Cette thèse traite de problèmes inverses de sources dans deux cas : les sources fixes en 2D et 3D équations elliptiques et une source non-stationnaire dans une équation de diffusion. Dans le cadre de ce travail, nous considérons des sources ponctuelles (monopôles, dipôles et sources multipolaires) et des sources ayant support compact dans un nombre fini de petits sous-domaines qui modèlent les sources dans les problèmes EEG/MEG et le problème de tomographie par bioluminescence (BLT). Le but de cette thèse est de proposer des méthodes d’identification robustes qui permettent de déterminer leur nombre, leurs intensités et leurs positions. Des méthodes algébriques directes sont utilisées pour identifier les sources fixes et une méthode quasi-algébrique mélangée avec un problème d’optimisation est utilisé pour récupérer les sources avec des intensités variables dans le temps. Des résultats numériques sont effectués afin de mettre en évidence la robustesse de nos algorithmes d’identification. / This thesis deals with inverse source problems in 2 cases : stationary sources in 2D and 3D elliptic equations and a non-stationary source in a diffusion equation. the main form of sources considered are pointwise sources (monopoles, dipoles and multipolar sources) having compact support within a finite number of small subdomains modeling EEG/MEG problems and Bioluminescence Tomography (BLT) problems. The purpose o this thesis is mainly to propose robust identification methods that enable us to reconstruct the number, the intensity and the location of the sources. Direct algebraic methods are used to identify the stationary siurces and a quasi-algebraic method mixed with an optimieation method is employed to recover sources with time-variable intensities. Numerical results are shown to prove the robustness of our identification algorithms.

Cette thèse porte sur l'étude de quelques questions liées à l'identifiabilité et l'identification d'un problème inverse non-linéaire de source. Il s'agit de l'identification d'une source ponctuelle dépendante du temps constituant le second membre d'une équation de type advection-dispersion-réaction à coefficients variables. Dans le cas monodimensionnel, la souplesse du modèle stationnaire nous a permis de développer des réponses théoriques concernant le nombre des capteurs nécessaires et leurs emplacements permettant d'identifier la source recherchée d'une façon unique. Ces résultats nous ont beaucoup aidés à définir la ligne de conduite à suivre afin d'apporter des réponses similaires pour le modèle transitoire. Quant au modèle bidimensionnel transitoire, en utilisant quelques résultats de nulle contrôlabilité frontière et des mesures de l'état sur la frontière sortie et de son flux sur la frontière entrée du domaine étudié, nous avons établi un théorème d'identifiabilité et une méthode d'identification permettant de localiser les deux coordonnées de la position de la source recherchée comme étant l'unique solution d'un système non-linéaire de deux équations, et de transformer l'identification de sa fonction de débit en la résolution d'un problème de déconvolution. La dernière partie de cette thèse discute la difficulté principale rencontrée dans ce genre de problèmes inverses à savoir la non identifiabilité d'une source dans sa forme abstraite, propose une alternative permettant de surmonter cette difficulté dans le cas particulier où le but est d'identifier le temps limite à partir duquel la source impliquée a cessé d'émettre, et donc ouvre la porte sur de nouveaux horizons.

Cette thèse porte sur l’étude d’un problème inverse de sources pour un modèle bidimensionnel d’intrusion saline. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la modélisation du phénomène d’intrusion saline dans un aquifère côtier non confiné. En tenant compte des hypothèses particulières, nous obtenons dans le cas stationnaire une équation elliptique de la charge hydraulique dont le second membre est constitué des sources ponctuelles. L’étude du problème direct consiste à analyser le modèle dérivé et à établir un résultat d’existence et d’unicité d’une solution. Ensuite, dans la partie problème inverse, il s’agit de l’identification de termes sources à partir des mesures locales. Nous traitons les trois questions relatives à ce problème inverse, l’identifiabilité, l’identification et la stabilité. Concernant l’identification, nous formulons le problème inverse comme un problème de contrôle avec une fonctionnelle coût qui calcule l’écart quadratique entre les mesures expérimentales et celles obtenues par la résolution du problème direct. L’optimisation de cette fonction nécessite le calcul de son gradient que nous obtenons par la méthode de sensibilités et par la méthode de l’état adjoint. Quant à la stabilité, nous établissons deux types d’estimations, logarithmiques et lipschitziennes, pour les positions et les intensités de sources dans le cas de l’équation elliptique obtenue et en considérant toujours des mesures intérieures. De plus, nous avons généralisé les résultats des estimations lipschitziennes pour l’équation elliptique de la forme –Δu+k2u=F. La dernière partie de la thèse est destinée à montrer les résultats de l’identification numérique en fonction des paramètres intervenant dans le modèle principal. / This thesis deals with the study of an inverse source problem for a two dimensional seawater intrusion model. First, we focus on the modeling of the seawater intrusion phenomenon in a costal unconfined aquifer. Then considering some specific assumptions, we obtain, in the steady state, an elliptic equation of the hydraulic head with a left hand side formed by point wise sources. The study of the direct problem aims to analyze the derived model and to establish a result of existence and uniqueness of solution. The inverse problem concerns the identification of sources from local measurements. We are interested in the study of uniqueness, identification and stability.Concerning the identification, we transform the inverse problem to a control problem with a cost functional computing the quadratic error between the experimental measures and those obtained by solving the direct problem. To optimize this function, we need to compute its gradient and this can be done by the sensibility and the adjoint methods. Moreover, regarding the stability, we establish two types of estimates, logarithmic and lipschitz, for sources positions and intensities in the case of the elliptic equation assuming interior observations. Furthermore, we have generalized the results of Lipschitz estimates for the elliptic equation –Δu+k2u=F. The last part of the thesis is intended to show the results of the numerical identification based on parameters involved in the main model.

Cette thèse porte sur l’étude de quelques questions liées à l’identifiabilité et l’identification d’un problème inverse non-linéaire de source. Il s’agit de l’identification d’une source ponctuelle dépendante du temps constituant le second membre d’une équation de type advection-dispersion-réaction à coefficients variables. Dans le cas monodimensionnel, la souplesse du modèle stationnaire nous a permis de développer des réponses théoriques concernant le nombre des capteurs nécessaires et leurs emplacements permettant d’identifier la source recherchée d’une façon unique. Ces résultats nous ont beaucoup aidés à définir la ligne de conduite à suivre afin d’apporter des réponses similaires pour le modèle transitoire. Quant au modèle bidimensionnel transitoire, en utilisant quelques résultats de nulle contrôlabilité frontière et des mesures de l’état sur la frontière sortie et de son flux sur la frontière entrée du domaine étudié, nous avons établi un théorème d’identifiabilité et une méthode d’identification permettant de localiser les deux coordonnées de la position de la source recherchée comme étant l’unique solution d’un système non-linéaire de deux équations, et de transformer l’identification de sa fonction de débit en la résolution d’un problème de déconvolution. La dernière partie de cette thèse discute la difficulté principale rencontrée dans ce genre de problèmes inverses à savoir la non identifiabilité d’une source dans sa forme abstraite, propose une alternative permettant de surmonter cette difficulté dans le cas particulier où le but est d’identifier le temps limite à partir duquel la source impliquée a cessé d’émettre, et donc ouvre la porte sur de nouveaux horizons. / The thesis deals with the two main issues identifiability and identification related to a nonlinear inverse source problem. This problem consists in the identification of a time-dependent point source occurring in the right hand-side of an advection-dispersion-reaction equation with spatially varying coefficients. Starting from the stationnary case in the one-dimensional model, we derived theoritical results defining the necessary number of sensors and their positions that enable to uniquely determine the sought source. Those results gave us a good visibility on how to proceed in order to obtain similar results for the time-dependent (evolution) case. As far as the two-dimensional evolution model is concerned, using some boundary null controllability results and the records of the generated state on the inflow boundary and its flux on the outflow boundary of the monitored domain, we established a constructive identifiability theorem as well as an identification method that localizes the two coordinates of the sought source position as the unique solution of a nonlinear system of two equations and transforms the identification of its time-dependent intensity function into solving a deconvolution problem. The last part of this thesis highlights the main difficulty encountred in such inverse problems namely the nonidentifiabilityof a source in its abstract form, proposes a method that enables to overcome this difficulty in the particular case where the aim is to identify the time active limit of the involved source. And thus, this last part opens doors on new horizons and prospects.