Cette thèse s'intéresse à la conception de méthodes de discrétisation non-conforme pour un modèle de poromécanique. Le but de ce travail est de simplifier les couplages liant la géomécanique d'un milieu poreux à l'écoulement polyphasique compositionnel ayant cours en son sein tels qu'ils sont réalisés actuellement dans l'industrie pétrolière, en discrétisant sur un même maillage, typiquement non-conforme car à l'image de la lithologie, la mécanique et l'écoulement. La nouveauté consiste donc à traiter la mécanique par une méthode d'approximation non-conforme sur maillages généraux. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur un modèle d'élasticité linéaire. Les difficultés inhérentes à son approximation non-conforme sont son manque de coercivité (se traduisant par la nécessité de satisfaire une inégalité de Korn sur un espace discret discontinu), ainsi que le phénomène de verrouillage numérique lorsque le matériau tend à devenir incompressible. Dans une première partie, nous construisons un espace d'approximation sur maillages généraux, s'apparentant à une extension de l'espace de Crouzeix-Raviart. Nous explicitons ses propriétés d'approximation et de conformité, et montrons que ce dernier est adapté à une discrétisation primale coercive et robuste au locking du modèle d'élasticité sur maillages généraux. La méthode proposée est moins coûteuse que son équivalent éléments finis (en termes de propriétés) P2. Nous nous intéressons dans une deuxième partie à l'approximation non-conforme d'un modèle couplé de poroélasticité. Nous étudions la convergence d'une famille de schémas numériques dont la discrétisation en espace utilise le formalisme des schémas Gradient, auquel appartient la méthode développée pour la mécanique. Nous prouvons la convergence de telles approximations vers la solution de régularité minimale du problème continu, indépendamment des paramètres physiques du système

Le but de cette thèse est d'approcher numériquement la solution des équations de Navier-Stokes stationnaires incompressibles dans un domaine extérieur tridimensionnel. Pour cela, nous imposons des conditions aux limites bien<br />choisies sur le bord libre de notre domaine de calcul. Nous discrétisons ensuite par des éléments finis de même ordre avec stabilisation, ce qui implique que la linéarisation de notre problème est un problème de point selle généralisé. Nous choisissons de résoudre le système complet par une méthode de Krylov. La difficulté réside dans deux problèmes de préconditionnement: celui du complément de Schur et celui du bloc convection-diffusion.<br /><br />Dans un premier temps, nous montrons que la matrice de masse est un<br />équivalent spectral du complément de Schur, ce qui implique que le nombre d'itérations de notre méthode est indépendant de la taille de l'espace de discrétisation. Nous étudions théoriquement le comportement des valeurs<br />propres du problème préconditionné en fonction du nombre de Reynolds dans le cas de<br />la cavité entraînée. Nous ajoutons ensuite l'influence du rayon de troncature pour le problème extérieur. Les résultats numériques tridimensionnels viennent confirmer la théorie et montrent la robustesse de la méthode.<br /><br />Ensuite, nous proposons une méthode de décomposition de domaines sans recouvrement pour le problème de convection-diffusion dans laquelle nous imposons la continuité de la solution par des multiplicateurs de Lagrange. Nous étudions les performances d'un préconditionneur pour le problème à l'interface et étendons ainsi à la dimension trois les résultats numériques bidimensionnels de la littérature.<br /><br />La dernière partie du manuscrit est indépendante du sujet de thèse: elle relate un travail portant sur la physique des plasmas effectué à l'occasion du CEMRACS 2003.

Cette thèse s'intéresse à la conception de méthodes de discrétisation non-conforme pour un modèle de poromécanique. Le but de ce travail est de simplifier les couplages liant la géomécanique d'un milieu poreux à l'écoulement polyphasique compositionnel ayant cours en son sein tels qu'ils sont réalisés actuellement dans l'industrie pétrolière, en discrétisant sur un même maillage, typiquement non-conforme car à l'image de la lithologie, la mécanique et l'écoulement. La nouveauté consiste donc à traiter la mécanique par une méthode d'approximation non-conforme sur maillages généraux. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur un modèle d'élasticité linéaire. Les difficultés inhérentes à son approximation non-conforme sont son manque de coercivité (se traduisant par la nécessité de satisfaire une inégalité de Korn sur un espace discret discontinu), ainsi que le phénomène de verrouillage numérique lorsque le matériau tend à devenir incompressible. Dans une première partie, nous construisons un espace d'approximation sur maillages généraux, s'apparentant à une extension de l'espace de Crouzeix-Raviart. Nous explicitons ses propriétés d'approximation et de conformité, et montrons que ce dernier est adapté à une discrétisation primale coercive et robuste au locking du modèle d'élasticité sur maillages généraux. La méthode proposée est moins coûteuse que son équivalent éléments finis (en termes de propriétés) P2. Nous nous intéressons dans une deuxième partie à l'approximation non-conforme d'un modèle couplé de poroélasticité. Nous étudions la convergence d'une famille de schémas numériques dont la discrétisation en espace utilise le formalisme des schémas Gradient, auquel appartient la méthode développée pour la mécanique. Nous prouvons la convergence de telles approximations vers la solution de régularité minimale du problème continu, indépendamment des paramètres physiques du système / This manuscript focuses on the conception of nonconforming discretization methods for a poromechanical model. The aim of this work is to ease the coupling between the geomechanics and the multiphase compositional Darcy flow in porous media by discretizing mechanics and flow on the same mesh, typically nonconforming as it represents the lithology. Hence, the novelty hinges on a nonconforming treatment of mechanics on general meshes. In this work, we focus on a linear elasticity model. The nonconforming approximation of such a model is not straightforward owing to its lack of coercivity (meaning that a discrete Korn's inequality must hold on a discontinuous discrete space) and to the numerical locking phenomenon occurring as the material becomes incompressible. In a first part, we design an approximation space on general meshes, which can be viewed as an extension of the so-called Crouzeix-Raviart space. We study its approximation and conformity properties, and prove that this latter is well-adapted to the design of a primal, coercive, and locking-free discretization of the elasticity model on general meshes. The proposed method is less costly than its finite element equivalent (in terms of properties) P2. In a second part, we tackle the nonconforming approximation of a coupled poroelasticity model. We study the convergence of a family of numerical schemes whose space discretization relies on the Gradient schemes framework, to which belongs the method developed for mechanics. We prove the convergence of such approximations toward the minimal regularity solution of the continuous problem, and independently of the choice of physical parameters

L'objet de cette thèse est l'étude d'algorithmes itératifs permettant de résoudre des problèmes d'optimisation convexe avec ou sans contraintes fonctionnelles, des problèmes de résolutions d'inégalités variationnelles à opérateur monotone et des problèmes de recherche de point selle. Ces problèmes sont envisagés lorsque la dimension de l'espace de recherche est grande et lorsque les valeurs des différentes fonctions étudiées et leur sous/sur-gradients ne sont pas connues exactement et ne sont accessibles qu'au travers d'un oracle stochastique. Les algorithmes que nous étudions sont des adaptations au cas stochastique de deux algorithmes : le premier inspiré de la méthode de descente en miroir de Nemirovski et Yudin et le second, de l'algorithme d'extrapolation duale de Nesterov. Pour chacun de ces deux algorithmes, nous donnons des bornes pour l'espérance et pour les déviations modérées de l'erreur d'approximation sous différentes hypothèses de régularité pour tous les problèmes sans contraintes fonctionnelles envisagées et nous donnons des versions adaptatives de ces algorithmes qui permettent de s'affranchir de connaître certains paramètres de ces problèmes non accessibles en pratique. Enfin nous montrons comment, à l'aide d'un algorithme auxiliaire inspiré de la méthode de Newton et des résultats obtenus lors de la résolution des problèmes de recherche de point selle, il est possible de résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes fonctionnelles.