossa criptografia pós-quântica. Durante a CRYPTO\'2011 Sakumoto, Shirai e Hiwatari introduziram dois novos protocolos de identificação baseados em polinômios multivariáveis quadráticos, os quais chamamos de MQID-3 e MQID-5, e que em especial e pela primeira vez, tem sua segurança reduzida apenas ao problema MQ. Baseados nestas propostas iremos apresentar uma versão aprimorada do protocolo MQID-3 na qual teremos uma redução da comunicação necessária em aproximadamente 9%. / The public-key cryptography widely used nowadays have their security based on the assumption of the intractability of the problems of integer factorization and discrete logarithm, both of which were proven unsafe in the advent of quantum computers. Cryptographic systems based on Multivariate Quadratic polynomials (MQ) are based on the MQ problem, which consists in solve a system of multivariate quadratic polynomials over a finite field. The MQ problem has been proven NP-complete and so far no polynomial time algorithm is known, not even quantum, which would resolve this problem, making worthwhile to be investigated and developed as a real candidate to provide post-quantum cryptography. In CRYPTO\'2011 Sakumoto, Shirai and Hiwatari introduced two new identification protocols based on multivariate quadratic polynomials, which we call MQID-3 and MQID-5, in particular, for the first time, their security is based only on the MQ problem. Using these proposals, we will present an improved version of the protocol MQID-3 that reduces communication by approximately 9%.

Národný inštitút pre štandardy a technológie (NIST) zahájil proces na získanie, vyhodnotenie a štandardizáciu jedného alebo viacerých kryptografických algoritmov využívajúcich verejný kľúč prostredníctvom verejnej súťaže. Cieľom tejto dimplomovej práce je naštudovať dostupné postkvantové algoritmy pre ustanovenie kľúča, ktoré boli zverejnené v treťom kole tejto súťaže. Po dôkladnej analýze a porovnaní bol jeden zo študovaných algoritmov implementovaný s využitím knižníc dostupných pre daný algoritmus, následne bol program optimalizovaný a zdokumentovaný.