Le produit tensoriel non abélien construit à partir de modules croisés sur un même groupe est en surjection sur le sous-groupe de commutateurs induit par les images des modules croisés. Les factorisations à travers chacun des modules croisés définissent des commutateurs généralisés. Les noyaux associés sont des quotients de groupes de relations entre commutateurs généralisés par des relations universelles. Toute l'homologie d'un groupe peut s'exprimer sous la forme de tels quotients. L'étude des identités vérifiées par le produit tensoriel, de l'exactitude à droite et de l'obstruction à l'exactitude à gauche permet d'expliciter plus ou moins complètement certains de ces quotients et d'établir des liens entre différents groupes de cette forme. Ces questions sont également liées à l'existence de sections compatibles avec les structures de module croisé et à l'éventuelle nullité de morphismes canoniques induits par la suite centrale descendante entre troisièmes groupes d'homologie.