L'objet de cette thèse est la résolution de problèmes elliptiques dans le demi-espace. En partant des problèmes déjà traités de Dirichlet et de Neumann pour l'opérateur de Laplace dans cette géométrie, nous avons exploré différents aspects du problème biharmonique et de celui de Stokes. Nous donnons des résultats fondamentaux d'existence, d'unicité et de régularité. Le cadre fonctionnel dans lequel nous nous plaçons est celui des espaces de Sobolev avec poids. Nous considérons ici des conditions aux limites non homogènes qu'on suppose également dans des espaces de Sobolev avec poids. Un aspect non négligeable de cette étude a trait aux conditions aux limites singulières et aux solutions très faibles qui en découlent. Il y est aussi abordé la question des conditions aux limites non standard, en particulier de type Navier pour le problème de Stokes.

On s’intéresse aux équations stationnaires de Navier-Stokes linéarisées, il s'agit ici des équations d'Oseen et des équations de Stokes posées dans des domaines infinis, comme les domaines extérieurs, en dimension trois et l'espace tout entier. Le but est d'étudier l'existence de solutions généralisés et de solutions fortes dans un cadre général non nécessairement hilbertien. On s'intéresse aussi au cas des solutions très faibles. Dans ce travail, on considère aussi bien des conditions aux limites classiques de type Dirichlet que des conditions aux limites non standard portant sur certaines composantes du champ de vitesses, du tourbillon, voir du champ de pression. Les espaces de Sobolev classiques ne sont pas adaptés à l'étude de ces problèmes pour une telle géométrie. Pour une bonne analyse mathématique, nous avons choisi de travailler dans le cadre des espaces de Sobolev avec poids, ce qui permet en particulier de mieux contrôler le comportement à l'infini de la solution. / In this work, we study the linearized Navier-Stokes equations in an exterior domain or in the whole space at the steady state, that is, the Stokes equations and the Oseen equations. We give existence, uniqueness and regularity of solutions. The case of very weak solutions is also treated. We consider not only the Dirichlet boundary conditions but also the Non Standard boundary conditions, on some components of the velocity field, vorticity and also on the pressure. Since the domain is not bounded, the classical Sobolev spaces are not adequate. Therefore, a specific functional framework is necessary which also has to take into account the behaviour of the functions at infinity. Our approach rests on the use of weighted Sobolev spaces.

L'objet de cette thèse est la résolution de problèmes elliptiques dans différents domaines non bornés. Dans un premier temps, nous étudions l'opérateur de Laplace dans un domaine extérieur avec des conditions aux limites non homogènes mêlées, puis dans un domaine extérieur dans le demi-espace avec des conditions de type Dirichlet, Neumann et mêlées. Nous considérons ensuite le problème de Stokes dans trois géométries non bornées: un domaine extérieur dans le demi-espace, un demi-espace perturbé et un domaine avec ouverture. Nous donnons pour chacun de ces problèmes des résultats fondamentaux d'existence et d'unicité en théorie L^p (avec p strictement compris entre 1 et l'infini) dans le cadre fonctionnel des espaces de Sobolev avec poids. De plus, nous nous intéressons également aux cas des solutions fortes (avec en particulier des résultats de régularité) et aux cas des solutions très faibles.

Nous présentons dans cette contribution les techniques que nous avons mises en oeuvre pour paralléliser un code éléments finis 2D dédié à la simulation du forgeage de pièces axisymétriques. Les modèles de comportement conduisent à résoudre des équations de type Stokes généralisé, exprimées sous forme mixte en vitesse et pression. La discrétisation spatiale est effectuée par une méthode éléments finis originale basée sur une stabilisation du MINI-élément P1+P1<br />Cette approche mène à des systèmes linéaires symétriques non définis positifs que l'on peut inverser avec un solveur itératif. L'introduction de préconditionneurs par factorisation incomplète LDL(0) ainsi que l'optimisation de la résolution non-linéaire nous permet de concurrencer une méthode directe sur un maillage de plus de 3000 noeuds.<br />Une stratégie de parallélisation SPMD couplée avec un solveur itératif avec préconditionnement diagonal aboutit à, un solveur parallèle simple et efficace, ne dépendant ni de la partition ni du nombre de domaines. Différentes stratégies sont envisagées pour développer des factorisations incomplètes parallèles. Un préconditionneur additif de Schwarz est notamment proposé. Celui-ci est construit à partir des matrices locales, complétées sur leur diagonale aux interfaces et avec un coefficient de sur-relaxation. Des résultats sur des simulations industrielles sont donnés par une machine parallèle à mémoire partagée. Ceux-ci, obtenus sur des problèmes 2D et 3D, prouvent la pertinence de notre approche.<br />Les stratégies développées permettent ainsi de réduire de manière significative les temps de simulation de la majorité des cas industriels. Elles permettent aussi d'élargir les champs d'application des codes de calcul à des simulations industrielles très complexes ou avec des maillages de plus de 15000 noeuds en 2D

Cette thèse comprend deux parties principales:La première partie est une étude du problème d'élasticité linéaire en temps par une méthode de Galerkin discontinue (SIPG). Dans cette partie, nous avons toutd'abord obtenu un estimateur a posteriori pour la formulation semi-discrète. En utilisant une technique de reconstruction et des résultats montrés dans le cas stationnaire, on a établi un estimateur a posteriori d'erreur pour le problème d'onde élastique dépendant du temps. Afin de calculer l'estimateur d'erreur lié au cas stationnaire, nous avons présenté deux méthodes, l'une utilisant la technique de la dualité ce qui nous a donné un calcul d'erreur en norme L^2 et l'autre en calculant l'erreur en norme énergie. Pour la discrétisation en temps l'équation, nous utilisons un schéma numérique d'Euler. En utilisant une technique et de reconstruction spatio-temporelle, on propose un nouvel estimateur a posteriori.La deuxième partie a pour but l'établissement d'un développement asymptotiquepour la solution de problème résolvant Stokes avec une petite perturbation dudomaine. Dans ce travail, nous avons appliqué la théorie du potentiel. On a écrit la solution du problème non perturbé et du problème perturbé sous forme d'opérateurs intégraux. En calculant la différence, et en utilisant des propriétés liées aux noyaux des opérateurs on a établi un développement asymptotique de la solution. / This thesis contains two main parts:The first part concerning the discontinuous Galerkin method for the timedependentlinear elasticity problem. In this part, we have derived the a posteriorierror bounds for semi-discrete and fully discrete formulation, by makinguse of the SE reconstruction technique which allows to estimate the errorbound for time-dependent problem through the error estimation of the ascociatedstationary elasticity problem. Then to derive the error bound for thestationary problem, we have presented two methods to obtain two different aposteriori bounds, by L2 duality technique and via energy norm. For fully discretescheme, we make use of the backward-Euler scheme and an appropiatespace-time reconstruction which has the zero-mean value in time.The second part concerning the derivation of an asymptotic expansionfor the solution of Stokes resolvent problem with a small perturbation of thedomain. In this work, we have applied the potential theory, boundary integralequation method and geometric properties of perturbed boundary. Thederivation is rigorous, and this method allows to derive high-order terms inasymptotic expansion. Also, it can be used for many other boundary valueproblems, whenever a suitable potential theory is available.

Ce manuscrit comporte trois parties distinctes, la première concerne la simulation numérique d'écoulements de fluides. La deuxième partie porte sur les équations de l'électromagnétisme et leur couplage avec les équations cinétiques de Vlasov dans le cadre de simulations numériques en physique des plasmas. La dernière partie évoque rapidement des travaux qui ont donné lieu à des publications mais qui ne rentrent pas complètement dans un des deux cadres abordés précédemment. Dans la première partie, l'objectif est d'étendre aux maillages triangulaires non structurés une méthode numérique éprouvée pour résoudre les équations de Stokes bidimensionnelles : la méthode Marker And Cell qui a été développée sur des maillages en quadrilatères quasi-réguliers dans les années 60. L'idée proposée pour cela est de résoudre le problème de Stokes avec pour variables le tourbillon, la vitesse et la pression. Alors que les résultats numériques obtenus sur des maillages réguliers sont satisfaisants, ceux sur des maillages non structurés ne le sont pas. Il s'est avéré lors de l'étude théorique que ce problème est un problème de stabilité. On montre théoriquement et numériquement que la formulation tourbillon-vitesse-pression est une généralisation de la formulation fonction courant-tourbillon permettant la prise en compte de conditions limites plus générales. L'instabilité, due à des fonctions harmoniques discrètes, peut être levée en utilisant de véritables fonctions harmoniques, calculées à l'aide de leur représentation intégrale, dans le schéma numérique. On résout ainsi l'instabilité de la formulation fonction courant-tourbillon et on améliore les précédents résultats de convergence connus de cette formulation. En particulier, on démontre alors une convergence en moyenne quadratique du tourbillon de l'ordre de 3/2 à 2 dans les cas les plus réguliers (contre un-demi avant). Puis on utilise le fait que la formulation tourbillon-vitesse-pression est équivalente à la formulation fonction courant-tourbillon pour redéfinir une nouvelle formulation tourbillon-vitesse-pression. En effet, il est bien connu que la formulation classique en fonction courant-tourbillon (n'utilisée qu'en deux dimensions d'espace) est mal posée lorsque l'on cherche le tourbillon dans l'espace de Sobolev H1 car son gradient n'est alors pas contrôlé, mais bien posée dans un autre espace de fonctions moins régulières. On étend alors ce résultat au cas tri-dimensionnel et l'on obtient une nouvelle formulation en tourbillon-vitesse-pression bien posée dans un nouvel espace. On démontre aussi théoriquement que ce nouvel espace est bien celui introduit en 2D, ce qu'on confirme par des résultats numériques. La deuxième partie concerne la résolution d'équations cinétiques intervenant dans la simulation directe des plasmas et des faisceaux de particules chargées (modèles de Vlasov-Poisson ou Vlasov-Maxwell). Grâce à l'augmentation de la puissance de calculs des ordinateurs, la simulation de l'évolution des plasmas et des faisceaux de particules basée sur une résolution directe de l'équation de Vlasov sur un maillage de l'espace des phases devient une alternative aux méthodes particulaires (Particle In Cell) habituellement employées. La force de ces simulations directes réside dans le fait qu'elles ne sont pas bruitées (contrairement aux méthodes PIC) et que l'approximation est de même résolution sur tout l'espace des phases, en particulier dans les régions à faible densité de particules où des phénomènes physiques importants ont lieu. L'inconvénient principal est que beaucoup de points sont inutiles car la fonction de distribution des particules y est nulle, ce qui rend ces méthodes directes coûteuses en temps de calcul. On introduit alors une méthode de résolution directe de l'équation de Vlasov sur un maillage {\bf{mobile}} de l'espace des phases. Ce qui permet de ne mailler que la partie de l'espace des phases sur laquelle la fonction de distribution des particules est {\emph{a priori}} non nulle. Nous avons utilisé avec succès cette méthode de maillage mobile en 1D afin de simuler un problème d'interaction laser-plasma. Nous introduisons donc un maillage mobile de l'espace des phases qui suit parfaitement le développement des instabilités et permet de réduire drastiquement le temps de calcul. Nous avons aussi obtenu les premiers résultats d'une méthode de maillage mobile en 4D en couplant le maillage mobile et une méthode de décomposition de domaines. \\ En ce qui concerne la résolution des équations de Vlasov-Maxwell : nous travaillons sur le développement d'un solveur Maxwell éléments finis d'arêtes d'ordre élevé couplé à un code PIC en trois dimensions d'espaces (6D de l'espace des phases). Un point important afin que le couplage fonctionne est que l'équation de conservation de la charge doit être vérifiée au niveau numérique à chaque pas de temps. Ce qui implique que le courant obtenu à partir de l'évolution de l'équation de Vlasov doit être calculé d'une façon bien particulière. Les premiers résultats obtenus en 2D confirment que la méthode de calcul du courant proposée conserve bien la charge comme attendu.

Nous considérons la simulation numérique des écoulements de fluides viscoélatiques. Développant une approximation en temps par la méthode des directions alternées, nous proposons un algorithme entièrement nouveau permettant de découpler le calcul des contraintes de celui des vitesses. D'ordre deux en temps, cette méthode permet de plus le calcul rapide des solutions stationnaires. L'éléments à divergence nulle de Thomas-Raviart est utilisé pour les vitesses, et celui de Lesaint-Raviart pour les contraintes. La méthode est appliquée au problème de l'écoulement de fluides du type Oldroyd dans une contraction brusque (problème de la marche).

La notion de schémas gradients, conçue pour les équations elliptiques et paraboliques, linéaires et non-linéaires a l'avantage de fournir des résultats de convergence et d'estimations d'erreur valables pour de nombreuses familles de méthodes numériques (éléments finis conformes et non-conformes, éléments finis mixtes, différences finies ...). Vérifier un ensemble restreint de propriétés suffit pour prouver qu'une méthode numérique donnée rentre dans le cadre de travail des schémas gradients et donc qu'elle sera convergente sur les différents problèmes traités. L'étude du problème de Stefan, celle du problème de Stokes incompressible, ainsi que celle des équations de Navier-Stokes incompressibles sont présentées dans cette thèse, chacune présentant un théorème de convergence établi à l'aide des schémas gradients. Pour Stokes et Navier-Stokes, nous donnerons une preuve de convergence pour les cas stationnaires et transitoires en modifiant certaines hypothèses ce qui aura comme effet de trouver des résultats de convergence différents. Finalement, nous présentons également quatre méthodes (Taylor-Hood, Crouzeix-Raviart, Marker-and-Cell, Hybrid Mixed Mimetic) pour ces deux problèmes et nous vérifions qu'elles rentrent bien dans le cadre des schémas gradients / The notion of gradient schemes, designed for linear and nonlinear elliptic and parabolic problems has the benefit of providing common convergence and error estimates results, which hold for a wide variety of numerical methods (finite element methods, nonconforming and mixed finite element methods, hybrid and mixed mimetic finite difference methods ...). Checking a minimal set of properties for a given numerical method suffices to prove that it belongs to the gradient schemes framework, and therefore that it is convergent on the different problems studied here. The study of the Stefan problem, the incompressible Stokes one and also the incompressible Navier-Stokes equations are presented in this thesis, where each one gets a convergence theorem set up with the gradient schemes framework. For Stokes and Navier-Stokes, we both provide the proof for the steady and the transient case dealing with some variational hypotheses which bring different convergence results. Finally, we also present four methods (Taylor-Hood, Crouzeix-Raviart, Marker-and-Cell, Hybrid Mixed Mimetic) for these two problems and we check that they enter in the gradient schemes framework

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique et numérique d'un problème d'interaction fluide-structure stationnaire, couplant un fluide newtonien, visqueux et incompressible, modélisé par les équations de Stokes 2D et une structure déformable, décrite par les équations d'une poutre 1D. Le fluide et la structure sont couplés via une condition aux limites de type frottement à l'interface.Dans l'étude théorique, nous montrons un résultat d'existence et unicité de solutions faibles, dans le cadre de petits déplacements, du problème de couplage fluide structure avec une condition de glissement de type Tresca en utilisant le théorème de point fixe de Schauder.Dans l'analyse numérique, nous étudions d'abord, l'approximation du problème de Stokes avec la condition de Tresca par une méthode d'éléments finis mixtes à quatre champs. Nous montrons ensuite une estimation d'erreur a priori optimale pour des données régulières et nous réalisons des tests numériques. Enfin, nous présentons un algorithme de point fixe pour la simulation numérique du problème couplé avec des conditions aux limites non linéaires. / This PHD thesis is devoted to the theoretical and numerical analysis of a stationary fluid-structure interaction problem between an incompressible viscous Newtonian fluid, modeled by the 2D Stokes equations, and a deformable structure modeled by the 1D beam equations.The fluid and structure are coupled via a friction boundary condition at the fluid-structure interface.In the theoretical study, we prove the existence of a unique weak solution, under small displacements, of the fluid-structure interaction problem under a slip boundary condition of friction type (SBCF) by using Schauder fixed point theorem.In the numerical analysis, we first study a mixed finite element approximation of the Stokes equations under SBCF.We also prove an optimal a priori error estimate for regular data and we provide numerical examples.Finally, we present a fixed point algorithm for numerical simulation of the coupled problem under nonlinear boundary conditions.

Dans ce travail on se propose d'établir des estimations d'erreurs a priori pour les solutions approchées d'équations d'évolution obtenues par la méthode d'éléments finis mixte duale en espace et ce pour trois types de problèmes : le premier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur, le second est le problème de Stokes instationnaire, et le dernier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur mais avec un coefficient de diffusion aléatoire. Pour ces trois types de problèmes, il y a un certain nombre de raisons de préférer la méthode mixte duale en espace à une méthode classique en espace ; parmi elles la propriété fondamentale qu'est la conservation locale, et par suite globale, de certaines quantités physiques (la quantité de mouvement, la masse, la quantité de chaleur,...). Une autre raison bien connue pour adopter la méthode mixte duale en espace est qu'elle nous permet d'introduire des nouvelles variables : p(t) =grad u(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur, p(t) = K ◊ u(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur avec un coefficient de diffusion aléatoire K, ◊ dénotant le produit de Wick, σ = grad u(t) le tenseur gradient du champ des vitesses à l'instant t pour le problème de Stokes instationnaire, ces inconnues supplémentaires ayant un sens physique et une importance particulière pour plus d'une application. Il est donc important de disposer d'une méthode numérique donnant aussi de bonnes approximations de ces quantités.