Ce manuscrit est dédié à l'étude de l'estimation paramétrique d'une famille de processus ponctuels appelée processus déterminantaux. Ces processus sont utilisés afin de générer et modéliser des configurations de points possédant de la dépendance négative, dans le sens où les points ont tendance à se repousser entre eux. Plus précisément, nous étudions les propriétés asymptotiques de divers estimateurs classiques de processus déterminantaux paramétriques, stationnaires et non-stationnaires, dans les cas où l'on observe une unique réalisation d'un tel processus sur une fenêtre bornée. Ici, l'asymptotique se fait sur la taille de la fenêtre et donc, indirectement, sur le nombre de points observés. Dans une première partie, nous montrons un théorème limite central pour une classe générale de statistiques sur les processus déterminantaux. Dans une seconde partie, nous montrons une inégalité de béta-mélange générale pour les processus ponctuels que nous appliquons ensuite aux processus déterminantaux. Dans une troisième partie, nous appliquons le théorème limite central obtenu à la première partie à une classe générale de fonctions estimantes basées sur des méthodes de moments. Finalement, dans la dernière partie, nous étudions le comportement asymptotique du maximum de vraisemblance des processus déterminantaux. Nous donnons une approximation asymptotique de la log-vraisemblance qui est calculable numériquement et nous étudions la consistance de son maximum. / This manuscript is devoted to the study of parametric estimation of a point process family called determinantal point processes. These point processes are used to generate and model point patterns with negative dependency, meaning that the points tend to repel each other. More precisely, we study the asymptotic properties of various classical parametric estimators of determinantal point processes, stationary and non stationary, when considering that we observe a unique realization of such a point process on a bounded window. In this case, the asymptotic is done on the size of the window and therefore, indirectly, on the number of observed points. In the first chapter, we prove a central limit theorem for a wide class of statistics on determinantal point processes. In the second chapter, we show a general beta-mixing inequality for point processes and apply our result to the determinantal case. In the third chapter, we apply the central limit theorem showed in the first chapter to a wide class of moment-based estimating functions. Finally, in the last chapter, we study the asymptotic behaviour of the maximum likelihood estimator of determinantal point processes. We give an asymptotic approximation of the log-likelihood that is computationally tractable and we study the consistency of its maximum.

Dans cette thèse, on étudie le comportement asymptotique de modèles de boules aléatoires engendrées selon différents processus ponctuels, après leur avoir appliqué un changement d’échelle qui peut être vu comme un dézoom. Des théorèmes limites existent pour des processus de Poisson et on généralise ces résultats en considérant tout d’abord des boules engendrées par des processus déterminantaux, qui induisent de la répulsion entre les points. Cela permet de modéliser de nombreux phénomènes, comme par exemple la répartition des arbres dans une forêt. On s’intéresse ensuite à un cas particulier des processus de Cox, les processus shot-noise, qui présentent des amas de points, modélisant notamment la présence de corpuscules dans des nano-composites. / In this thesis, we study the asymptotic behavior of random balls models generated by different point processes, after performing a zoom-out on the model. Limit theorems already exist for Poissonian random balls and we generalize the existing results first by studying determinantal random balls models, which induce repulsion between the centers of the balls. It models many phenomena, for example the distribution of trees in a forest. We are then interested in a particular case of Cox processes, the shot-noise Cox processes, which exhibit clusters, modeling the presence of corpuscles in nano composites.

Nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes d’existence et d’infinie divisibilité pour des processus ponctuels alpha-déterminantaux et, lorsque alpha est positif, pour leur intensité sous-jacente (en tant que processus de Cox). Dans le cas où l’espace est fini, ces distributions correspondent à des lois binomiales, négatives binomiales et gamma multidimensionnelles. Nous étudions de façon approfondie ces deux derniers cas avec un noyau non nécessairement symétrique. / We establish necessary and sufficient conditions for the existence and infinite divisibility of alpha-determinantal processes and, when alpha is positive, of their underlying intensity (as Cox process). When the space is finite, these distributions correspond to multidimensional binomial, negative binomial and gamma distributions. We make an in-depth study of these last two cases with a non necessarily symmetric kernel.