Les modèles intégrables sont des modèles physiques pour lesquels certaines quantités peuvent être calculées de manière exacte, sans recours aux méthodes de perturbations. Ces modèles très particuliers suscitent un intérêt croissant en physique théorique. Les applications directes en physique de la matière condensée et les liens subtils plus récemment mis en évidence avec certaines théories de jauge supersymétriques ont motivé depuis des décennies l’élaboration d’outils mathématiques complexes. Parmi eux, l’ansatz de Bethe a joué un rôle central, et permis la diagonalisation de nombreux modèles de natures très différentes. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à une introduction aux deux approches de l’ansatz de Bethe, dites ”en coordonnée” et ”algébrique”, dans le cadre de la chaîne de spin de Heisenberg et d’un modèle stochastique généralisant à un spin continu le modèle du Totally Asymmetric Simple Exclusion Process. Le deuxième chapitre de cette thèse présente l’ansatz algébrique modifié pour la chaîne XXX périodique. Cet ansatz modifié est proposé pour résoudre le cas de la chaîne ouverte, pour laquelle l’ansatz classique n’est plus efficace. Le produit scalaire des états de Bethe modifiés ainsi obtenus est étudié. Le troisième chapitre concerne la résolution de l’identité, et le problème fonctionnel inverse. Une expression pour les états de spin en terme des états de Bethe est présentée pour le q-TASEP, et une expression de la résolution de l’identité en terme des états de Bethe pour la chaîne de spin XXZ infinie est démontrée, faisant intervenir dans les deux cas la contribution des états liés. Enfin, le quatrième chapitre concerne les représentions en déterminant dans l’ansatz de Bethe. Une expression pour les éléments de matrice de l’opérateur Nombre de Particule pour le gaz de Bose avec interaction delta en terme d’un déterminent est démontrée, et des représentations intégrales pour les déterminants d’Izergin-Korepin et de Slavnov sont investiguées, établissant ainsi un nouveau lien formel direct entre ces deux représentations en déterminant. / Integrable models are physical models for which some quantities can be exactly obtained, without use of perturbation theory. Those very special models are source of an increasing interest in theoretical physics. The direct applications in condensed matter physics and the subtle links evidenced more recently with some supersymmetric gauges theories motivated the development of complex mathematical tools. Among these, Bethe ansatz played an important role, and provides an efficient approach for diagonalizing a lot of models of various nature. The first chapter of this thesis is devoted to the introduction to the two approaches of the Bethe ansatz, said “coordinate” and “algebraic”, in the context of the XXX Heisenberg spin chain and a continuous spin generalization of the Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, the so called Zero-range Chipping model with factorized steady state (ZCM). The second chapter is devoted to the Modified Algebraic Bethe Ansatz in the context of the periodic XXX chain. This modified ansatz is proposed for solving the spectral problem of the open spin chain, for which the usual ansatz fails. The scalar product of the obtained modified Bethe states is studied. The third chapter concerns the resolution of the identity and the inverse functional problem. An expression for the spin states in terms of Bethe states est presented for the ZCM, and an expression for the resolution of the identity in term of Bethe states for the infinite XXZ chain is proved, involving in both cases the contribution of bound states. At last, the fourth chapter concerns determinant representations in the Bethe ansatz. An expression for the “matrix elements of the particle number operator” for the delta-Bose gas in terms of a determinant is proved, and some integral representations for the Izergin-Korepin and Slavnov determinants are investigated, then establishing a new formal link between these two determinant representations.

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Le but de cette thèse est de construire, à partir d'un ensemble donné d'exemples de contours d'objets, un critère qui exprime quantitativement la ressemblance entre une forme quelconque et ces exemples. Ce critère permettra ainsi d'avoir un a priori sur la forme de l'objet à rechercher dans une nouvelle image à segmenter. On définit tout d'abord mathématiquement l'ensemble de "toutes les formes". L'étude de plusieurs métriques sur cet ensemble conduit à leur équivalence topologique. Une approximation dérivable de la distance de Hausdorff permet alors de construire un chemin entre deux formes quelconques par descente de gradient. Le gradient d'une application dépendant d'une forme est un champ de déformation appartenant à son espace tangent; il dépend de son produit scalaire, qui peut alors être vu comme un a priori sur les champs de déformation en changeant qualitativement les évolutions. Une extension de la notion de gradient à des a priori non linéaires est également proposée. Les champs instantanés de déformation d'une forme vers une autre obtenus par gradient d'une distance permettent de définir la "moyenne" d'un ensemble donné de contours, ainsi que les modes caractéristiques de déformation qui lui sont associés, exprimant la variabilité de la forme dans l'échantillon étudié. De ces statistiques sur les formes on déduit plusieurs critères de segmentation, qui sont testés et illustrés sur quelques exemples. Des statistiques assez similaires sont également menées sur des images (au lieu de formes) dans une approche difféomorphique, testées sur des photographies de visages, puis utilisées dans une tâche de reconnaissance d'expression.