Le produit tensoriel non abélien construit à partir de modules croisés sur un même groupe est en surjection sur le sous-groupe de commutateurs induit par les images des modules croisés. Les factorisations à travers chacun des modules croisés définissent des commutateurs généralisés. Les noyaux associés sont des quotients de groupes de relations entre commutateurs généralisés par des relations universelles. Toute l'homologie d'un groupe peut s'exprimer sous la forme de tels quotients. L'étude des identités vérifiées par le produit tensoriel, de l'exactitude à droite et de l'obstruction à l'exactitude à gauche permet d'expliciter plus ou moins complètement certains de ces quotients et d'établir des liens entre différents groupes de cette forme. Ces questions sont également liées à l'existence de sections compatibles avec les structures de module croisé et à l'éventuelle nullité de morphismes canoniques induits par la suite centrale descendante entre troisièmes groupes d'homologie.

Au début des années 90, P. Greenberg entame une étude géométrique du groupe de Thompson $T$, dans le contexte des homéomorphismes du cercle projectifs par morceaux, appelé géométrie CPP. Nous reprenons cette étude en établissant un pont entre la géométrie CPP et l'espace de Teichmüller universel décoré de Penner. Ce dernier est muni d'un système de coordonnées affines global. A l'aide de ces coordonnées, nous montrons que l'espace des homéomorphismes du cercle normalisés, de classe CPP et à points de coupure rationnels est homéomorphe à une limite directe d'espaces euclidiens, donc contractile. Puis, nous analysons l'action du groupe sur cet espace, dans le système des coordonnées. Nous en déduisons un classifiant du groupe $T$, dans la géométrie CPP. En application, nous donnons une version géométrique d'un théorème de Ghys et Sergiescu reliant l'homologie de $T$ à celle de l'espace des lacets libres sur la sphère de dimension 3.

Cette thèse consiste d'une étude de la géométrie d'une certaine classe de groupes arithmétiques, à travers d'une action propre sur un espace contractile. Nous calculons explicitement leur homologie de groupe, et leur K-homologie équivariante. Plus précisément, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire et son anneau d'entiers A. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A) et PSL_2(A). Ces groupes agissent d'une manière naturelle sur l'espace hyperbolique à 3 dimensions. Ils constituent une clef pour l'étude d'une classe plus large de groupes, les groupes Kleiniens, étudiés depuis Poincaré. En fait, chaque groupe Kleinien arithmétique non-cocompact est commensurable avec un des groupes de Bianchi. L'auteur a implémenté à l'ordinateur, le calcul d'un domaine fondamental pour ces groupes. En calculant les stabilisateurs et identifications sur ce domaine fondamental, nous obtenons une structure explicite d'orbi-espace. Nous nous en servons pour étudier des aspects différents de la géométrie des groupes de Bianchi. D'abord, nous calculons l'homologie de groupe à coefficients entiers, à l'aide de la suite spectrale équivariante de Leray/Serre. Ensuite, nous calculons l'homologie de Bredon de groupes de Bianchi, de laquelle nous déduisons leur K-homologie équivariante. Par la conjecture de Baum/Connes, qui est vérifiée par nos groupes, nous obtenons la K-théorie des C*-algèbres réduites de nos groupes. Finalement, nous complexifions nos orbi-espaces, en complexifiant l'espace hyperbolique. Ceci nous permet de calculer la cohomologie d'orbi-espace de Chen/Ruan, qui est l'un des deux côtés de la conjecture de la résolution cohomologique crépante de Ruan.