O objetivo desta dissertação é apresentar de maneira mais detalhada uma solução simples, recentemente obtida em [25], para um problema deixado em aberto em 1934 por Leray [19] e resolvido pela primeira vez em 1984 por Kato [15] (e também outros autores, como [21]). Tal problema diz que a norma L2 da solução da equação de Navier-Stokes incompressível decai assintoticamente a zero, para tempo grande. Mostraremos, ainda, algumas generalizações naturais dessa propriedade; seguindo, novamente, a discussão básica em [25]. Nessas generaliza ções, obtém-se informações mais precisas a respeito do decaimento de outras normas como, por exemplo, a norma L1. Com isso, foi possível obter, usando a teoria de Calderón- Zygmund, taxas de deacimento para a pressão. São apresentados, também, a derivação da equação de Navier-Stokes, alguns resultados básicos de análise, desigualdades de Sobolev e vários resultados sobre soluções de equações de Advecção-Difusão, incluindo a equação do Calor, visto que precisaremos de tais propriedades em nossa análise do problema de Leray e suas generalizações consideradas neste trabalho. / In this paper, we present in detail a simple proof, recently obtained in [25], of a result left open in 1934 by Leray [19] and obtained in 1984, for the rst time, by Kato [15] (and others, like [21]), in such result it is said that the L2 norm for solutions of incompressible Navier-Stokes equations decay to zero asymptotically at large time. Thence, we show some natural generalizations of this property; by following, again, the basic discussion in [25]. We obtained, with this, a more detailed information about the decay of other norms, for exemple, the supnorm L1. Thenceforth, we obtained, by Calderón-Zygmund theory, decay rates for the pressure. We also provide a derivation of Navier-Stokes equation, some basic results in analysis, Sobolev inequalities and several results about Advection-Di usion equations, including the heat equation, because we will use these properties in our analysis of Leray's Problem and its generalizations that shall be considered in this work.

O objetivo desta dissertação é apresentar de maneira mais detalhada uma solução simples, recentemente obtida em [25], para um problema deixado em aberto em 1934 por Leray [19] e resolvido pela primeira vez em 1984 por Kato [15] (e também outros autores, como [21]). Tal problema diz que a norma L2 da solução da equação de Navier-Stokes incompressível decai assintoticamente a zero, para tempo grande. Mostraremos, ainda, algumas generalizações naturais dessa propriedade; seguindo, novamente, a discussão básica em [25]. Nessas generaliza ções, obtém-se informações mais precisas a respeito do decaimento de outras normas como, por exemplo, a norma L1. Com isso, foi possível obter, usando a teoria de Calderón- Zygmund, taxas de deacimento para a pressão. São apresentados, também, a derivação da equação de Navier-Stokes, alguns resultados básicos de análise, desigualdades de Sobolev e vários resultados sobre soluções de equações de Advecção-Difusão, incluindo a equação do Calor, visto que precisaremos de tais propriedades em nossa análise do problema de Leray e suas generalizações consideradas neste trabalho. / In this paper, we present in detail a simple proof, recently obtained in [25], of a result left open in 1934 by Leray [19] and obtained in 1984, for the rst time, by Kato [15] (and others, like [21]), in such result it is said that the L2 norm for solutions of incompressible Navier-Stokes equations decay to zero asymptotically at large time. Thence, we show some natural generalizations of this property; by following, again, the basic discussion in [25]. We obtained, with this, a more detailed information about the decay of other norms, for exemple, the supnorm L1. Thenceforth, we obtained, by Calderón-Zygmund theory, decay rates for the pressure. We also provide a derivation of Navier-Stokes equation, some basic results in analysis, Sobolev inequalities and several results about Advection-Di usion equations, including the heat equation, because we will use these properties in our analysis of Leray's Problem and its generalizations that shall be considered in this work.

O objetivo desta dissertação é apresentar de maneira mais detalhada uma solução simples, recentemente obtida em [25], para um problema deixado em aberto em 1934 por Leray [19] e resolvido pela primeira vez em 1984 por Kato [15] (e também outros autores, como [21]). Tal problema diz que a norma L2 da solução da equação de Navier-Stokes incompressível decai assintoticamente a zero, para tempo grande. Mostraremos, ainda, algumas generalizações naturais dessa propriedade; seguindo, novamente, a discussão básica em [25]. Nessas generaliza ções, obtém-se informações mais precisas a respeito do decaimento de outras normas como, por exemplo, a norma L1. Com isso, foi possível obter, usando a teoria de Calderón- Zygmund, taxas de deacimento para a pressão. São apresentados, também, a derivação da equação de Navier-Stokes, alguns resultados básicos de análise, desigualdades de Sobolev e vários resultados sobre soluções de equações de Advecção-Difusão, incluindo a equação do Calor, visto que precisaremos de tais propriedades em nossa análise do problema de Leray e suas generalizações consideradas neste trabalho. / In this paper, we present in detail a simple proof, recently obtained in [25], of a result left open in 1934 by Leray [19] and obtained in 1984, for the rst time, by Kato [15] (and others, like [21]), in such result it is said that the L2 norm for solutions of incompressible Navier-Stokes equations decay to zero asymptotically at large time. Thence, we show some natural generalizations of this property; by following, again, the basic discussion in [25]. We obtained, with this, a more detailed information about the decay of other norms, for exemple, the supnorm L1. Thenceforth, we obtained, by Calderón-Zygmund theory, decay rates for the pressure. We also provide a derivation of Navier-Stokes equation, some basic results in analysis, Sobolev inequalities and several results about Advection-Di usion equations, including the heat equation, because we will use these properties in our analysis of Leray's Problem and its generalizations that shall be considered in this work.

O objetivo inicial do presente trabalho foi provar o problema de Leray para o sistema magneto-micropolar seguindo uma solução simples recentemente obtida em [41] para as equações de Navier-Stokes. Em [26], Leray deixou um problema de decaimento assintótico em aberto que foi resolvido posteriormente por Kato [22]. Tal problema diz que a norma L2 da solução da equação de Navier-Stokes incompressível decai assintoticamente a zero, para tempo grande. Ao provar o problema de Leray, observamos uma taxa de decaimento mais rápida para a velocidade microrrotacional w em relação aos outros campos (u; b). A partir disso, mostramos algumas generalizações naturais dessa propriedade. Mais especi camente, obtém-se informações mais precisas a respeito do decaimento de outras normas como, por exemplo, a norma L1, o decaimento L2 das derivadas de ordem mais alta e, por conseguinte, o decaimento em espaços de Sobolev, em duas e três dimensões. Por m, apresentamos a derivação de uma nova desigualdade para o sistema magneto-micropolar (seguindo o recente trabalho obtido para Navier-Stokes [20]) e algumas interessantes consequências. Além disso, são apresentados alguns resultados básicos de análise, desigualdades de Sobolev e várias propriedades sobre a equação do Calor, dado que tais propriedades se fazem necessárias em nossa análise. / The rst goal in this work was to prove the Leray problem for magneto micropolar system following a simple solution recently obtained in [41] to Navier-Stokes equations. In [26], Leray left a open problem about asymptotic decay that was solved later by Kato [22]. Such problem says that the L2 norm for solutions of incompressible Navier-Stokes equations decay to zero asymptotically at large time. We observe that the micro-rotational velocity decay faster than the others elds (u; b). Hence, we show some natural extensions of this property. More speci cally, we get more detailed information about the L1 norm, the decay of high order derivatives in L2 and the Sobolev spaces decay (in two and three dimensions). Finally, we obtain a derivation of a new fundamental inequalty (in the line of [20]) and some interesting consequences. Furthermore, we present some analysis results, Sobolev inequalities e some Heat Kernel property that will be necessary in our analysis.

Consideramos o problema de Stokes em regiões com cilindros semi-infinitos conectados por um domínio limitado qualquer. Além das condições iniciais e de contorno, é imposto uma condição sobre o comportamento da pressão quando |x| → +∞. Apresentamos um problema proposto por D. Koch envolvendo tais situações e formulamos o problema em regiões mais gerais. Técnicas usadas na resolução do conhecido problema de Leray permitem a demonstração da existência de soluções para o problema variacional. / We consider the Stokes’ problem in regions with cylindrical outlets to infinity connected by an arbitrary bounded domain. We impose an additional condition about the pressure behavior as |x| → +∞, in addition to the usual initial and boundary conditions over the velocity field. We present a problem proposed by D. Koch concerning such regions and conditions, and we formulate it in terms of more general ones. The techniques used in the well-known Leray’s problem allow the demonstration of the existence of solutions to the variational problem.

Consideramos o problema de Stokes em regiões com cilindros semi-infinitos conectados por um domínio limitado qualquer. Além das condições iniciais e de contorno, é imposto uma condição sobre o comportamento da pressão quando |x| → +∞. Apresentamos um problema proposto por D. Koch envolvendo tais situações e formulamos o problema em regiões mais gerais. Técnicas usadas na resolução do conhecido problema de Leray permitem a demonstração da existência de soluções para o problema variacional. / We consider the Stokes’ problem in regions with cylindrical outlets to infinity connected by an arbitrary bounded domain. We impose an additional condition about the pressure behavior as |x| → +∞, in addition to the usual initial and boundary conditions over the velocity field. We present a problem proposed by D. Koch concerning such regions and conditions, and we formulate it in terms of more general ones. The techniques used in the well-known Leray’s problem allow the demonstration of the existence of solutions to the variational problem.

Consideramos o problema de Stokes em regiões com cilindros semi-infinitos conectados por um domínio limitado qualquer. Além das condições iniciais e de contorno, é imposto uma condição sobre o comportamento da pressão quando |x| → +∞. Apresentamos um problema proposto por D. Koch envolvendo tais situações e formulamos o problema em regiões mais gerais. Técnicas usadas na resolução do conhecido problema de Leray permitem a demonstração da existência de soluções para o problema variacional. / We consider the Stokes’ problem in regions with cylindrical outlets to infinity connected by an arbitrary bounded domain. We impose an additional condition about the pressure behavior as |x| → +∞, in addition to the usual initial and boundary conditions over the velocity field. We present a problem proposed by D. Koch concerning such regions and conditions, and we formulate it in terms of more general ones. The techniques used in the well-known Leray’s problem allow the demonstration of the existence of solutions to the variational problem.