L’objectif de ce travail consiste à développer la méthode de résolution PGD (Proper Generalized Decomposition), qui est une méthode de réduction de modèle où la solution est recherchée sous forme séparée, à la résolution des équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps, cette méthode est appliquée à la résolution d’équations modèles disposant d’une solution analytique. L’ équation de diffusion stationnaire 2D et 3D, l’équation de diffusion instationnaire 2D et les équations de Burgers et Stokes sont traitées. Nous montrons que dans tous ces cas la méthode PGD permet de retrouver les solutions analytiques avec une précision équivalente au modèle standard. Nous mettons également en évidence la supériorité de la PGD par rapport au modèle standard en terme de temps de calcul. En effet, dans tous ces cas, laPGD se montre beaucoup plus rapide que le solveur standard (plusieurs dizaine de fois). La résolution des équations de Navier-Stokes isothermes et anisothermes est ensuite effectuée par une discrétisation volumes finis sur un maillage décalé où le couplage vitesse-pression a été géré à l’aide d’un schéma de prédiction-correction. Dans ce cas une décomposition PGD sur les variables d’espaces uniquement a été choisie. Pour les écoulements incompressibles 2D stationnaire ou instationnaire, de type cavité entrainée et/ou différentiellement chauffé, les résultats obtenus par résolution PGD sont similaires à ceux du solveur standard avec un gain de temps significatif (la PGD est une dizaine de fois plus rapide que le solveur standard). Enfin ce travail introduit une première approche de la résolution des équations de transferts par méthode PGD en formulation spectrale. Sur les différents problèmes traités, à savoir l’équation de diffusion stationnaire, l’équation de Darcy et les équations de Navier-Sokes, la PGD a montré une précision aussi bonne que le solveur standard. Un gain de temps a été observé pour le cas de l’équation de Poisson, par contre, concernant le problème de Darcy ou les équations de Navier-Stokes les performances de la PGD en terme de temps de calcul peuvent encore être améliorées. / Motivated by solving the Navier-Stokes equations, this work presents the implementation and development of a reduced order model, the PGD (Proper Generalized Decomposition).Firstly, this method is applied to solving equations models with an analytical solution. The stationary diffusion equation 2D and 3D, 2D unsteady diffusion equation and Burgers equations and Stokes are processed. We show that in all these cases, the PGD method allows to find analytical solutions with a good accuracy compared to the standard model. We also demonstrate the superiority of the PGD relative to the standard model in terms of computing time. Indeed, in all these cases, PGD was much more rapid than the standard solver (several dozen times). The Navier-Stokes 2D and 3D thermal and isothermal isotherms are then processed by a finite volume discretization on a staggered grid where the velocity-pressure coupling was handled using a prediction-correction scheme. In this case a decomposition of the space variables only was chosen. The results in 2D for Reynolds numbers equal to 100, 1000and 10, 000 are similar to those of the solver standard with a significant time saving (PGD isten times faster than the solver standard). Finally, this work introduces a first approach tosolving the Navier-Stokes equations with a spectral method coupled with the PGD. Different cases were dealed, the stationary diffusion equation, the Darcy equation and the Navier-Sokesequations. PGD showed a good accuracy compared with the standard solver. Saving time was observed for the case of the Poisson equation, on the other hand, about Darcy’s problem or Navier-Stokes’ equations, performance of the PGD in terms of computing time may yet be improved.

Ce travail de recherche est une contribution au développement de la méthode Décomposition Propre Généralisée (PGD) à la résolution de problèmes de diffusion-réaction raides dédiés à la mécanique des matériaux. Ce type d’équations est notamment rencontré lors de l’oxydation des matériaux polymères et il est donc nécessaire de mettre en place un outil pour simuler ce phénomène afin de prédire numériquement le vieillissement de certains matériaux composites à matrice organique utilisés dans l’aéronautique. La méthode PGD a été choisie dans cette thèse car elle permet un gain en temps de calcul notable par rapport à la méthode des éléments finis. Néanmoins cette famille d’équations n’a jamais été traitée avec cette méthode. Cette dernière se résume à la recherche de solutions d’Équations aux Dérivées Partielles sous forme séparée. Dans le cas d’un problème 1D transitoire, cela revient à chercher la solution sous la forme d’une représentation séparée espace-temps. Dans le cadre de cette thèse, un outil numérique a été mis en place permettant une flexibilité telle que différents algorithmes peuvent être testés. La diffusion Fickienne 1D est tout d’abord évaluée avec en particulier une discussion sur l’utilisation d’un schéma de type Euler ou Runge-Kutta à pas adaptatif pour la détermination des fonctions temporelles. Le schéma de Runge-Kutta permet de réduire notablement le temps de calcul des simulations.Ensuite, la mise en place de l’outil pour les systèmes d’équation de type diffusion-réaction nécessite des algorithmes de résolution de systèmes non linéaires, couplés et raides. Pour cela, différents algorithmes ont été implémentés et discutés.Dans le cas d’un système non linéaire, l’utilisation de la méthode de Newton-Raphson dans les itérations pour la recherche du nouveau mode permet de réduire le temps de calcul en limitant le nombre de modes à considérer pour une erreur donnée. En ce qui concerne les couplages, deux stratégies de résolution ont été évaluées. Le couplage fort mène aux mêmes conclusions que dans le cas non linéaire. Les systèmes raides mais linéaires ont ensuite été traités en implémentant l’algorithme de Rosenbrock pour la détermination des fonctions temporelles. Cet algorithme permet contrairement à Euler et à Runge-Kutta de construire une solution avec un temps de calcul raisonnable liée à l’adaptation du maillage temporel sous-jacent à l’utilisation de cette méthode. La résolution d’un système d’équations de diffusion-réaction raides non linéaires utilisée pour la prédiction de l’oxydation d’un composite issu de la littérature a été testée en utilisant les différents algorithmes mis en place. Néanmoins, les non linéarités et la raideur du système génèrent des équations différentielles intermédiaires à coefficients variables pour lesquelles la méthode de Rosenbrock montre ses limites. Il sera donc nécessaire de tester ou développer d’autres algorithmes pour lever ce verrou.Mots / This work presents the development of the Proper Generalized Decomposition (PGD) method for solving stiff reaction-diffusion equations in the framework of mechanics of materials. These equations are particularly encountered in the oxidation of polymers and it is therefore necessary to develop a tool to simulate this phenomenon for example for the ageing of organic matrix composites in aircraft application. The PGD method has been chosen in this work since it allows a large time saving compared to the finite element method. However this family of equations has never been dealt with this method. The PGD method consists in approximating a solution of a Partial Differential Equation with a separated representation. The solution is sought under a space-time separated representation for a 1D transient equation.In this work, a numerical tool has been developed allowing a flexibility to test different algorithms. The 1D Fickian diffusion is first evaluated and two numerical schemes, Euler and Runge-Kutta adaptive methods, are discussed for the determination of the time modes. The Runge-Kutta method allows a large time saving. The implementation of the numerical tool for reaction-diffusion equations requires the use of specific algorithms dedicated to nonlinearity, couplingand stiffness. For this reason, different algorithms have been implemented and discussed. For nonlinear systems, the use of the Newton-Raphson algorithm at the level of the iterations to compute the new mode allows time saving by decreasing the number of modes required for a given precision. Concerning the couplings, two strategies have been evaluated. The strong coupling leads to the same conclusions as the nonlinear case. The linear stiff systems are then studied by considering a dedicated method, the Rosenbrock method, for the determination of the time modes. This algorithm allows time saving compared to the Runge-Kutta method. The solution of a realistic nonlinear stiff reaction-diffusionsystem used for the prediction of the oxidation of a composite obtained from the literature has been tested by using the various implemented algorithms. However, the nonlinearities and the stiffness of the system generate differential equations with variable coefficients for which the Rosenbrock method is limited. It will be necessary to test or develop other algorithms to overcome this barrier.

La résolution des problèmes de contrôle optimal nécessite des temps de calcul et des capacités de stockage très élevés. Pour s’affranchir de ces contraintes, il est possible d’utiliser les méthodes de réduction de modèles comme la POD (Proper Orthogonal Decomposition). L’inconvénient de cette approche est que la base POD n’est valable que pour des paramètres situés dans un voisinage proche des paramètres pour lesquels elle a été construite. Par conséquent, en contrôle optimal, cette base peut ne pas être représentative de tous les paramètres qui seront proposés par l’algorithme de contrôle. Pour s’affranchir de cet handicap, une méthodologie de contrôle optimal utilisant des modèles réduits adaptatifs a été proposée dans ce manuscrit. Les bases réduites adaptées sont obtenues à l’aide de la méthode d’interpolation ITSGM (Interpolation on Tangent Subspace of Grassman Manifold) ou de la méthode d’enrichissement PGD (Proper Generalized Decomposition). La robustesse de cette approche en termes de précision et de temps de calcul a été démontrée pour le contrôle optimal (basé sur les équations adjointes) des équations 2D de réaction-diffusion et de Burgers. L’approche basée sur l’interpolation ITSGM a également été appliquée avec succès pour contrôler l’écoulement autour d’un cylindre 2D. Deux méthodes de réduction non intrusives, ne nécessitant pas la connaissance des équations du modèle étudié, ont également été proposées. Ces méthodes appelées NIMR (Non Intrusive Model Reduction) et HNIMR (Hyper Non Intrusive Model Reduction) ont été couplées à un algorithme génétique pour résoudre rapidement un problème de contrôle optimal. Le problème du contrôle optimal de l’écoulement autour d’un cylindre 2D a été étudié et les résultats ont montré l’efficacité de cette approche. En effet, l’algorithme génétique couplé avec la méthode HNIMR a permis d’obtenir les solutions avec une bonne précision en moins de 40 secondes. / The numerical resolution of adjoint based optimal control problems requires high computational time and storage capacities. In order to get over these high requirement, it is possible to use model reduction techniques such as POD (Proper Orthogonal Decomposition). The disadvantage of this approach is that the POD basis is valid only for parameters located in a small neighborhood to the parameters for which it was built. Therefore, this basis may not be representative for all parameters in the optimizer’s path eventually suggested by the optimal control loop. To overcome this issue, a reduced optimal control methodology using adaptive reduced order models obtained by the ITSGM (Interpolation on a Tangent Subspace of the Grassman Manifold) method or by the PGD (Proper Generalized Decomposition) method, has been proposed in this work. The robustness of this approach in terms of precision and computation time has been demonstrated for the optimal control (based on adjoint equations) of the 2D reaction-diffusion and Burgers equations. The interpolation method ITSGM has also been validated in the control of flow around a 2D cylinder. In the context of non intrusive model reduction, two non intrusive reduction methods, which do not require knowledge of the equations of the studied model, have also been proposed. These methods called NIMR (Non-Intrusive Model Reduction) and HNIMR (Hyper Non-Intrusive Model Reduction) were developed and then coupled to a genetic algorithm in order to solve an optimal control problem in quasi-real time. The problem of optimal control of the flow around a 2D cylinder has been studied and the results have shown the effectiveness of this approach. Indeed, the genetic algorithm coupled with the HNIMR method allowed to obtain the solutions with a good accuracy in less than 40 seconds.

Cette thèse apporte différentes contributions à la résolution de problèmes de grande dimension dans le domaine du calcul scientifique, en particulier pour la quantification d'incertitudes. On considère ici des problèmes variationnels formulés dans des espaces produit tensoriel. On propose tout d'abord une stratégie de préconditionnement efficace pour la résolution de systèmes linéaires par des méthodes itératives utilisant des approximations de tenseurs de faible rang. Le préconditionneur est recherché comme une approximation de faible rang de l'inverse. Un algorithme glouton permet le calcul de cette approximation en imposant éventuellement des propriétés de symétrie ou un caractère creux. Ce préconditionneur est validé sur des problèmes linéaires symétriques ou non symétriques. Des contributions sont également apportées dans le cadre des méthodes d'approximation directes de tenseurs qui consistent à rechercher la meilleure approximation de la solution d'une équation dans un ensemble de tenseurs de faibles rangs. Ces méthodes, parfois appelées "Proper Generalized Decomposition" (PGD), définissent l'optimalité au sens de normes adaptées permettant le calcul a priori de cette approximation. On propose en particulier une extension des algorithmes gloutons classiquement utilisés pour la construction d'approximations dans les ensembles de tenseurs de Tucker ou hiérarchiques de Tucker. Ceci passe par la construction de corrections successives de rang un et de stratégies de mise à jour dans ces ensembles de tenseurs. L'algorithme proposé peut être interprété comme une méthode de construction d'une suite croissante d'espaces réduits dans lesquels on recherche une projection, éventuellement approchée, de la solution. L'application à des problèmes symétriques et non symétriques montre l'efficacité de cet algorithme. Le préconditionneur proposé est appliqué également dans ce contexte et permet de définir une meilleure norme pour l'approximation de la solution. On propose finalement une application de ces méthodes dans le cadre de l'homogénéisation numérique de matériaux hétérogènes dont la géométrie est extraite d'images. On présente tout d'abord des traitements particuliers de la géométrie ainsi que des conditions aux limites pour mettre le problème sous une forme adaptée à l'utilisation des méthodes d'approximation de tenseurs. Une démarche d'approximation adaptative basée sur un estimateur d'erreur a posteriori est utilisée afin de garantir une précision donnée sur les quantités d'intérêt que sont les propriétés effectives. La méthodologie est en premier lieu développée pour l'estimation de propriétés thermiques du matériau, puis est étendue à l'élasticité linéaire.

L'objectif de ce travail consiste à développer la méthode de résolution PGD (Proper Generalized Decomposition), qui est une méthode de réduction de modèle où la solution est recherchée sous forme séparée, à la résolution des équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps, cette méthode est appliquée à la résolution d'équations modèles disposant d'une solution analytique. L' équation de diffusion stationnaire 2D et 3D, l'équation de diffusion instationnaire 2D et les équations de Burgers et Stokes sont traitées. Nous montrons que dans tous ces cas la méthode PGD permet de retrouver les solutions analytiques avec une précision équivalente au modèle standard. Nous mettons également en évidence la supériorité de la PGD par rapport au modèle standard en terme de temps de calcul. En effet, dans tous ces cas, laPGD se montre beaucoup plus rapide que le solveur standard (plusieurs dizaine de fois). La résolution des équations de Navier-Stokes isothermes et anisothermes est ensuite effectuée par une discrétisation volumes finis sur un maillage décalé où le couplage vitesse-pression a été géré à l'aide d'un schéma de prédiction-correction. Dans ce cas une décomposition PGD sur les variables d'espaces uniquement a été choisie. Pour les écoulements incompressibles 2D stationnaire ou instationnaire, de type cavité entrainée et/ou différentiellement chauffé, les résultats obtenus par résolution PGD sont similaires à ceux du solveur standard avec un gain de temps significatif (la PGD est une dizaine de fois plus rapide que le solveur standard). Enfin ce travail introduit une première approche de la résolution des équations de transferts par méthode PGD en formulation spectrale. Sur les différents problèmes traités, à savoir l'équation de diffusion stationnaire, l'équation de Darcy et les équations de Navier-Sokes, la PGD a montré une précision aussi bonne que le solveur standard. Un gain de temps a été observé pour le cas de l'équation de Poisson, par contre, concernant le problème de Darcy ou les équations de Navier-Stokes les performances de la PGD en terme de temps de calcul peuvent encore être améliorées.

Ce mémoire de thèse est formé de quatre chapitres. Un premier chapitre présente les différentes notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse ainsi qu’une description des résultats principaux que nous avons obtenus. Le second chapitre présente une généralisation d’un résultat obtenu par Rousselet-Chénais en 1990 qui décrit la sensibilité des sous-espaces propres d’opérateurs compacts auto-adjoints. Rousselet-Chénais se sont limités aux sous-espaces propres de dimension 1 et nous avons étendu leur résultat aux dimensions supérieures. Nous avons appliqué nos résultats à la Décomposition par Projection Orthogonale (POD) dans le cas de variation paramétrique, temporelle ou spatiale (Gappy-POD). Le troisième chapitre traite de l’estimation du flot optique avec des énergies quadratiques ou linéaires à l’infini. On montre des résultats mathématiques de convergence de la méthode de Décomposition Progressive Généralisée (PGD) dans le cas des énergies quadratiques. Notre démonstration est basée sur la décomposition de Brézis-Lieb via la convergence presque-partout de la suite gradient PGD. Une étude numérique détaillée est faite sur différents type d’images : sur les équations de transport de scalaire passif, dont le champ de déplacement est solution des équations de Navier-Stokes. Ces équations présentent un défi pour l’estimation du flot optique à cause du faible gradient dans plusieurs régions de l’image. Nous avons appliqué notre méthode aux séquences d’images IRM pour l’estimation du mouvement des organes abdominaux. La PGD a présenté une supériorité à la fois au niveau du temps de calcul (même en 2D) et au niveau de la représentation correcte des mouvements estimés. La diffusion locale des méthodes classiques (Horn & Schunck, par exemple) ralentit leur convergence contrairement à la PGD qui est une méthode plus globale par nature. Le dernier chapitre traite de l’application de la méthode PGD dans le cas d’équations elliptiques variationnelles dont l’énergie présente tous les défis aux méthodes variationnelles classiques : manque de convexité, manque de coercivité et manque du caractère borné de l’énergie. Nous démontrons des résultats de convergence, pour la topologie faible, des suites PGD (lorsqu’elles sont bien définies) vers deux solutions extrémales sur la variété de Nehari. Plusieurs questions mathématiques concernant la PGD restent ouvertes dans ce chapitre. Ces questions font partie de nos perspectives de recherche. / This thesis is formed of four chapters. The first one presents the mathematical notions and tools used in this thesis and gives a description of the main results obtained within. The second chapter presents our generalization of a result obtained by Rousselet-Chenais in 1990 which describes the sensitivity of eigensubspaces for self-adjoint compact operators. Rousselet-Chenais were limited to sensitivity for specific subspaces of dimension 1, we have extended their result to higher dimensions. We applied our results to the Proper Orthogonal Decomposition (POD) in the case of parametric, temporal and spatial variations (Gappy- POD). The third chapter discusses the optical flow estimate with quadratic or linear energies at infinity. Mathematical results of convergence are shown for the method Progressive Generalized Decomposition (PGD) in the case of quadratic energies. Our proof is based on the decomposition of Brézis-lieb via the convergence almost everywhere of the PGD sequence gradients. A detailed numerical study is made on different types of images : on the passive scalar transport equations, whose displacement fields are solutions of the Navier-Stokes equations. These equations present a challenge for optical flow estimates because of the presence of low gradient regions in the image. We applied our method to the MRI image sequences to estimate the movement of the abdominal organs. PGD presented a superiority in both computing time level (even in 2D) and accuracy representation of the estimated motion. The local diffusion of standard methods (Horn Schunck, for example) limits the convergence rate, in contrast to the PGD which is a more global approach by construction. The last chapter deals with the application of PGD method in the case of variational elliptic equations whose energy present all challenges to classical variational methods : lack of convexity, lack of coercivity and lack of boundedness. We prove convergence results for the weak topology, the PGD sequences converge (when they are well defined) to two extremal solutions on the Nehari manifold. Several mathematical questions about PGD remain open in this chapter. These questions are part of our research perspectives.

Tesis por compendio / [ES] La idea de seguir una secuencia de pasos para lograr un resultado deseado es inherente a la naturaleza humana: desde que empezamos a andar, siguiendo una receta de cocina o aprendiendo un nuevo juego de cartas. Desde la antigüedad se ha seguido este esquema para organizar leyes, corregir escritos, e incluso asignar diagnósticos. En matemáticas a esta forma de pensar se la denomina 'algoritmo'. Formalmente, un algoritmo es un conjunto de instrucciones definidas y no-ambiguas, ordenadas y finitas, que permite solucionar un problema. Desde pequeños nos enfrentamos a ellos cuando aprendemos a multiplicar o dividir, y a medida que crecemos, estas estructuras nos permiten resolver diferentes problemas cada vez más complejos: sistemas lineales, ecuaciones diferenciales, problemas de optimización, etcétera. Hay multitud de algoritmos que nos permiten hacer frente a este tipo de problemas, como métodos iterativos, donde encontramos el famoso Método de Newton para buscar raíces; algoritmos de búsqueda para localizar un elemento con ciertas propiedades en un conjunto mayor; o descomposiciones matriciales, como la descomposición LU para resolver sistemas lineales. Sin embargo, estos enfoques clásicos presentan limitaciones cuando se enfrentan a problemas de grandes dimensiones, problema que se conoce como `la maldición de la dimensionalidad'. El avance de la tecnología, el uso de redes sociales y, en general, los nuevos problemas que han aparecido con el desarrollo de la Inteligencia Artificial, ha puesto de manifiesto la necesidad de manejar grandes cantidades de datos, lo que requiere el diseño de nuevos mecanismos que permitan su manipulación. En la comunidad científica, este hecho ha despertado el interés por las estructuras tensoriales, ya que éstas permiten trabajar eficazmente con problemas de grandes dimensiones. Sin embargo, la mayoría de métodos clásicos no están pensados para ser empleados junto a estas operaciones, por lo que se requieren herramientas específicas que permitan su tratamiento, lo que motiva un proyecto como este. El presente trabajo se divide de la siguiente manera: tras revisar algunas definiciones necesarias para su comprensión, en el Capítulo 3, se desarrolla la teoría de una nueva descomposición tensorial para matrices cuadradas. A continuación, en el Capítulo 4, se muestra una aplicación de dicha descomposición a grafos regulares y redes de mundo pequeño. En el Capítulo 5, se plantea una implementación eficiente del algoritmo que proporciona la nueva descomposición matricial, y se estudian como aplicación algunas EDP de orden dos. Por último, en los Capítulos 6 y 7 se exponen unas breves conclusiones y se enumeran algunas de las referencias consultadas, respectivamente. / [CA] La idea de seguir una seqüència de passos per a aconseguir un resultat desitjat és inherent a la naturalesa humana: des que comencem a caminar, seguint una recepta de cuina o aprenent un nou joc de cartes. Des de l'antiguitat s'ha seguit aquest esquema per a organitzar lleis, corregir escrits, i fins i tot assignar diagnòstics. En matemàtiques a aquesta manera de pensar se la denomina algorisme. Formalment, un algorisme és un conjunt d'instruccions definides i no-ambigües, ordenades i finites, que permet solucionar un problema. Des de xicotets ens enfrontem a ells quan aprenem a multiplicar o dividir, i a mesura que creixem, aquestes estructures ens permeten resoldre diferents problemes cada vegada més complexos: sistemes lineals, equacions diferencials, problemes d'optimització, etcètera. Hi ha multitud d'algorismes que ens permeten fer front a aquesta mena de problemes, com a mètodes iteratius, on trobem el famós Mètode de Newton per a buscar arrels; algorismes de cerca per a localitzar un element amb unes certes propietats en un conjunt major; o descomposicions matricials, com la descomposició DL. per a resoldre sistemes lineals. No obstant això, aquests enfocaments clàssics presenten limitacions quan s'enfronten a problemes de grans dimensions, problema que es coneix com `la maledicció de la dimensionalitat'. L'avanç de la tecnologia, l'ús de xarxes socials i, en general, els nous problemes que han aparegut amb el desenvolupament de la Intel·ligència Artificial, ha posat de manifest la necessitat de manejar grans quantitats de dades, la qual cosa requereix el disseny de nous mecanismes que permeten la seua manipulació. En la comunitat científica, aquest fet ha despertat l'interés per les estructures tensorials, ja que aquestes permeten treballar eficaçment amb problemes de grans dimensions. No obstant això, la majoria de mètodes clàssics no estan pensats per a ser emprats al costat d'aquestes operacions, per la qual cosa es requereixen eines específiques que permeten el seu tractament, la qual cosa motiva un projecte com aquest. El present treball es divideix de la següent manera: després de revisar algunes definicions necessàries per a la seua comprensió, en el Capítol 3, es desenvolupa la teoria d'una nova descomposició tensorial per a matrius quadrades. A continuació, en el Capítol 4, es mostra una aplicació d'aquesta descomposició a grafs regulars i xarxes de món xicotet. En el Capítol 5, es planteja una implementació eficient de l'algorisme que proporciona la nova descomposició matricial, i s'estudien com a aplicació algunes EDP d'ordre dos. Finalment, en els Capítols 6 i 7 s'exposen unes breus conclusions i s'enumeren algunes de les referències consultades, respectivament. / [EN] The idea of following a sequence of steps to achieve a desired result is inherent in human nature: from the moment we start walking, following a cooking recipe or learning a new card game. Since ancient times, this scheme has been followed to organize laws, correct writings, and even assign diagnoses. In mathematics, this way of thinking is called an algorithm. Formally, an algorithm is a set of defined and unambiguous instructions, ordered and finite, that allows for solving a problem. From childhood, we face them when we learn to multiply or divide, and as we grow, these structures will enable us to solve different increasingly complex problems: linear systems, differential equations, optimization problems, etc. There is a multitude of algorithms that allow us to deal with this type of problem, such as iterative methods, where we find the famous Newton Method to find roots; search algorithms to locate an element with specific properties in a more extensive set; or matrix decompositions, such as the LU decomposition to solve some linear systems. However, these classical approaches have limitations when faced with large-dimensional problems, a problem known as the `curse of dimensionality'. The advancement of technology, the use of social networks and, in general, the new problems that have appeared with the development of Artificial Intelligence, have revealed the need to handle large amounts of data, which requires the design of new mechanisms that allow its manipulation. This fact has aroused interest in the scientific community in tensor structures since they allow us to work efficiently with large-dimensional problems. However, most of the classic methods are not designed to be used together with these operations, so specific tools are required to allow their treatment, which motivates work like this. This work is divided as follows: after reviewing some definitions necessary for its understanding, in Chapter 3, the theory of a new tensor decomposition for square matrices is developed. Next, Chapter 4 shows an application of said decomposition to regular graphs and small-world networks. In Chapter 5, an efficient implementation of the algorithm provided by the new matrix decomposition is proposed, and some order two PDEs are studied as an application. Finally, Chapters 6 and 7 present some brief conclusions and list some of the references consulted. / María Mora Jiménez acknowledges funding from grant (ACIF/2020/269) funded by the Generalitat Valenciana and the European Social Found / Mora Jiménez, M. (2023). Numerical approximations with tensor-based techniques for high-dimensional problems [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/202604 / Compendio