Cette thèse est consacrée à l'étude d'existence de solutions pour certains problèmes d'évolution. Il s'agit de processus de rafle perturbés associés d'une part à des ensembles prox-réguliers et d'autre part à des ensembles sous-lisses. Les ensembles sont supposés évoluer de façon lipschitzienne ou absolument continue. / This dissertation is devoted to the study of the existence of solutions for some evolution problems. The study is concerned with perturbed sweeping processes associated on the one hand with prox-regular sets and the other hand with subsmooth sets. It is assumed that the sets move either in a Lipschitz way or in an absolutely continuous way.

Nous nous intéressons à la modélisation des mouvements de foule causés par des situations d'évacuation d'urgence. L'objectif de cette thèse est de proposer un modèle mathématique et une méthode numérique de gestion des contacts, afin de traiter les interactions locales entre les personnes pour finalement mieux rendre compte de la dynamique globale du trafic piétonnier. Nous proposons un modèle microscopique de mouvements de foule reposant sur deux principes. D'une part, chaque personne a une vitesse souhaitée, celle qu'elle aurait en l'absence des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus prend en compte une certaine contrainte d'encombrement maximal. En précisant le lien entre ces deux vitesses, le problème d'évolution prend la forme d'une inclusion différentielle du premier ordre. Son caractère bien posé est démontré en utilisant des résultats sur les processus de rafle par des ensembles uniformément prox-réguliers. Ensuite, nous présentons un schéma numérique et démontrons sa convergence. Pour calculer une vitesse souhaitée particulière (celle dirigée par le plus court chemin évitant les obstacles), nous présentons une programmation orientée objet ayant pour but de simuler l'évacuation d'une structure de plusieurs étages présentant une géométrie quelconque. Nous finissons avec d'autres choix de vitesse souhaitée (par exemple, en ajoutant des stratégies individuelles) et présentons les résultats numériques associés. Ces simulations numériques permettent de retrouver certains phénomènes observés lors de déplacements piétonniers.

Cette thèse est consacrée, d'une part, à l'étude d'existence de solutions pour des problèmes d'évolution et, d'autre part, à la stabilité de la propriété de prox-régularité ensembliste. Nous étudions dans la première partie des processus de rafle de Moreau perturbés et discontinu du premier et du second ordre. L'ensemble mouvant est prox-régulier dans un espace de Hilbert réel quelconque et sa variation est contrôlé par une mesure de Radon. Des applications à la théorie de la complémentarité et à celle des inéquations variationnelles sont présentées. Dans la seconde partie, on donne des conditions suffisantes assurant la prox-régularité d'ensembles décrit par des contraintes non nécessairement lisses sous forme d'inégalités et/ ou d'égalités et plus généralement d'ensembles de solutions d'équations généralisées. On y développe également des conditions vérifiables assurant la préservation de la prox-régularité vis-à-vis d'opérations ensemblistes : les cas de l'intersection, d'image directe, de pré-image, d'union et projection sur un sous-espace sont considérés. / In this dissertation, we study, on the one hand, the existence of solutions for some evolution problems and, on the other hand, the stability of prox-regularity under set operations. The first topic is devoted to first and second order nonconvex perturberd Moreau's sweeping processes in infinite dimensional framework. The moving set is assumed to be prox-regular and moved in a bounded variation way. Applications to the theory of complementarity problems and evolution variational inequalities are given. In the other topic, we first give verifiable sufficient conditions ensuring the prox-regularity of constrained sets and more generally for solution sets of generalized equations. We also develop the preservation of prox-regularity under set operations as intersection, direct image, inverse image, union and projection along a vector space.

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'étude d'existence de solutions pour les processus de rafle. Ce problème prend la forme d'une inclusion différentielle contrainte avec des cônes normaux qui apparaissent naturellement dans nombreuses applications telles que le mouvement de foule, l'élastoplasticité, les mécaniques, les circuits électroniques, etc. L'objective de ce travail est de rapprocher deux importantes classes d'inclusions différentielles. D'une part, nous établissons quelques résultats d'existence de tube-solutions pour des processus de rafle à des ensembles uniformément prox-réguliers. D'autre part, nous présentons des résultats d'existence de solutions monotone par rapport à un préordre pour un système mixte d'inclusions différentielles projetées. De plus, nous montrons l'existence d'un point-selle pour notre système et nous fournissons deux exemples d'applications. / In this thesis, we were interested in the study of the existence of solutions for sweeping processes. This problem takes the form of a constrained differential inclusion involving normal cones which appears naturally in many applications such as crowd motion, elastoplasticity, mechanics, electrical circuit, etc.The aim of this work is to bring together two classes of differential inclusions. On one hand, we establish some existence results of solutions-tube for sweeping processes with uniformly prox-regular sets. On the other hand, we present existence results of monotone solutions with respect to a preorder for a mixed system of projected differential inclusions. In addition, we show that our system has a saddle-point and we provide two examples of applications.