Dans le problème inverse d’électrocardiographie, le cible est faire la reconstruction de l’activité électrophysiologique dans le cœur sans mesurer directement dans sa surface (sans interventions avec cathéter). Il est important remarque que en l’actualité la solution numérique du problème inverse est résolu avec le modèle quasi-statique. Ce modèle ne considère pas la dynamique du cœur et peut produire des erreurs dans la reconstruction de la solution sur la surface du cœur. Dans cette thèse, différents méthodologies était investigue pour résoudre le problème inverse d’électrocardiographie comme intelligence artificielle, et modèles dynamiques limites. Aussi, les effets de différents opérateurs en utilisant méthodes d’éléments de frontière , et méthodes d’élément finis était investigue. / In the inverse problem of electrocardiography, the target is to make the reconstruction of electrophysiological activity in the heart without measuring directly in its surface (without interventions with catheter). It is important to note that the current numerical solution of the inverse problem is solved with the quasi-static model. This model does not consider the dynamics of the heart and can cause errors in the reconstruction of the solution on the surface of the heart. This thesis investigates different methodologies was to solve the inverse problem of electrocardiography as artificial intelligence and dynamic models limits. Also, the effects of different operators using boundary element methods, finite element methods, and was investigates.

La reproduction réaliste d’environnements sonores est à ce jour un domaine actif de recherche. Ici, le cas traité est celui de la reproduction de l’environnement sonore d’une cabine d’avion en vol dans une maquette de celle-ci. Dans cette optique une connaissance la plus complète possible du milieu de reproduction ainsi que du champ de pression acoustique à reproduire est alors nécessaire. Pour ce faire la technique de résolution du problème inverse constitue un outil des plus adaptés. Le gros défaut de cette technique est sa sensibilité aux bruits de mesures inévitables dans des conditions réalistes d’expérimentation. Pour pallier à ce problème de nombreuses techniques pour le « régulariser » existent. La méthode plus particulièrement étudiée ici est celle combinant la régularisation classique de Tykhonov avec la technique du beamforming. Au travers des simulations et expériences en chambre anéchoique cette méthode est alors apparue comme étant plus efficace que la simple régularisation de Tikhonov. Pour compléter cette validation des mesures en situations moins « idéales » ont été faites comme en chambre réverbérante ou dans la cabine taille réelle d’avion du laboratoire GAUS. Ces expériences ont alors confirmé les observations faites préalablement. Parallèlement à cela, le développement d’un système de mesure a été fait ainsi que des outils nécessaires à son exploitation.

L'objectif de cette thèse est d'effectuer une étude d'identifiabilité d'un modèle épidémiologique décrit par un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) intégro-différentiel semi-linéaire de type réaction-transport. Dans ce but, nous effectuons tout d'abord une synthèse de la littérature relative aux problèmes inverses d'identifiabilité paramétrique. Nous étudions les fondements mathématiques des différentes techniques employées, en mettant en avant les natures des systèmes auxquels ces méthodes s'appliquent ou se généralisent. En dimension finie, trois méthodes se dégagent pour les systèmes d'équations différentielles ordinaires : par développement en série de Taylor, par élimination algébro-différentielle et par le biais du théorème de l'isomorphisme d'état. En dimension infinie, pour les systèmes d'EDP, deux méthodes sont couramment utilisées dans le cas linéaire : une approche spectrale et une autre reposant sur les inégalités de Carleman. Cette dernière est aussi appliquée à quelques systèmes d'EDP semi-linéaires, dans des cas particuliers où le problème d'identifiabilité peut se ramener à l'étude d'un système linéaire. Cependant, cette méthode n'est pas, ou alors difficilement, applicable à notre système du fait de la complexité de sa non-linéarité. Dans un deuxième temps, nous effectuons l'analyse d'identifiabilité du modèle épidémiologique. Nous commençons par bâtir un cadre formel d'étude d'identifiabilité s'appliquant aux systèmes d'EDP semi-linéaires. Ce cadre nécessite la connaissance d'un espace de vie de la solution du problème d'EDP. En conséquence, nous déterminons un cadre fonctionnel respectant les conditions biologiques imposées par le modèle, puis nous prouvons existence et unicité de la solution. Nous effectuons ensuite l'analyse d'identifiabilité du modèle en adaptant la méthode d'élimination algébro-différentielle. Nous obtenons des conditions suffisantes d'identifiabilité pour des classes de paramètres données. Nous discutons, interprétons et simulons numériquement les résultats obtenus.

La reproduction réaliste d’environnements sonores est à ce jour un domaine actif de recherche. Ici, le cas traité est celui de la reproduction de l’environnement sonore d’une cabine d’avion en vol dans une maquette de celle-ci. Dans cette optique une connaissance la plus complète possible du milieu de reproduction ainsi que du champ de pression acoustique à reproduire est alors nécessaire. Pour ce faire la technique de résolution du problème inverse constitue un outil des plus adaptés. Le gros défaut de cette technique est sa sensibilité aux bruits de mesures inévitables dans des conditions réalistes d’expérimentation. Pour pallier à ce problème de nombreuses techniques pour le « régulariser » existent. La méthode plus particulièrement étudiée ici est celle combinant la régularisation classique de Tykhonov avec la technique du beamforming. Au travers des simulations et expériences en chambre anéchoique cette méthode est alors apparue comme étant plus efficace que la simple régularisation de Tikhonov. Pour compléter cette validation des mesures en situations moins « idéales » ont été faites comme en chambre réverbérante ou dans la cabine taille réelle d’avion du laboratoire GAUS. Ces expériences ont alors confirmé les observations faites préalablement. Parallèlement à cela, le développement d’un système de mesure a été fait ainsi que des outils nécessaires à son exploitation.

Les techniques M/EEG permettent de déterminer les changements de l'activité du cerveau, utiles au diagnostic de pathologies cérébrales, telle que l'épilepsie. Ces techniques consistent à mesurer les potentiels électriques sur le scalp et le champ magnétique autour de la tête. Ces mesures sont reliées à l'activité électrique du cerveau par un modèle linéaire dépendant d'une matrice de mélange liée à un modèle physique. La localisation des sources, ou dipôles, des mesures M/EEG consiste à inverser le modèle physique. Cependant, la non-unicité de la solution (due à la loi fondamentale de physique) et le faible nombre de dipôles rendent le problème inverse mal-posé. Sa résolution requiert une forme de régularisation pour restreindre l'espace de recherche. La littérature compte un nombre important de travaux traitant de ce problème, notamment avec des approches variationnelles. Cette thèse développe des méthodes Bayésiennes pour résoudre des problèmes inverses, avec application au traitement des signaux M/EEG. L'idée principale sous-jacente à ce travail est de contraindre les sources à être parcimonieuses. Cette hypothèse est valide dans plusieurs applications, en particulier pour certaines formes d'épilepsie. Nous développons différents modèles Bayésiens hiérarchiques pour considérer la parcimonie des sources. En théorie, contraindre la parcimonie des sources équivaut à minimiser une fonction de coût pénalisée par la norme l0 de leurs positions. Cependant, la régularisation l0 générant des problèmes NP-complets, l'approximation de cette pseudo-norme par la norme l1 est souvent adoptée. Notre première contribution consiste à combiner les deux normes dans un cadre Bayésien, à l'aide d'une loi a priori Bernoulli-Laplace. Un algorithme Monte Carlo par chaîne de Markov est utilisé pour estimer conjointement les paramètres du modèle et les positions et intensités des sources. La comparaison des résultats, selon plusieurs scenarii, avec ceux obtenus par sLoreta et la régularisation par la norme l1 montre des performances intéressantes, mais au détriment d'un coût de calcul relativement élevé. Notre modèle Bernoulli Laplace résout le problème de localisation des sources pour un instant donné. Cependant, il est admis que l'activité cérébrale a une certaine structure spatio-temporelle. L'exploitation de la dimension temporelle est par conséquent intéressante pour contraindre d'avantage le problème. Notre seconde contribution consiste à formuler un modèle de parcimonie structurée pour exploiter ce phénomène biophysique. Précisément, une distribution Bernoulli-Laplacienne multivariée est proposée comme loi a priori pour les dipôles. Une variable latente est introduite pour traiter la loi a posteriori complexe résultante et un algorithme d'échantillonnage original de type Metropolis Hastings est développé. Les résultats montrent que la technique d'échantillonnage proposée améliore significativement la convergence de la méthode MCMC. Une analyse comparative des résultats a été réalisée entre la méthode proposée, une régularisation par la norme mixte l21, et l'algorithme MSP (Multiple Sparse Priors). De nombreuses expérimentations ont été faites avec des données synthétiques et des données réelles. Les résultats montrent que notre méthode a plusieurs avantages, notamment une meilleure localisation des dipôles. Nos deux précédents algorithmes considèrent que le modèle physique est entièrement connu. Cependant, cela est rarement le cas dans les applications pratiques. Au contraire, la matrice du modèle physique est le résultat de méthodes d'approximation qui conduisent à des incertitudes significatives. / M/EEG mechanisms allow determining changes in the brain activity, which is useful in diagnosing brain disorders such as epilepsy. They consist of measuring the electric potential at the scalp and the magnetic field around the head. The measurements are related to the underlying brain activity by a linear model that depends on the lead-field matrix. Localizing the sources, or dipoles, of M/EEG measurements consists of inverting this linear model. However, the non-uniqueness of the solution (due to the fundamental law of physics) and the low number of dipoles make the inverse problem ill-posed. Solving such problem requires some sort of regularization to reduce the search space. The literature abounds of methods and techniques to solve this problem, especially with variational approaches. This thesis develops Bayesian methods to solve ill-posed inverse problems, with application to M/EEG. The main idea underlying this work is to constrain sources to be sparse. This hypothesis is valid in many applications such as certain types of epilepsy. We develop different hierarchical models to account for the sparsity of the sources. Theoretically, enforcing sparsity is equivalent to minimizing a cost function penalized by an l0 pseudo norm of the solution. However, since the l0 regularization leads to NP-hard problems, the l1 approximation is usually preferred. Our first contribution consists of combining the two norms in a Bayesian framework, using a Bernoulli-Laplace prior. A Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithm is used to estimate the parameters of the model jointly with the source location and intensity. Comparing the results, in several scenarios, with those obtained with sLoreta and the weighted l1 norm regularization shows interesting performance, at the price of a higher computational complexity. Our Bernoulli-Laplace model solves the source localization problem at one instant of time. However, it is biophysically well-known that the brain activity follows spatiotemporal patterns. Exploiting the temporal dimension is therefore interesting to further constrain the problem. Our second contribution consists of formulating a structured sparsity model to exploit this biophysical phenomenon. Precisely, a multivariate Bernoulli-Laplacian distribution is proposed as an a priori distribution for the dipole locations. A latent variable is introduced to handle the resulting complex posterior and an original Metropolis-Hastings sampling algorithm is developed. The results show that the proposed sampling technique improves significantly the convergence. A comparative analysis of the results is performed between the proposed model, an l21 mixed norm regularization and the Multiple Sparse Priors (MSP) algorithm. Various experiments are conducted with synthetic and real data. Results show that our model has several advantages including a better recovery of the dipole locations. The previous two algorithms consider a fully known leadfield matrix. However, this is seldom the case in practical applications. Instead, this matrix is the result of approximation methods that lead to significant uncertainties. Our third contribution consists of handling the uncertainty of the lead-field matrix. The proposed method consists in expressing this matrix as a function of the skull conductivity using a polynomial matrix interpolation technique. The conductivity is considered as the main source of uncertainty of the lead-field matrix. Our multivariate Bernoulli-Laplacian model is then extended to estimate the skull conductivity jointly with the brain activity. The resulting model is compared to other methods including the techniques of Vallaghé et al and Guttierez et al. Our method provides results of better quality without requiring knowledge of the active dipole positions and is not limited to a single dipole activation.

Cette thèse porte sur l'étude de la méthode d'imagerie photoacoustique, une nouvelle modalité hybride permettant de combiner la haute résolution de l'imagerie par ultrasons et le contraste de l'imagerie optique. Nous y étudions en particulier le problème inverse associé et sa résolution : il se décompose en l'inversion de l'équation d'ondes et en celle de l'équation de diffusion optique, dont le but est de retrouver les paramètres optiques du milieu. Dans la première partie de cette étude nous développons un modèle permettant de prendre en compte les variations de la vitesse acoustique dans le milieu biologique. En effet, la plupart des méthodes d'inversion supposent une vitesse acoustique constante, ce qui est à l'origine d'erreurs dans les reconstructions. La deuxième partie de la thèse porte sur une étude mathématique du phénomène de limitation de la profondeur de l'imagerie photoacoustique. Nous calculons une estimation de stabilité du problème inverse dans le cas d'un milieu stratifié et nous montrons que la reconstruction se dégrade avec la profondeur. Nous étudions dans la dernière partie le phénomène photoacoustique en présence de nanoparticules métalliques : ces marqueurs permettent d'amplifier par des résonances le signal photoacoustique généré autour d'elles. Elles permettent ainsi une meilleure visibilité des tissus en profondeur. Nous explicitons ici le modèle mathématique de génération du signal photoacoustique, ainsi que la résolution théorique du problème inverse photoacoustique dans ce contexte. / This thesis work is related to photoacoustic imaging techniques which are new multiwave modalities in medical imaging that combine both high resolution of ultrasounds and contrast of optical methods. Weprecisely studied the inverse problem that consists of determining the optical coefficients of biologicaltissues from measurement of acoustic waves generated by the photoacoustic effect. The photoacoustic inverse problem proceeds in two steps.We first retrieve the initial pressure from the measurement of the pressure wave on a part of the boundary of the sample. The first inversion takes then the form of a linear inverse source problem and provides internal data for the optical waves that are more sensitive to the contrast of the absorption and diffusion coefficients. In a second step we recover the optical coefficients from the acquired internal data.The aim of this work is to study the two inversions in different contexts. In the first part, we develop a model that takes into account the variations of the acoustic speed in the medium. Indeed, most of the inversion methods suppose that the acoustic speed is constant, and this assumption can lead to errors in the reconstruction of the optical coefficients. The second part of this work is the derivation of stability estimates for the photoacoustic inverse problem in a layered medium. We prove that the reconstruction is getting worse with depth. This is one of the main drawbacks of the photacoustic method, the imaging depth is limited to a few centimeters. The last part is about photoacoustic generation with plasmonic nanoparticles. They enhance the photoacoustic signal around them, so that we can investigate the tissue more deeply. We derive the mathematical model of the photoacoustic generation by heating nanoparticles, and we solve the photoacoustic inverse problem in this context.

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur le thème de la modélisation et de l’aide à la décision dans le cadre des systèmes complexes. Plus précisément, nous nous intéressons au couplage de simulations orientées agent à une méthode de résolution de problèmes inverses. Une architecture générique de système d’aide à la décision est ainsi proposée. Ces travaux sont appliqués à la conception d’un système d’aide à la décision dédié à l’entomologie médico-légale. Cette discipline à mi-chemin entre la criminalistique et l’entomologie vise à concevoir des méthodes de datation de la mort basées sur des indices entomologiques, i.e., les insectes (principalement des diptères nécrophages) ou restes d’insectes retrouvés sur ou à proximité du corps. Ainsi, dans le cadre de ce travail réalisé en collaboration avec le laboratoire d’entomologie médico-légale de l’Institut de Médecine Légale de Lille, nous présentons : • un modèle à base d’agents permettant de simuler le développement des diptères nécrophages dans un environnement complexe (e.g., un corps situé dans un écosystème donné), en prenant en compte plus de paramètres que les méthodes classiques, • une implémentation de l’architecture de système d’aide à la décision évoquée plus haut, basée sur ce modèle. / The work presented in this thesis deals with modelling and decision support issues in the context of complex systems. Specifically, we investigate the coupling of agent-based simulations and inverse problem resolution methods. Thus, a generic architecture of decision support system is proposed. We identify two problems related to the implementation of this architecture: the validation of simulation parameters and the observation of agent-based simulations. We offer some answers to solve them. The notion of inverse problem is redefined in the context of decision support in a multi-model framework. Therefore, a resolution method and heuristics, based on ideas from works on abductive reasoning, are proposed. This work is then applied to the conception of a decision support system dedicated to forensic entomology. This research area, midway between forensic sciences and entomology, aims to develop post-mortem estimation methods based on entomological indices, i.e., insects (mainly necrophagous diptera) or insect remains, sampled on or around the cadaver. In the context of this work, done in collaboration with forensic entomology laboratory of the Legal Medicine Institute of Lille, we present: • an agent-based model of necrophagous diptera in a complex environment such as a dead body in a specific ecosystem, taking into account more parameters than conventional methods, • an implementation of the decision support system architecture mentioned above, based on this model.

Ce mémoire se veut d'abord un recueil des principales variantes de l'algorithme optimal en pire cas pour la résolution de problèmes convexes et fortement convexes sans contraintes présenté par Yurii Nesterov en 1983 et en 2004. Ces variantes seront présentées dans un cadre unifié et analysées de manière théorique et empirique. On y retrouve une analyse des rôles des différents paramètres composant l'algorithme de base ainsi que de l'influence des constantes L et mu, respectivement la constante de Lipschitz du gradient et la constante de forte convexité de la fonction objectif, sur le comportement des algorithmes. On présentera également une nouvelle variante hybride et nous démontrerons empiriquement qu'elle performe mieux que plusieurs variantes dans la majorité des situations. La comparaison empirique des différentes variantes sur des problèmes sans contraintes utilise un modèle de calcul se basant sur le nombre d'appels à un oracle de premier ordre plutôt que sur le nombre d'itérations. Enfin, une application de ces variantes sur trois instances de problèmes en imagerie numérique ainsi qu'une analyse empirique des résultats obtenus en confrontation avec la méthode optimale FISTA et l'algorithme classique L-BFGS-B viennent clore ce mémoire.

Ce projet traite de la restitution par Wave Field Synthesis (WFS) d’un champ sonore mesuré par une antenne microphonique. L’importance de la reproduction de champ sonore de milieux industriels ou d’intérieurs de véhicule a pris son essor depuis ces dernières années. Ainsi la capacité de pouvoir synthétiser fidèlement un champ mesuré dans une salle dédiée à l’écoute faciliterait son analyse dans le cadre de mesures objectives (études suivant des métriques prédéfinis) et subjectives (études de perception). La WFS s’impose comme une technologie de reproduction de champ capable d’assurer une grande résolution spatiale, une restitution étendue du champ d’écoute ainsi qu’une bonne précision physique du champ sonore. L’objectif principal est de reproduire un champ fidèle en terme de : 1) réponses en fréquences de la chaîne complète de reproduction, 2) d’erreurs de spectre réduites, 3) bonne restitution du champ d’un point de vue des caractéristiques spatiales. Des simulations appuyées par une campagne expérimentale ont été menées pour valider les algorithmes de restitution proposés et définir l’approche type problème inverse régularisé par formation de voies comme étant le plus performant. Cette recherche est le fruit de deux ans de travaux effectués au Groupe d’Acoustique de l’Université de Sherbrooke (GAUS).

La maîtrise du calcul prévisionnel du comportement dynamique de structures mécaniques demeure un enjeu majeur pour l'amélioration de la conception en présence de facteurs mal maîtrisés. Dans ce document, nous présentons des méthodologies de conception permettant de prendre en compte dans le processus de décision, les incertitudes sur les paramètres de conception, les incertitudes sur les mesures ou encore l'impact des modifications. Dans la première partie, nous étudions le potentiel d'une méthode de synthèse modale basée sur l'utilisation des modes propres orthogonaux. Une méthodologie de vérification et d'optimisation de super-éléments est également présentée. Enfin, nous montrons qu'un algorithme génétique peut permettre une sélection optimale des coordonnées physiques dans les méthodes de réduction. La deuxième partie concerne l'identification paramétrique des structures mécaniques à partir d'observations incertaines et la quantification de l'information susceptible d'être obtenue grâce à des mesures expérimentales. Nous utilisons dans cette étude une formulation probabiliste des problèmes inverses. Une planification d'essais en vue d'un gain d'information est réalisée avec des plans d'expérience bayésiens. Dans la dernière partie, l'approche non-probabiliste info-gap est appliquée afin d'évaluer la robustesse aux incertitudes de deux méthodes de recalage. Cette méthode permet aussi de vérifier que, dans un environnement incertain et pour un critère de performance donné, il peut être préférable de choisir un modèle " satisfaisant" plutôt qu'un modèle optimal.