La conception robuste de pièce mécaniques consiste à prendre en compte dans la modélisation les sources d'incertitudes.Le modèle devient alors assez représentatif de la réalité pour pouvoir diminuer les marges de sécurité, qui permettent de garantir que la pièce en fonctionnement ne sera pas mise en défaut.Dans le cas de pièces aérospatiales, une diminution des marges de sécurité est un enjeu économique majeur car cela entraîne une diminution du poids des pièces.La probabilité de défaillance est une des quantités critiques lors de la conception robuste. Celle-ci quantifie le risque de défaillance de la pièce en comparant la probabilité de résistance du matériau (caractérisée à partir d'essais sur éprouvettes) avec la probabilité de sollicitation du matériau, qui est déterminée à partir des contraintes extérieures à la pièce et des caractéristiques du matériau. C'est ce dernier problème qui a fait l'objet de cette thèse.Dans le cas d'un comportement non linéaire du matériau, la détermination de la probabilité de sollicitation impose d'exécuter de nombreuses fois un calcul de la pièce pour différentes valeurs des conditions aux limites et des paramètres du comportement matériau.Ceci devient rapidement hors de portée sans une stratégie adaptée, un calcul pouvant prendre jusqu'à 12 heures.Une stratégie dédiée à la résolution de l'ensemble de ces calculs est proposée dans ce travail. Elle tire parti de la similarité des calculs pour diminuer le temps total nécessaire. Un gain allant jusqu'à 30 est atteint sur des pièces industrielles simples en quasi-statique avec un comportement élasto-viscoplastique. / The robust design of mechanical parts consists in modeling the sources of uncertainty.The model becomes fairly representative of the reality in order to reduce safety margins, which guarantee that the operating part will not been at fault.In the case of aerospace parts, a reduction of safety margins is a major economic issue as it leads to a decrease in weight.The probability of failure is a critical quantity in the robust design. It quantifies the risk of failure of the part by comparing the likelihood of resistance of the material (characterized from tests on specimens) with the probability of solicitation of the material, which is determined from external constraints to the part and characteristics of the material. This last problem has been the subject of this thesis.In the case of a non-linear behavior of the material, determining the probability of solicitation requires to run many times a calculation of the part for different values of boundary conditions and parameters values of the material constitutive law.This is quickly becoming out of reach without an appropriate strategy, as one calculation can take up to 12 hours.A strategy dedicated to solving all of these calculations is proposed in this work. It takes advantage of the similarity of the calculations to reduce the total time required. A gain of up to 30 is reached on industrial parts with quasi-static elastic-viscoplastic behavior.

Aujourd'hui, les outils de simulations numériques sont omniprésents dans l'industrie, que ce soit dans l'industrie aéronautique, aérospatiale, ferroviaire ou automobile.En effet leur utilisation limite la fabrication (souvent très couteuse) de prototype, et permettent ainsi de réduire les couts et d'accélérer la phase de conception d'un nouveau produit.Dans le cadre des applications acoustiques, il est souvent recommandé de calculer la réponse sur l'ensemble de la bande de fréquences d'intérêt.Les outils de simulation numérique sur une bande de fréquences impliquent généralement plusieurs calculs à fréquences fixes.Même si c'est un moyen simple et naturel pour répondre au problème posé, une telle stratégie peut facilement conduire à des calculs énormes. Cela est particulièrement vrai dans la gamme des moyennes fréquences, où la réponse est particulièrement sensible à la fréquence.Dans cette thèse, la PGD (Proper Generalized Decomposition), est appliqué pour trouver une représentation fonctionnelle distincte de la fréquence et de l'amplitude des inconnues de la TVRC (théorie variationnelle des rayons complexes) sur une bande de fréquences donnée.Ceci permet d'obtenir une réponse de haute qualité sur une large bande en moyennes fréquences, sans nécessité de discrétisation fine de la plage de fréquences considérées. En outre, la représentation PGD de la solution permet d'économiser une grande quantité d'espace en terme de stockage de données. Dans un second temps, la technique PGD a été étendue à la stochastique. / In many industrial contexts, such as aerospace applications or cars design, numerical prediction techniquesbecome more and more useful. They restrict the use of real prototypes to a minimum and make easier thedesign phase. In such industries and in the specific for acoustic, engineers are interested in computing theresponses of systems on frequency bands. In order to predict the vibration behavior of systems overfrequency bands, standard numerical techniques usually involve many frequency-fixed computations, atmany different frequencies. Although it is a straightforward and natural mean to answer to the posed problem,such a strategy can easily lead to huge computations, and the amount of data to store often increasessignificantly. This is particularly true in the context of medium frequency bands, where these responses havea strong sensitivity to the frequency. In this work PGD (Proper Generalized Decomposition), in a first time, isapplied to found a separate functional representation over frequency and space of the unknown amplitude ofVTCR (Variational Theory of Complex Rays) formulation on a reduced frequency space. This allows tocalculate an high quality mid-frequency response over a wide band without a fine frequency discretization,saving computational resources. Moreover the PGD representation of the solution allows to save a hugeamount of space in term of stored data. In a second time, PGD technique as been applied to extend itspeculiarity to mid-frequency wide band with uncertainty.

De nombreux problèmes de mécanique des structures nécessitent la résolution de plusieurs problèmes numériques semblables. Une approche itérative de type réduction de modèle, la Proper Generalized Decomposition (PGD), permet de déterminer l’ensemble des solutions en une fois, par l’introduction de paramètres supplémentaires. Cependant, un frein majeur à son utilisation dans le monde industriel est l’absence d’estimateur d’erreur robuste permettant de mesurer la qualité des solutions obtenues. L’approche retenue s’appuie sur le concept d’erreur en relation de comportement. Cette méthode consiste à construire des champs admissibles, assurant ainsi l’aspect conservatif et garanti de l’estimation de l’erreur en réutilisant le maximum d’outils employés dans le cadre éléments finis. La possibilité de quantifier l’importance des différentes sources d’erreur (réduction et discrétisation) permet de plus de piloter les principales stratégies de résolution PGD. Deux stratégies ont été proposées dans ces travaux. La première s’est principalement limitée à post-traiter une solution PGD pour construire une estimation de l’erreur commise, de façon non intrusive pour les codes PGD existants. La seconde consiste en une nouvelle stratégie PGD fournissant une approximation améliorée couplée à une estimation de l’erreur commise. Les diverses études comparatives sont menées dans le cadre des problèmes linéaires thermiques et en élasticité. Ces travaux ont également permis d’optimiser les méthodes de construction de champs admissibles en substituant la résolution de nombreux problèmes semblables par une solution PGD, exploitée comme un abaque. / Many structural mechanics problems require the resolution of several similar numerical problems. An iterative model reduction approach, the Proper Generalized Decomposition (PGD), enables the control of the main solutions at once, by the introduction of additional parameters. However, a major drawback to its use in the industrial world is the absence of a robust error estimator to measure the quality of the solutions obtained.The approach used is based on the concept of constitutive relation error. This method consists in constructing admissible fields, thus ensuring the conservative and guaranteed aspect of the estimation of the error by reusing the maximum number of tools used in the finite elements framework. The ability to quantify the importance of the different sources of error (reduction and discretization) allows to control the main strategies of PGD resolution.Two strategies have been proposed in this work. The first was limited to post-processing a PGD solution to construct an estimate of the error committed, in a non-intrusively way for existing PGD codes. The second consists of a new PGD strategy providing an improved approximation associated with an estimate of the error committed. The various comparative studies are carried out in the context of linear thermal and elasticity problems.This work also allowed us to optimize the admissible fields construction methods by substituting the resolution of many similar problems by a PGD solution, exploited as a virtual chart.

In many industrial contexts, such as aerospace applications or cars design, numerical prediction techniquesbecome more and more useful. They restrict the use of real prototypes to a minimum and make easier thedesign phase. In such industries and in the specific for acoustic, engineers are interested in computing theresponses of systems on frequency bands. In order to predict the vibration behavior of systems overfrequency bands, standard numerical techniques usually involve many frequency-fixed computations, atmany different frequencies. Although it is a straightforward and natural mean to answer to the posed problem,such a strategy can easily lead to huge computations, and the amount of data to store often increasessignificantly. This is particularly true in the context of medium frequency bands, where these responses havea strong sensitivity to the frequency. In this work PGD (Proper Generalized Decomposition), in a first time, isapplied to found a separate functional representation over frequency and space of the unknown amplitude ofVTCR (Variational Theory of Complex Rays) formulation on a reduced frequency space. This allows tocalculate an high quality mid-frequency response over a wide band without a fine frequency discretization,saving computational resources. Moreover the PGD representation of the solution allows to save a hugeamount of space in term of stored data. In a second time, PGD technique as been applied to extend itspeculiarity to mid-frequency wide band with uncertainty.

Cette thèse s'intéresse à la question récurrente qu'est la résolution d'un problème pour un grand nombre de configurations différentes. Malgré l'augmentation constante de la puissance de calcul que l'on connait aujourd'hui, le traitement direct d'un tel problème reste souvent hors de portée. La technique qui est développée ici est basée sur l'utilisation de la Proper Generalized Decomposition (PGD) dans le cadre de la méthode LATIN. On étudie tout d’abord la capacité de cette technique de réduction de modèle à résoudre un problème paramétré pour un espace de conception donné. Lors du traitement d’un tel problème, on génère une base réduite que l’on peut réutiliser et éventuellement enrichir en traitant un par un les problèmes correspondants aux jeux de paramètres étudiés. Le but devient alors de développer une stratégie, inspirée par la méthode « Reduced Basis », afin d’explorer de façon rationnelle l’espace des paramètres. L’objectif étant de construire, avec le minimum de résolutions, une base réduite « complète » qui permet de résoudre tous les autres problèmes de l’espace de conception sans enrichir cette base. On commence dès lors par montrer l’existence d’une telle base complète en extrayant les informations les plus pertinentes des solutions PGD d’un problème pour tous les jeux de paramètres de l’espace de conception. On propose ensuite une stratégie rationnelle pour construire cette base complète sans la nécessité préalable de la résolution du problème pour tous les jeux de paramètres. Enfin, les performances de la méthode proposée sont illustrées sur plusieurs exemples, montrant des gains conséquents lorsque des études récurrentes doivent être menées. / This thesis deals with the recurring question of the resolution of a problem for many different configu- rations, which can lead to highly expensive computations when using a direct treatment. The technique which is presented here is based on the use of Proper Generalized Decomposition (PGD) in the framework of the LATIN method. The feasibility of this model reduction technique approach is studied to compute the solution of a parametrized problem for a given space of parameters. For that purpose, a Reduced-Order Basis is generated, reused and eventually enriched, by treating, one-by-one, all the various parameter sets. The aim is to develop a strategy, inspired by the Reduced Basis method, to explore rationally the space of parameters. Then, the objective is to build, with the minimum of resolutions, a ‘‘complete’’ basis that enables to solve all the other problems without enriching the basis. We first exemplify the existence of a such complete basis by extracting the most relevant information from the PGD solutions of the problem for all the sets in the space of parameters. Secondly, we propose a rational strategy to build this complete basis without preliminary solving the problem for all the sets of parameters. Finally, the capabilities of the proposed method are illustrated through a variety of examples, showing substantial gains when recurrent studies need to be carried out.

L’objectif de ce travail consiste à développer la méthode de résolution PGD (Proper Generalized Decomposition), qui est une méthode de réduction de modèle où la solution est recherchée sous forme séparée, à la résolution des équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps, cette méthode est appliquée à la résolution d’équations modèles disposant d’une solution analytique. L’ équation de diffusion stationnaire 2D et 3D, l’équation de diffusion instationnaire 2D et les équations de Burgers et Stokes sont traitées. Nous montrons que dans tous ces cas la méthode PGD permet de retrouver les solutions analytiques avec une précision équivalente au modèle standard. Nous mettons également en évidence la supériorité de la PGD par rapport au modèle standard en terme de temps de calcul. En effet, dans tous ces cas, laPGD se montre beaucoup plus rapide que le solveur standard (plusieurs dizaine de fois). La résolution des équations de Navier-Stokes isothermes et anisothermes est ensuite effectuée par une discrétisation volumes finis sur un maillage décalé où le couplage vitesse-pression a été géré à l’aide d’un schéma de prédiction-correction. Dans ce cas une décomposition PGD sur les variables d’espaces uniquement a été choisie. Pour les écoulements incompressibles 2D stationnaire ou instationnaire, de type cavité entrainée et/ou différentiellement chauffé, les résultats obtenus par résolution PGD sont similaires à ceux du solveur standard avec un gain de temps significatif (la PGD est une dizaine de fois plus rapide que le solveur standard). Enfin ce travail introduit une première approche de la résolution des équations de transferts par méthode PGD en formulation spectrale. Sur les différents problèmes traités, à savoir l’équation de diffusion stationnaire, l’équation de Darcy et les équations de Navier-Sokes, la PGD a montré une précision aussi bonne que le solveur standard. Un gain de temps a été observé pour le cas de l’équation de Poisson, par contre, concernant le problème de Darcy ou les équations de Navier-Stokes les performances de la PGD en terme de temps de calcul peuvent encore être améliorées. / Motivated by solving the Navier-Stokes equations, this work presents the implementation and development of a reduced order model, the PGD (Proper Generalized Decomposition).Firstly, this method is applied to solving equations models with an analytical solution. The stationary diffusion equation 2D and 3D, 2D unsteady diffusion equation and Burgers equations and Stokes are processed. We show that in all these cases, the PGD method allows to find analytical solutions with a good accuracy compared to the standard model. We also demonstrate the superiority of the PGD relative to the standard model in terms of computing time. Indeed, in all these cases, PGD was much more rapid than the standard solver (several dozen times). The Navier-Stokes 2D and 3D thermal and isothermal isotherms are then processed by a finite volume discretization on a staggered grid where the velocity-pressure coupling was handled using a prediction-correction scheme. In this case a decomposition of the space variables only was chosen. The results in 2D for Reynolds numbers equal to 100, 1000and 10, 000 are similar to those of the solver standard with a significant time saving (PGD isten times faster than the solver standard). Finally, this work introduces a first approach tosolving the Navier-Stokes equations with a spectral method coupled with the PGD. Different cases were dealed, the stationary diffusion equation, the Darcy equation and the Navier-Sokesequations. PGD showed a good accuracy compared with the standard solver. Saving time was observed for the case of the Poisson equation, on the other hand, about Darcy’s problem or Navier-Stokes’ equations, performance of the PGD in terms of computing time may yet be improved.

[EN] Thesis exposition and summary. This thesis focuses on giving light to the current state of traditional numerical methods, the constraints we face, and the different solutions that are being proposed for the simulation of the electromagnetic behaviour of different materials as electrical conductors in transmission lines and grounding facilities, based on the formulation that defines the Electromagnetic Field Theory (Maxwell Laws), and the different conditions of each particular problem to solve. The main aim of the thesis is to investigate the application of numerical techniques very recently applied, known as the Proper Generalized Decomposition (PGD). Based on a novel technique of decomposition of multidimensional variables (such as in electromagnetic field) in a sum of products (modes) of one-dimensional variables, and using iterative algorithms, PGD can address with a reduced need for computational media, complex problems whose solution requires extraordinary means using traditional techniques. These new techniques have been successfully applied in other domains, such as the simulation of mechanical components and materials science. The aim of this thesis is the application of these new techniques to the simulation of electromagnetic phenomena in the different elements designed for the use of electricity. The thesis focuses on the development of modelling power transmission conductor energy and grounding networks, basic structures in electrical technology but serve to analyze and observe in detail, as well as to validate with traditional methods of proven reliability, the great potential of PGD, leaving open the application of the technique to technically complex as transformers and rotating machines in future works of the Electrical Equipment, Systems and Facilities Research Group (ISEE) of the Polytechnic University of Valencia (UPV). The main novelties of the thesis on previous work are part of the objectives, and are as follows: -Optimization on PGD technique. In this thesis has been chosen by an application of PGD with maximum decomposition in elementary functions, i.e., modes will be considered consisting of products of functions exclusively one-dimensional (x, y, z, t, frequency, etc.), then discretized with uniform dimensional meshes. This will lead us to obtain simple codes, which require easy deployment and reduced computational resources. -Applications of PGD to electromagnetism field, since the vast majority of references that can be found in the application of PGD concern the field of mechanics and materials. This work aims to use advances made in these fields, and apply to the field of electromagnetism, where only very few works have been published in recent years, with the aim of contributing to further open a new front in the development and application of technology that allows to overcome the limitations and problems that far presented with traditional techniques resolution. / [ES] Planteamiento y resumen de la tesis doctoral. La presente tesis se centra en dar luz al estado actual de los métodos numéricos tradicionales, las limitaciones a las que nos enfrentamos, y las diferentes soluciones que se están planteando para la simulación del comportamiento electromagnético de diferentes materiales como conductores eléctricos en líneas de transmisión e instalaciones de puesta a tierra, basándose en la formulación que define la Teoría de Campos Electromagnéticos (Leyes de Maxwell), y las diferentes condiciones de cada problema particular a resolver. El objetivo principal de la tesis es el investigar la aplicación de técnicas numéricas de muy reciente aplicación, conocidas como la Descomposición Propia Generalizada (Proper Generalized Decomposition PGD). Basándose en una técnica novedosa de descomposición de las variables multidimensionales (como en el campo electromagnético) en una suma de productos (modos) de variables unidimensionales, y mediante algoritmos iterativos, la PGD permite abordar, con una reducida necesidad de medios computacionales, problemas complejos cuya solución requiere medios extraordinarios empleando las técnicas tradicionales. Estas nuevas técnicas han sido aplicadas con éxito en otros dominios, como el de la simulación de elementos mecánicos y en ciencia de los materiales. El objetivo de la presente tesis es precisamente el de la aplicación de estas novedosas técnicas a la simulación de fenómenos electromagnéticos en los diferentes elementos diseñados para la utilización de la energía eléctrica. La tesis se centra en el desarrollo de la modelización de conductores de transmisión de energía eléctricas y redes de puesta a tierra, estructuras básicas en la tecnología eléctrica pero que sirven para analizar y observar con detalle además de validar con métodos tradicionales, de demostrada fiabilidad, el gran potencial de la PGD, dejando abierta la aplicación de la técnica a elementos técnicamente más complejos como transformadores y máquinas rotativas en futuros trabajos del Grupo de Investigación de Instalaciones, Sistemas y Equipos Eléctricos (ISEE) de la Universidad Politécnica de Valencia (UPV). Las principales novedades que aporta la tesis sobre trabajos realizados anteriormente son parte de los objetivos que persigue, y son las siguientes: - Optimización de la técnica de la PGD. En la presente tesis se ha optado por una aplicación de la PGD con la máxima descomposición posible en funciones elementales, es decir, los modos se considerarán formados por productos de funciones exclusivamente unidimensionales (x, y, z, t, frecuencia, etc.), discretizadas posteriormente con mallas unidimensionales uniformes. Esto nos llevará a obtener códigos simples, de sencilla implementación y que necesitarán de reducidos recursos computacionales. - Aplicación de la PGD al campo del Electromagnetismo, ya que la gran mayoría de las referencias que se pueden encontrar en la aplicación de la PGD se refieren al campo de la mecánica y los materiales. Este trabajo pretende utilizar avances logrados en esos campos, y aplicarlos al campo del electromagnetismo, donde sólo muy pocos trabajos han sido publicados en los últimos años, con el objetivo de contribuir a seguir abriendo un nuevo frente en el desarrollo y aplicación de la técnica, que permita vencer las limitaciones y problemas que hasta el momento se presentan con las técnicas de resolución tradicionales. / [CAT] Plantejament i resum de la tesi doctoral. La present tesi se centra a donar llum a l'estat actual dels mètodes numèrics tradicionals, les limitacions a què ens enfrontem, i les diferents sol¿lucions que s'estan plantejant per a la simulació del comportament electromagnètic de diversos materials com a conductors elèctrics en linies de transmissió i instal¿lacions d'enclavament a terra, basant-se en la formulació que defineix la Teoria de Camps Electromagnètics (Lleis de Maxwell) , i les diferents condicions de cada problema particular a resoldre. L'objectiu principal de la tesi és investigar l'aplicació de tècniques numèriques de molt recent aplicació, conegudes com la Descomposició Pròpia Generalitzada (Proper Generalized Decomposition PGD). Basant-se en una tècnica nova de descomposició de les variables multidimensionales (com en el camp electromagnètic) en una suma de productes (modes) de variables unidimensionals, i per mitjà d'algoritmes iteratius. La PGD permet abordar, amb una reduïda necessitat de mitjans computacionals, problemes complexos la sol¿lució de la qual requereix mitjans extraordinaris emprant les tècniques tradicionals. Tals tècniques han sigut aplicades amb èxit en altres dominis, com el de la simulació d'elements mecànics i en ciència dels materials. L'objectiu de la present tesi és precisament el de l'aplicació d'estes noves tècniques a la simulació de fenòmens electromagnètics en els diversos elements dissenyats per a l'utilització de l'energia elèctrica. La tesi es centra en el desenrotllament de la modelització de conductors de transmissió d'energia eléctrica i xarxes d'enclavament a terra, estructures bàsiques en la tecnologia elèctrica però que serveixen per a analitzar i observar amb detall a més de validar amb mètodes tradicionals, de demostrada fiabilitat, el gran potencial de la PGD, deixant oberta l'aplicació de la tècnica a elements tècnicament més complexos com a transformadors i màquines rotatives en futures treballs del Grup d'Investigació d'Instal¿lacions, Sistemes i Equips Elèctrics (ISEE) de la Universitat Politècnica de València (UPV). Les principals novetats que aporta la tesi sobre treballs realitzats anteriorment són part dels objectius que persegueix, i són les següents: -Optimització de la tècnica de la PGD. En la present tesi s'ha optat per una aplicació de la PGD amb la màxima descomposició possible en funcions elementals, és a dir, els modes es consideraran formats per productes de funcions exclusivament unidimensionals (x, y, z, t, freqüència, etc.), discretizadas amb malles unidimensionals uniformes. Açò ens portarà a obtindre còdics simples, de senzilla implementació i que necessitaran de reduïts recursos computacionals. -Aplicació de la PGD al camp de l'Electromagnetisme, ja que la gran majoria de les referències que es poden trobar en l'aplicació de la PGD es refereixen al camp de la mecànica i els materials. Este treball pretén utilitzar avanços aconseguits en esses camps, i aplicar-los al camp de l'electromagnetisme, on només molt pocs treballs han sigut publicats en els últims anys, amb l'objectiu de contribuir a continuar obrint un nou front en el desentrollament i aplicació de la tècnica, que permeta véncer les limitacions i problemes que fins al moment es presenten amb les tècniques de resol¿lució tradicionals. / Lázaro García, J. (2016). Contribución al cálculo de elementos en instalaciones eléctricas mediante PGD (Proper Generalized Decomposition) [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/61966 / TESIS

La réduction du temps de calcul lors de la résolution de problèmes d’évolution dans le cadre du calcul de structure constitue un enjeu majeur pour, par exemple, la mise en place de critères de rupture des pièces dans le secteur de l’aéronautique et de l’automobile. En particulier, la prédiction du cycle stabilisé des polymères sollicités sous chargement cyclique nécessite de résoudre un problème thermo-viscoélastique à grand nombre de cycles. La présence de différentes échelles de temps telles que le temps de relaxation (viscosité), le temps caractéristique associé au problème thermique et le temps du cycle de chargement conduit à un temps de calcul significatif lorsqu’un schéma incrémental est utilisé comme c’est le cas avec la méthode des éléments finis (MEF). De plus, un nombre important de données doit être stocké (au moins à chaque cycle). L’objectif de cette thèse est de proposer de nouvelles méthodes ainsi que d’étendre des méthodes existantes. Il est choisi de résoudre un problème thermique transitoire cyclique impliquant différentes échelles de temps avec l’objectif de réduire le temps de calcul réduit. Les méthodes proposées font partie des méthodes de réduction de modèles. Tout d’abord, la méthode de décomposition propre généralisée(PGD) a été étendue à un problème transitoire cyclique 3D non linéaire, la non-linéarité a été traitée en combinant la méthode PGD à la Méthode d’interpolation empirique discrète (DEIM), stratégie numérique déjà proposée dans la littérature. Les résultats ont montré l’efficacité de la PGD pour générer des résultats précis par rapport à la solution FEM avec une erreur relative inférieure à (1%). Ensuite, afin de réduire le temps de calcul, une autre approche alternative a été développée. Cette approche est basée sur l’utilisation d’une collection de modes, les modes les plus significatifs, issus de solutions PGD pour différentes échelles de temps et différentes valeurs de paramètres. Un dictionnaire regroupant ces modes est alors utilisé pour construire des solutions pour différents temps caractéristiques et différentes conditions aux limites, uniquement par projection de la solution sur les modes du dictionnaire. Cette approche a été adaptée pour traiter un problème faiblement couplé diffuso-thermique. La nouveauté de cette approche est de considérer un dictionnaire composé de bases spatio-temporelles et non pas uniquement de bases spatiales comme dans la fameuse méthode POD. Les résultats obtenus avec cette approche sont précis et permettent une réduction notable du temps de calcul on line. Néanmoins, lorsque différents temps de cycles sont considérés, le nombre de modes dans le dictionnaire augmente, ce qui en limite son utilisation. Afin de pallier cette limitation,une troisième stratégie numérique est proposée dans cette thèse. Elle consiste à considérer comme a priori connues des bases temporelles, elle est appelée stratégie mixte. L’originalité dans cette approche réside dans la construction de la base temporelle a prior basée sur l’analyse de Fourier de différentes simulations pour différents temps et différentes valeurs des paramètres. Une fois cette étude réalisée, une expression analytique des bases temporelles fonction des paramètres tels que le temps caractéristique et le temps du cycle est proposée. Les bases spatiales associées sont calculées à l’aide d’un algorithme type PGD. Cette méthode est ensuite testée pour la résolution de problèmes thermiques 3D sous chargement cyclique linéaires et non linéaires et un problème faiblement couplé thermo-diffusion. / In the framework of structural calculation, the reduction of computation time plays an important rolein the proposition of failure criteria in the aeronautic and automobile domains. Particularly, the prediction of the stabilized cycle of polymer under cyclic loading requires solving of a thermo-viscoelastic problem with a high number of cycles. The presence of different time scales, such as relaxation time (viscosity), thermal characteristic time (thermal), and the cycle time (loading) lead to a huge computation time when an incremental scheme is used such as with the Finite Element Method (FEM).In addition, an allocation of memory will be used for data storage. The objective of this thesis isto propose new techniques and to extend existent ones. A transient thermal problem with different time scales is considered in the aim of computation time reduction. The proposed methods are called model reduction methods. First, the Proper Generalized Decomposition method (PGD) was extended to a nonlinear transient cyclic 3D problems. The non-linearity was considered by combining the PGD method with the Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM), a numerical strategy used in the literature. Results showed the efficiency of the PGD in generating accurate results compared to the FEM solution with a relative error less than 1%. Then, a second approach was developed in order to reduce the computation time. It was based on the collection of the significant modes calculated from the PGD method for different time scales. A dictionary assembling these modes is then used to calculate the solution for different characteristic times and different boundary conditions. This approach was adapted in the case of a weak coupled diffusion thermal problem. The novelty of this method is to consider a dictionary composed of spatio-temporal bases and not spatial only as usedin the POD. The results showed again an exact reproduction of the solution in addition to a huge time reduction. However, when different cycle times are considered, the number of modes increases which limits the usage of the approach. To overcome this limitation, a third numerical strategy is proposed in this thesis. It consists in considering a priori known time bases and is called the mixed strategy. The originality in this approach lies in the construction of a priori time basis based on the Fourier analysis of different simulations for different time scales and different values of parameters.Once this study is done, an analytical expression of time bases based on parameters such as the characteristic time and the cycle time is proposed. The related spatial bases are calculated using the PGD algorithm. This method is then tested for the resolution of 3D thermal problems under cyclic loading linear and nonlinear and a weak coupled diffusion thermal problem.

Représentations séparées pour la simulation multi-échelle du comportementmécanique et de l’endommagement des matériaux composites.Résumé: Le développement de méthodes numériques performantes pour simuler les structurescomposites est un défi en raison de la nature multi-échelle et de la complexité des mécanismed’endommagement de ce type de matériaux. Les techniques classiques de discrétisationvolumique conduisent à des coûts de calcul importants et sont restreintes en pratique à despetites structures.Dans cette thèse, un nouvelle stratégie basée sur une représentation séparée de la solution estexplorée. L’objectif est de proposer un cadre numérique efficace et fiable pour analyser les endommagementsdans les composites stratifiés sous chargements statiques et dynamiques. Ladécomposition propre généralisée (PGD) est utilisée pour construire la solution.Pour traiter l’endommagement, et plus particulière le délaminage, un modèle de zone cohésivea été implémenté dans la PGD. Une approches multi-échelle innovante est également proposéepour simuler le comportement mécanique des composites à microstructure périodique. L’idéeprincipale est de séparer deux échelles : l’échelle du motif périodique (microstructure) et l’échellemacroscopique. Les résultats de la PGD sont très proches des résultats obtenus par la méthodeéléments fini classique. Finalement, la PGD permet de réduire significativement la complexitédes modèles tout en gardant une précision satisfaisante. / Separated representations for the multiscale simulation of the mechanicalbehavior and damages of composite materials.Abstract: The development of efficient simulations for composite structures is very challengingdue to the multiscale nature and the complex damage process of this materials. When usingstandard 3D discretization techniques with advanced models for large structures, the computationalcosts are generally prohibitive.In this thesis, a new strategy based on a separated represenation of the solution is explored todevelop a computationally efficient and reliable numerical framework for the analysis of damagesin laminated composites subjected to quasi-static and dynamic loading. The PGD (Proper GeneralizedDecomposition) is used to build the solution.To treat damage, and especially delamination, a cohesive zone model has been implemented inthe PGD solver. A novel multiscale approach is also proposed to compute the mechanical behaviorof composites with periodic microstructure. The idea is to separate two scales: the scaleof periodic pattern and the macroscopic scale. The PGD results have been compared with theresults obtained with the classcial finite element method. A close agreement is found between thetwo approach and the PGD has significantly reduced the model complexity.

Ce travail présente une contribution à la modélisation numérique des systèmes de suspensions dans le cadre de la théorie cinétique. Cette description continue des systèmes de suspensions permet de prendre en compte l'influence de la structure à l'échelle microscopique sur la cinétique de l'écoulement macroscopique. Cependant elle présente l'inconvénient majeur d'être définie sur un espace à haute dimension et rend alors difficile la résolution de ces modèles avec des approches déterministes classiques. Afin de s'affranchir, ou du moins d'alléger, le poids du caractère micro-macro des approches en théorie cinétique, plusieurs techniques de réduction dimensionnelle s'appuyant sur l'utilisation de la Décomposition Généralisée en modes Propres (PGD) sont présentées. Une étude de différents algorithmes PGD est conduite, et dont l'efficacité en termes de vitesse de convergence et d'optimalité de la solution est illustrée. La simulation de mélanges de fluides immiscibles est conduite à l'aide du Tenseur d'aire qui est un puissant outil de caractérisation du mélange. Cependant celui-ci nécessite l'introduction d'une relation de fermeture dont l'impact est évalué avec le modèle de théorie cinétique équivalent et exact. Finalement, la simulation de systèmes de suspensions colloïdales décrits par l'équation de Smoluchowski présente une approche originale de la modélisation des suspensions solides. Cette approche permet de s'affranchir avantageusement du bruit statistique inhérent aux simulations stochastiques traditionnellement mises en œuvre. / This work is a contribution to the numerical modeling of suspension system in the kinetic theory framework. This continuum description of suspension system allows to account for the microstructure impact on the kinetic of the macroscopic flow. However, its main drawback is related to the high dimensional spaces in which kinetic theory models are defined and makes difficult for classical deterministic approaches to solve such systems. One possibility for circumventing, or at least alleviate, the weight of the micro-macro kinetic theory approaches lies in the use of separated representations strategies based on the Proper Generalized Decomposition (PGD). A study of different PGD algorithms is driven, illustrating the efficiency of these algorithms in terms of convergence speed and optimality of the solution obtained. The immiscible fluids blends modeling is driven using the area tensor which is a powerful numerical tool for characterizing blends. However it needs the introduction of closure relation of which impact is measured using equivalent and exact kinetic theory model. Finally, the numerical modeling of colloidal suspension system described by the Smoluchowski equation presents an original approach of the modeling of solid suspension system. This description allows to circumvent the statistical noise inherent to the stochastic approaches commonly used.