Les travaux présentés dans ce mémoire ont tous été effectués au sein du Laboratoire des Signaux et Systèmes (L2S)"aujourd'hui Unité Mixte du CNRS, de Supélec et de l'Université Paris-Sud" et plus particulièrement au sein de son Département de Recherche en Électromagnétisme (DRÉ) qui regroupe la Division Ondes du L2S et le Service Électromagnétisme de Supélec.<br>Ce manuscrit est divisé en trois parties :<br>- La première décrit de manière succincte mon parcours dans la recherche en présentant un bref CV, les encadrements de thèses, de stages de DEA, les enseignements et les collaborations auxquelles je participe ou ai participé ainsi que les participations à l'organisation de manifestations scientifiques.<br>- La deuxième présente les travaux effectués au L2S depuis mon entrée au CNRS; les fils directeurs du manuscrit sont la résolution du problème inverse de diffraction des ondes et du problème direct qui lui est associé. Cette partie est divisée en deux chapitres traitant respectivement du problème bidimensionnel et du problème tridimensionnel. Dans chacun des chapitres plusieurs méthodes de résolution du problème direct et du problème inverse sont présentées, chacune décrite par un texte rappelant le contexte de la recherche et ses grandes lignes et chacune illustrée par un résultat extrait d'un article publié ou soumis.<br>- La troisième partie présente une sélection d'articles (publiés ou soumis) illustrant dans le détail ces méthodes, ces articles étant, comme de nécessaire, introduits dans la deuxième partie.

La modélisation temporelle de la propagation acoustique/élastique dans un milieu poreux à structure rigide (modèle du fluide équivalent) et souple (modèle de Biot) a été étudiée. Le concept de dérivées fractionnaires a été introduit, les fonctions de Green temporelles ainsi que les opérateurs de réflexion et de transmission ont été obtenues. Les problèmes directs et inverses ont été résolus en utilisant des données expérimentables réfléchies et/ou transmises. Une caractérisation complète des milieux poreux a été ainsi effectuée dans le régime asymptotique correspondant aux hautes fréquences et le régime visqueux correspondant aux basses fréquences. Une application expérimentale aux mousses plastiques et aux tissus osseux spongieux a été traitée. Une étude détaillée de la causalité des modèles a été faite suite à un doute dans la littérature concernant l'utilisation de modèles couramment utilisés (Johnson-Allard), les relations de Kramers-Kronig ont été vérifiées dans le domaine des hautes et basses fréquences. La causalité des modèles a été aussi montrée dans le domaine temporel en utilisant les relations généralisées de Hilbert et la théorie des distributions tempérées. Les problèmes ouverts concernant la propagation dans les milieux poreux macroscopiquement inhomogènes ont été soulevés, en évoquant quelques pistes comme la méthodes de séparation d'ondes (Waves splitting) et l'établissement des équations de propagations dans le régime temporel.

Cette thèse porte sur l’étude d’un problème inverse de sources pour un modèle bidimensionnel d’intrusion saline. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la modélisation du phénomène d’intrusion saline dans un aquifère côtier non confiné. En tenant compte des hypothèses particulières, nous obtenons dans le cas stationnaire une équation elliptique de la charge hydraulique dont le second membre est constitué des sources ponctuelles. L’étude du problème direct consiste à analyser le modèle dérivé et à établir un résultat d’existence et d’unicité d’une solution. Ensuite, dans la partie problème inverse, il s’agit de l’identification de termes sources à partir des mesures locales. Nous traitons les trois questions relatives à ce problème inverse, l’identifiabilité, l’identification et la stabilité. Concernant l’identification, nous formulons le problème inverse comme un problème de contrôle avec une fonctionnelle coût qui calcule l’écart quadratique entre les mesures expérimentales et celles obtenues par la résolution du problème direct. L’optimisation de cette fonction nécessite le calcul de son gradient que nous obtenons par la méthode de sensibilités et par la méthode de l’état adjoint. Quant à la stabilité, nous établissons deux types d’estimations, logarithmiques et lipschitziennes, pour les positions et les intensités de sources dans le cas de l’équation elliptique obtenue et en considérant toujours des mesures intérieures. De plus, nous avons généralisé les résultats des estimations lipschitziennes pour l’équation elliptique de la forme –Δu+k2u=F. La dernière partie de la thèse est destinée à montrer les résultats de l’identification numérique en fonction des paramètres intervenant dans le modèle principal. / This thesis deals with the study of an inverse source problem for a two dimensional seawater intrusion model. First, we focus on the modeling of the seawater intrusion phenomenon in a costal unconfined aquifer. Then considering some specific assumptions, we obtain, in the steady state, an elliptic equation of the hydraulic head with a left hand side formed by point wise sources. The study of the direct problem aims to analyze the derived model and to establish a result of existence and uniqueness of solution. The inverse problem concerns the identification of sources from local measurements. We are interested in the study of uniqueness, identification and stability.Concerning the identification, we transform the inverse problem to a control problem with a cost functional computing the quadratic error between the experimental measures and those obtained by solving the direct problem. To optimize this function, we need to compute its gradient and this can be done by the sensibility and the adjoint methods. Moreover, regarding the stability, we establish two types of estimates, logarithmic and lipschitz, for sources positions and intensities in the case of the elliptic equation assuming interior observations. Furthermore, we have generalized the results of Lipschitz estimates for the elliptic equation –Δu+k2u=F. The last part of the thesis is intended to show the results of the numerical identification based on parameters involved in the main model.

L'os humain est à la fois un matériau (tissu osseux) et une structure (e.g., le fémur). Les traumatismes engendrent des défaillances (fractures) structurelles évidentes de l'os, mais l'intégrité mécanique de celui-ci peut aussi être atteinte d'une manière insidieuse, et non moins dangereuse, par certaines maladies. Très schématiquement, on peut dire que les traumatismes sont la cause de macrofractures (à la structure-os), et les maladies la cause de microfractures (du matériau-os). Celles-ci se développent progressivement en macrofractures, et si des soins ne sont pas prodigués ou efficaces, l'os perd sa fonction de soutien. Cette thèse concerne essentiellement une des maladies de l'os : l'ostéoporose. Pour traiter cette maladie, et/ou prévenir les macrofractures dont elle est à terme la cause, il faut d'abord en faire le diagnostic. Ce problème est compliqué du fait qu'il s'agit d'une caractérisation (essentiellement mécanique) de matériau vivant et qu'il est impératif que le sondage soit de type non-destructif, surtout si l'examen doit se répéter souvent (notamment pour suivre les progrès d'un traitement). Le travail de cette thèse concerne donc le développement de nouvelles méthodes, et/ou l'amélioration de méthodes plus anciennes relatives à l'évaluation non-destructive (END) d'altérations mécaniques du tissu osseux en rapport avec l'ostéoporose. Comme l'END est aussi un terme employé pour la caractérisation de matériaux inertes, le domaine d'application de ce travail dépasse celui des matériaux vivants.

Nous avons développé un modèle de l'activité électrique cardiaque cellulaire dont la structure est moins complexe, sans pour autant affecter les caractéristiques essentielles (potentiel d'action, principaux courants ioniques, courbe de restitution). En outre, nous avons utilisé la même structure de modèle pour représenter l'activité électrique des divers types de cellules cardiaques. Cela permettra de déterminer des régions cardiaques de façon paramétrique et simplifiera l'identification des paramètres dans les modèles numériques de cœur. Par ailleurs, l'analyse de bifurcation nous a permis de retrouver l'origine du régime oscillatoire dans le cas pacemaker, et d'introduire un courant de fuite de calcium qui joue le rôle d'une entrée de commande pour le système nerveux autonome qui lui permet de modifier la fréquence cardiaque. D'autre part, il n'est plus possible de simplifier plus le modèle à l'aide de la méthode des perturbations singulières car ce n'est plus un système de Tikhonov. Le modèle permet une mise en œuvre en boucle fermée tenant compte du contrôle du système cardiovasculaire par l'arc baroréflexe et un couplage excitation-contraction tenant compte de l'effet de la fréquence sur la contractilité. <br />Après avoir démontré la non-existence de solutions périodiques dans le modèle réduit à deux courants ioniques de Mitchell-Schaeffer, nous avons introduit une variante de ce dernier et ainsi étendu ses propriétés d'excitabilité. Le régime oscillatoire est obtenu, soit à travers une bifurcation de Hopf sous ou super critique, soit à travers une bifurcation nœud-col sur cercle invariant. Ce modèle réduit est utilisable dans des applications de traitement du signal ECG.