The central weight of this thesis lies in the study of the moduli space of principal bundles over a compact Riemann surface, as well as the closely related moduli spaces of Higgs bundles and local systems. Hecke modifications are used to parametrize the moduli space of principal bundles in certain cases; while extant in the literature, an attempt has been made here to systematize the exposition on Hecke modifications. One novel aspect of the thesis is the use of the "wonderful" or De Concini--Procesi compactification of a semisimple complex algebraic group of adjoint type to develop the deformation theory necessary for the parametrization. A few new facts about these compactifications are proved as were necessary for the deformation theory. The later chapters review the symplectic geometry of the moduli spaces of Higgs bundles and local systems as discovered by N.J. Hitchin and further developed by I. Biswas and S. Ramanan, F. Bottacin, and E. Markman, as well as the theory of isomonodromic deformation, which goes back to the Riemann--Hilbert problem. Finally, using the parametrizations for moduli of principal bundles obtained, we prove a result of I. Krichever, generalized by J. Hurtubise, in the principal bundle case, relating some of the Hitchin hamiltonians to differences in isomonodromic flows. / Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'espace de modules des fibrés principaux sur une surface de Riemann compacte, et aussi des espaces de modules liés des fibrés de Higgs et des systèmes locaux. Les modifications de Hecke sont utilisées pour paramétrer l'espace de modules des fibrés principaux dans quelques instances; bien qu'elle existe dans la littérature, on a tenté de systématiser l'exposition sur des modifications de Hecke. Un aspect nouveau de cette thèse est l'usage de la compactification De Concini--Procesi d'un groupe algébraique complexe semi-simple dans la théorie des déformations nécessaire pour la paramétrisation. On a prouvé quelques nouveaux énoncés sur ces compactifications, nécessaires pour la théorie des déformations. Les derniers chapitres donnent un compte rendu de la géométrie symplectique des espaces de modules de fibrés de Higgs et des systèmes locaux découverte par N.J. Hitchin et développé plus tard par I. Biswas et S. Ramanan, F. Bottacin, et E. Markman, et aussi de la déformation isomonodromique, ce qui a des racines dans le problème de Riemann--Hilbert. Finalement, en se servant des paramétrisations pour des modules des fibrés principaux obtenues auparavant, on prouve un résultat de I. Krichever, généralisé par J. Hurtubise, dans le cas des fibrés principaux, qui donne une relation entre quelques uns des hamiltoniens de Hitchin et les différences dans les flots isomonodromiques.

The relevance of the Einstein constraint equations in physics is first presented. They arise in the initial-value formulation of general relativity, and must be satisfied by the metric and the extrinsic curvature of a Cauchy surface. Propagating the resulting tensor fields with the evolution equations is then equivalent to solving Einstein's field equation. The constraint equations consist of a system of two coupled nonlinear second-order PDEs. Well-posedness of the system is addressed, following the work of Y. Choquet-Bruhat. Some brief comments about global solutions are made.The conformal method is introduced. Using this approach, along with York splitting, the constraint equations now consist of a semilinear elliptic equation and a linear elliptic system that have to be solved for the conformal factor and a vector field.The main part of the thesis addresses the questions of existence and uniqueness of solutions to the Einstein constraint equations on three-dimensional compact Cauchy surfaces without boundary. The Yamabe classification turns out to be a key tool, and is presented. Then follows a thorough literature review of the results in the cases where the mean curvature, which is part of the prescribed data, is constant or near-constant. Recent articles on the case where the mean curvature is far-from-constant are discussed qualitatively. We then turn to a specific toy-model investigated by D.Maxwell where a family of three-parameters is used to consider different regimes on a Yamabe-null manifold. A similar approach is then used to explicitly work out some existence and uniqueness results on a Yamabe-positive manifold. / Tout d'abord, le rôle des équations de contraintes d'Einstein en physique est présenté. Ces équations font partie de la formulation du problème de Cauchy de la relativité générale, et doivent être satisfaites par la métrique, ainsi que par la courbure extrinsèque moyenne d'une surface de Cauchy. Déterminer la propagation de ces champs tensoriels par les équations d'évolution équivaut à la résolution de l'équation de champ d'Einstein. Les équations de contraintes d'Einstein consistent en un système de deux EDP couplées non-linéaires de deuxième ordre. Le travail d'Y. Choquet-Bruhat démontrant que le problème est bien posé, est résumé. S'ensuivent quelques brefs commentaires concernants les solutions globales. La méthode conforme est exposée. L'utilisation de cette technique combinée à la décomposition de York tranforme les équations de contrainte en une équation semi-linéaire elliptique et un système linéaire elliptique, ayant pour inconnues le facteur conforme et un champ vectoriel.L'essentiel de la présente thèse se concentre sur les questions d'existence et d'unicité des solutions des équations de contraintes d'Einstein sur les variétés compactes tridimensionelles sans frontière. À cet effet, la classification de Yamabe est un outil important. Une revue de la littérature est alors détaillée dans les cas où la courbure moyenne, qui est une donnée prescrite, est constante, ou 'proche-de-constante'. Puis vient une présentation qualitative d'articles récents traitant du cas où la courbure moyenne est 'loin-de-constante'. On s'attarde ensuite sur un cas spécifique étudié par D.Maxwell, dans lequel une famille de trois paramètres est utilisée pour passer d'un régime à l'autre sur une variété Yamabe-nulle. Une approche similaire est ensuite utilisée pour obtenir des résultats d'existence et d'unicité explicites sur une variété Yamabe-positive.

In this thesis we expose a p-adic analogue of a classical result of Shimura on the algebraicity of CM values of modular forms and certain of their nonholomorphic derivatives. More specifically, we define an analogue of the Shimura-Maass differential operator for rigid analytic modular forms on the Cerednik-Drinfeld p-adicupper half plane. This definition leads us to define the space of nearly rigid an-alytic modular forms, which is a p-adic analogue of the space of complex valuednearly holomorphic modular forms. Our main theorem is a statement about the algebraicity of values of nearly rigid analytic modular forms at CM points in thep-adic upper half plane. / Nous démontrons un variante p-adique d'un résultat classique de Shimura sur l'algébricité des valeurs des formes modulaires et de certaines de leurs dérives non-holomorphes aux points CM. Plus précisément, nous définissons un analogue rigide analytique de l'opérateur différentiel de Shimura-Maass pour les formes modulaires rigide analytiques sur le demi-plan p-adique de Cerednik-Drinfeld. Cette définition nous conduit a définir l'espace des formes modulaires presque rigide analytiques, qui correspond dans notre analogie a l'espace des formes modulaires presque holomorphes. Notre résultat principal est un énoncé d'algébricité des valeurs des formes modulaires presque rigide analytiques en des points CM dansle demi-plan p-adique de Cerednik-Drinfeld.

A striking empirical feature of many financial time series is that when the price drops, the future volatility increases. This negative correlation between the financial return and future volatility processes was initially addressed in Black 76 and explained based on financial leverage, or a firm's debt-to-equity ratio: when the price drops, financial leverage increases, the firm becomes riskier, and hence, the future expected volatility increases. The phenomenon is, therefore, traditionally been named the leverage effect. In a discrete time Stochastic Volatility (SV) model framework, the leverage effect is often modelled by a negative correlation between the innovation processes of return and volatility equations. These models can be represented as state space models in which the returns and the volatilities are considered as the observed and the latent state variables respectively. Including the leverage effect in the SV model not only results in a better fit of the model to several types of financial time series, but also yields significant improvements in option pricing applications. Statistical inference and model selection for such models are, in general, involved, mainly due to the fact that the model likelihood is not available in analytical closed-form and appears as a high-dimensional integral over the latent volatility vector. In this thesis, we apply Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods (based on the influential work of Jacquier Et al 94) for parameter estimation. For model selection purposes, based on the Deviance Information Criterion (DIC) (introduced by Spiegelhalter Et al 02), we utilize a version of the DIC in which the latent volatility variables are integrated out. We then elaborate on new models for the leverage effect. The important contributions of this thesis can be outlined as follows: In Section Bayesian Model Selection we demonstrate, through extensive simulations, that when applying the DIC to the SV model selection problem, the latent volatility variables must be integrated out, otherwise the model selection conclusions will be potentially misleading. We use particle filtering algorithm (based on sequential Monte Carlo methods) to estimate the marginal likelihood of the SV model. We then use numerical maximization techniques to calculate the Akaike/Bayesian information criteria to test for the leverage effect in a selection of real financial time series. This method is applied as an alternative to the DIC model selection method and is shown to yield similar results (Section MLforSV). In order to capture a potential nonlinear extreme value dependence structure between the returns and volatilities, in Chapter 3 we propose a new model that incorporates copulas into SV models. We develop the corresponding Bayesian inference methodology for the new model and show that for a wide selection of stock prices and indices, a Gaussian copula is favoured to the extreme value copulas. In Section SVAL we propose a new model which assumes that the leverage effect is a time-varying stochastic process. Specifically, we consider an intuitively-supported high-persistence autoregressive process for the leverage effect. We then develop the corresponding Bayesian inference methodology and show that our new model outperforms the conventional fixed-leverage SV models in terms of the DIC. In Section SVRV we propose a model that incorporates the realized volatility (which is an accurate estimator of the true volatility) into the SV model. Our model improves upon an existing similar model by correcting a subtle leverage timing issue and capturing the correlation between the realized volatility and the returns.We test all our new models on simulated data as well as several real financial time series including stock prices, stock indices, and foreign exchange time series. / Dans beaucoup de séries chronologiques financières, on observe qu'une chute de prix provoque une hausse de la volatilité. Ce phénomène a d'abord été étudié par Black (1976), qui l'a attribué au fait que la diminution de la valeur d'un titre accroît le rapport entre la dette et les fonds propres de l'entreprise, ce qui augmente le risque et, par conséquent, la volatilité. C'est ce que l'on appelle traditionnellement l'effet de levier. Pour rendre compte de l'effet de levier dans les modèles de volatilité stochastique à temps discret, on suppose souvent que les processus d'innovation des rendements sont corrélés négativement avec ceux des équations régissant la volatilité. On postule typiquement un modèle à espace d'états dans lequel les rendements sont observés et les volatilités sont des variables latentes. La prise en compte de l'effet de levier permet non seulement d'obtenir un meilleur ajustement de ces modèles pour divers types de séries chronologiques financières, mais aussi d'améliorer de façon significative l'évaluation des options. Toutefois, les procédures d'inférence statistique et de sélection de tels modèles sont généralement complexes, notamment parce que la vraisemblance ne s'exprime qu'en termes d'une intégrale multidimensionnelle faisant intervenir le vecteur des volatilités latentes. Dans cette thèse, on propose donc d'estimer les paramètres de ces modèles au moyen de l'algorithme de Monte-Carlo par chaîne de Markov décrit, entre autres, dans l'ouvrage de Jacquier et coll. (1994). À des fins de sélection de modèle, on propose aussi une adaptation du critère de déviance d'information (DIC) de Spiegelhalter et coll. (2002) dans laquelle les variables de volatilité latentes sont intégrées. On utilise ensuite ces outils pour développer de nouveaux modèles à effet de levier. Les principales contributions de cette thèse se résument comme suit: Dans la section Bayesian Model Selection, on démontre par voie de simulation que l'application du critère DIC classique au problème de sélection de modèles à volatilité stochastique peut induire l'utilisateur en erreur si les variables de volatilité latentes ne sont pas intégrées. On a recours à des algorithmes de filtration de particules (basés sur des méthodes séquentielles de Monte-Carlo) pour estimer la vraisemblance marginale du modèle. On utilise ensuite des méthodes d'optimisation numériques pour évaluer les critères d'information d'Akaike et bayésiens et tester la présence d'un effet de levier dans diverses séries chronologiques financières réelles. Bien qu'elle se distingue de la méthode DIC, cette technique conduit à des résultats semblables (Section MLforSV). Afin de détecter la présence d'une éventuelle structure de dépendance non linéaire de type extrémal entre les rendements et la volatilité, on propose au chapitre 3 un nouveau modèle à volatilité stochastique dans lequel interviennent des copules. On développe une méthode d'inférence bayésienne adaptée à ce contexte et on montre que pour un grand nombre de titres et d'indices boursiers, la copule gaussienne s'avère préférable aux copules de valeurs extrêmes. Dans la section SVAL, on s'intéresse à la modélisation de l'effet de levier à l'aide d'un processus stochastique temporel. On considère pour ce faire un processus autorégressif à haute persistance dans lequel l'effet de levier se manifeste en accord avec l'intuition. On décrit une méthode d'inférence bayésienne adaptée à ce contexte et on montre qu'en termes de DIC, le modèle proposé se comporte mieux que les modèles à volatilité stochastique avec effet de levier fixe.

This thesis concerns tree decompositions. Trees are one of the simplest and most well understood class of graphs. A tree decomposition of a graph improves our understanding of the graph in a similar way. For example, as a consequence of Robertson and Seymour's groundbreaking work in the theory of graph minors, there are linear time algorithms for NP-hard problem on graphs that admit a tree decomposition of a certain type. We classify existing tree decompositions and examine what makes a tree decomposition unique.The first result of this thesis is a linear time algorithm for building a tree decomposition for the class of graphs that exclude K5 as a minor. The second result is a significant modification to this algorithm which results in a linear time algorithm to construct the tree decomposition for graphs which exclude a special set of paths. These are vertex disjoint paths between two pairs of input vertices (s_1, t_1), (s_2, t_2), one from s_1 to t_1 and the other from s_2 to t_2.We then use these tree decompositions to improve the running time of existing algorithms and extend the allowed input of other algorithms from planar graphs to graphs that exclude K_5 as a minor. / Cette thèse traite de décompositions arborescentes. Les arbres font partie des classes de graphes les mieux comprises. La décomposition arborescente d'un graphe améliore notre compréhension de ce dernier. Par exemple, grâce aux travaux de Robertson et Seymour sur les mineurs d'un graphe, nous savons qu'il existe, pour des problèmes qui sont en général NP-difficiles, un algorithme linéaire pour les graphes admettant une certaine décomposition arborescente. Nous classons les décompositions arborescentes connues et déterminons les propiétés qui rendent cette décomposition unique.Comme premier résultat, nous donnons un algorithme linéaire pour construire une décomposition arborescente d'un graphe sans mineur du graphe complet K_5. Notre deuxième resultat repose sur une modification de cet algorithme afin d'obtenir un autre algorithme linéaire. Ce dernier permet la construction d'une décomposition arborescente d'un graphe qui ne contient pas deux chemins à sommets disjoints entre deux paires de sommets données (s_1, t_1) et (s_2, t_2).Nous utilisons ces deux décompositions pour améliorer le temps de calcul des algorithmes existants et modifions des algorithmes pour graphes planaires pour leur permettre de prendre comme donnée des graphes sans mineur K_5.

We study the geometry of median graphs and CAT(0) cube complexes by introducing two combinatorial objects: the contact graph and the simplicial boundary. The first of these encodes the intersections of hyperplane-carriers. We prove that this graph is always quasi-isometric to a tree, and deduce that groups acting properly and cocompactly on cube complexes are weakly hyperbolic relative to the collection of hyperplane-stabilizers. Using diagrammatic techniques of Casson-Sageev-Wise, we study complete bipartite subgraphs of the contact graph, and prove a cubical version of the flat plane theorem. Similar considerations lead to a characterization of strong relative hyperbolicity of cocompactly cubulated groups relative to the hyperplane stabilizers. Motivated by the question of which contact graphs are quasi-isometric to bounded trees, we introduce the simplicial boundary of a locally finite cube complex, which is a combinatorial analogue of the Tits boundary and encodes, roughly, the cubical flat sectors in the cube complex. We establish basic properties of the simplicial boundary, and use these to characterize locally finite, essential, one-ended cube complexes with bounded contact graph. This leads to a reinterpretation and modified proof of the Caprace-Sageev rank-rigidity theorem. Finally, we relate the graph metric on the 1-skeleton of the simplicial boundary of the cube complex X to the divergence of geodesic rays in the median graph X. We show that a group G acting properly, cocompactly, and essentially on the geodesically complete cube complex X has linear divergence function if and only if the simplicial boundary of X is connected. Otherwise, the divergence function of G is at least quadratic; this partially generalizes a result of Behrstock-Charney on the divergence of right-angled Artin groups. / Nous étudions la geometrie des graphes medians et des complexes cubiques CAT(0) en introduisant deux objets combinatoires: le graphe de contact et la frontière simpliciale. Le premier de ces objets encode les intersections des porteurs des hyperplans. Nous prouvons que ce graphe est toujours quasi-isométrique à un arbre, et en déduisons que les groupes agissant de manière propre et cocompacte sur les complexes cubiques sont faiblement hyperboliques relativement à la famille des stabilisateurs des hyperplans. En utilisant des techniques diagrammatiques de Casson-Sageev-Wise, nous étudions les sous-graphes bipartis complets du graphes de contact, et prouvons une version du théorème sur l'existence d'un plongement d'un plan (le "flat plane theorem"). Des considérations similaires nous mènent à une caractérisation des groupes cocompactement cubulés qui sont fortement hyperboliques relativement aux stabilisateurs des hyperplans. Motivés par la désir de savoir quels graphes de contact sont quasi-isométriques à des pointes, nous introduisons la frontière simpliciale d'un complexe cubique localement fini, qui est un analogue combinatoire de la frontière de Tits, et encode les secteurs cubiques plats du complexe cubique. Nous établissons les propriétés élémentaires de la frontière simpliciale, et utilisons celles-ci pour caractériser les complexes cubiques localement finis, essentiels et à un bout, qui ont un graphe de contact borné. Cela nous mène à une interpretation alternative du théorème de rigidité de rang de Caprace-Sageev. Nous mettons une relation entre la frontière simpliciale d'un complexe cubique X, et la divergence des rayons géodésiques dans le graphe médian X1. Nous montrons qu'un groupe G qui agit proprement, cocompactement et essentiellement sur X, diverge demanière linéaire si et seulement si la frontière simpliciale de X est connexe. Cela généralise un résultat de Behrstock-Charney sur la divergence desgroupes d'Artin à angle droit.

This thesis has two main parts: both of which aim at computing the Zeta function of some curves. The first part contains the theoretical and practical considerations to make K. Kedlaya's algorithm and some of its generalizations work. We review important properties of the Monsky-Washnitzer cohomology, the Weil conjectures and piece the bits together in order to provide an algorithm that would compute the Zeta function of a superelliptic curve, due to P. Gaudry and N. Gürel. In the second part, we present an algorithm to compute the Zeta function of a Cab curve using deformation theory. The general strategy, due to A. Lauder, is to study the variation of the Frobenius action along a certain family. This almost fully practical algorithm generalizes similar work by R. Gerkmann and H. Hubrechts. / Cette thèse comporte deux parties principales: les deux ont pour objet de calculer la fonction Zêta de certains types de courbes. La première partie contient des considérations théoriques et pratiques pour faire fonctionner l'algorithme de K. Kedlaya et certaines de ses généralisations. On résume les propriétés importantes de la cohomologie de Monsky et Washnitzer, les conjectures de Weil et on rassemble les pièces du casse-tête pour en arriver à un algorithme de P. Gaudry et N. Gürel pour calculer la fonction Zêta d'une courbe superelliptique. Dans la deuxième partie, nous présentons un algorithme pour calculer la fonction Zêta d'une courbe Cab en utilisant la théorie de la déformation. La stratégie générale, attribuée à A. Lauder, est d'étudier la variation de l'action de Frobenius le long d'une certaine famille de courbes. Cet algorithme, presque prêt à utiliser, généralise des travaux similaires de R. Gerkmann et H. Hubrechts.

Though the tryptophan operon has received a fair amount of experimental study over recent decades, modeling e?orts have been relatively few and disparate in some of their conclusions regarding the behavior of the operon. We consider a selection of existing models of the tryptophan operon and analyze them from the standpoints of stability, response to periodic signals in the biochemistry, and existence of attracting invariant manifolds in the model state space. We ?nd that the stability properties of these models may depend greatly upon small changes in parameters that are in keeping with updated experimental data. Further, we show the ability of the tryptophan operon to act as a classical band-pass ?lter to periodic ?uctuations ostensibly caused by the periodic nature of the cell cycle. Finally, a functional iteration technique for the approximate computation of attracting invariant manifolds is presented and the manifold for one of the models is computed. / Bien que l'opéron de tryptophane ait fait l'objet d'un nombre d'essais expérimentaux considérables dans les dernières décennies, les e?orts dans la modélisation ont été rel- ativement peu et disparates quant à leurs conclusions concernant le comportement de l'opéron. Nous considérons un choix de modèles existants de l'opéron de tryptophane et les analysons des points de vue de leur stabilité, de leur réponse aux signaux périodiques en biochimie, et de l'existence d'attractions de variétés invariantes dans l'espace d'états du modèle. Nous constatons que les propriétés de stabilité de ces modèles peuvent dépendre considérablement de petits changements des paramètres qui sont en accord avec des données expérimentales mises à jour. De plus, nous montrons la capacité de l'opéron de tryptophane à agir comme ?ltre passe-bande classique aux ?uctuations périodiques en apparence provoquées par la nature périodique du cycle cellulaire. En conclusion, une technique fonctionnelle d'itération pour le calcul approximatif de l'attraction de variété invariante est présentée et la variété pour un des modèles est calculée. fr

We recast the theory of labelled Markov processes in a new setting, in a way "dual" to the usual point of view. Instead of considering state transitions as a collection of subprobability distributions on the state space, we view them as transformers of real-valued functions. By generalizing the operation of conditional expectation, we build a category consisting of labelled Markov processes viewed as a collection of operators; the arrows of this category behave as projections on a smaller state space. We define a notion of equivalence for such processes, called bisimulation, which is closely linked to the usual definition for probabilistic processes. We show that we can categorically construct the smallest bisimilar process, and that this smallest object is linked to a well-known modal logic. We also expose an approximation scheme based on this logic, where the state space of the approximants is finite; furthermore, we show that these finite approximants categorically converge to the smallest bisimilar process. / Nous reconsidérons les processus de Markov étiquetés sous une nouvelle approche, dans un certain sens "dual'' au point de vue usuel. Au lieu de considérer les transitions d'état en état en tant qu'une collection de distributions de sous-probabilités sur l'espace d'états, nous les regardons en tant que transformations de fonctions réelles. En généralisant l'opération d'espérance conditionelle, nous construisons une catégorie où les objets sont des processus de Markov étiquetés regardés en tant qu'un rassemblement d'opérateurs; les flèches de cette catégorie se comportent comme des projections sur un espace d'états plus petit. Nous définissons une notion d'équivalence pour de tels processus, que l'on appelle bisimulation, qui est intimement liée avec la définition usuelle pour les processus probabilistes. Nous démontrons que nous pouvons construire, d'une manière catégorique, le plus petit processus bisimilaire à un processus donné, et que ce plus petit object est lié à une logique modale bien connue. Nous développons une méthode d'approximation basée sur cette logique, où l'espace d'états des processus approximatifs est fini; de plus, nous démontrons que ces processus approximatifs convergent, d'une manière catégorique, au plus petit processus bisimilaire.

In this thesis, we explain the connection between completely integrable systems of evolution equations and the evolution of the differential invariants of group actions in the particular case of a curve in Rⁿ acted on by an affine group defined as the semidirect product of G and Rⁿ, where G is semisimple, as it is presented in the work of Marì-Beffa. This connection involves Fels and Olver's work on the theory of moving frames, infinite-dimensional Hamiltonian systems and Poisson brackets, and centrally extended loop groups and algebras. We also summarize the relevant theory both of Lie groups and Lie algebras and of differential invariants and symmetries of differential equations. groups and algebras. We also summarize the relevant theory both of Lie groups and Lie algebras and of differential invariants and symmetries of differential equations. / Dans cette thèse, on explique le lien entre les systèmes d'équations d'évolution complètement intégrables et l'évolution des invariants différentiels de l'action d'un groupe dans le cas particulier d'une courbe dans Rⁿ , sous l'action du produit semidirect d'un groupe G avec Rⁿ, où G est semisimple, tel que présenté par Marì-Beffa. Cette connection fait intervenir la théorie de repères mobiles de Fels et Olver, les systèmes hamiltoniens de dimension infinie et les crochets de Poisson, ainsi que les groupes et algèbres de lacets à extension centrale. On présente aussi un ré́sumé de la théorie pertinente des groupes et algèbres Lie et des invariants différentiels ainsi que les symmétries d'équations différentielles.