As solutions of the Einstein-Maxwell field equations, the Kerr-Newman-de Sitter geometries are spacetimes that model the outer geometry of a charged, rotating black hole. We re-derive, using a lemma of Brandon Carter, first-order conserved quantities for the motion of zero rest mass and massive test particles in the Kerr-Newman-de Sitter spacetimes. The Liouville-Arnol'd integrability theory allows us to use first integral equations in place of second-order equations in the dynamical analysis. In examining the effects of first integral data on the equations, we expose some differences between particle dynamics in the electrically-neutral, asymptotically-flat Kerr geometries and those in the charged, de Sitter geometries. / Les géométries de Kerr-Newman-de Sitter sont des solutions des équations d'Einstein-Maxwell avec constante cosmologique modélisant la partie extérieure de l'espace-temps au voisinage d'une configuration d'équilibre d'un trou noir en rotation. Nous calculons a l'aide d'un lemme de Brandon Carter les quantités conservées du premier ordre associées au mouvement de particules d'épreuve de masse nulle et non-nulle dans la métrique de Kerr-Newman-de Sitter. Le théorème d'intégrabilité de Liouville-Arnol'd nous permet d'utiliser ces quantités conservées pour analyser la dynamique. Ceci nous permet de mettre en evidence les différences entre la dynamique des particules selon que l'on introduit ou non un champ électromagnétique et une constante cosmologique.

We show that the gap between the least costly 3-edge-connected metric graph and the least costly 3-vertex-connected metric graph is at most $3$. The approach relies upon tree decompositions, and a degree limiting theorem of Bienstock et al. As well, we explore the tree decomposition approach for general k-edge and vertex-connected graphs, and demonstrate a large amount of the required background theory. / Nous démontrons que l'écart entre un graphe métrique 3-arête-connexe de coût minimum et un graphe métrique 3-sommet-connexe de coût minimum est au plus 3. Notre approche repose sur l'existence de décompositions arborescentes et sur un théorème de Bienstock et al qui limite les degrés des sommets. De plus, nous explorons la décomposition arborescente pour le cas plus général des graphes k-arête et sommet connexes et nous exposons en grande partie les résultats nécessaires pour accéder à notre travail.

In this thesis, we are concerned with finite simple graphs. Given a subset $S$ of $\{3,4,\ldots,2n-1\}$, the additive graph generated by $S$ has vertex set $V=[n]$ and edge set $E$, with $(i,j) \in E$ if and only if $i+j \in S$. The focus of this thesis is the relationship between generating sets $S$ and monotone properties in the corresponding graphs. We make the first known investigation of the \textit{Traversal by Prime Sum Problem}, in which the set $S$ is the prime numbers and the property of interest is a Hamilton cycle. A number of new results are proved concerning both these graphs and the additive graphs for which the set $S$ is the practical numbers.\\ For any subset $S$ of $\{3,4,\ldots,2n-1\}$, we prove that the $|S|$-closure of the additive graph generated by $S$ is the complete graph; this allows for the determination of tight thresholds for a number of monotone properties in terms of $|S|$ using results from closure theory. These graphs are shown to be the first known wide-ranging and representative subclass of graphs with complete $k$-closure, and they afford a new and simple construction of minimum graphs with complete $k$-closure. Finally, as an example of the number-theoretic interpretations of these graphs and their properties, we generalize a theorem by Cramer concerning prime numbers to a number of different sequences. / \'tant donn\'{e} un sous-ensemble $S$ de $\{3,4,\ldots,2n-1\}$, le graphe additif engendr\' par $S$ a un ensemble de sommets $V=[n]$ et un ensemble d'arr\^tes $E$, telle que $(i,j) \in E$ si et seulement si $i+j \in S$. L'objectif de cette th\`se est l'\'{e}tude des relations entre l'ensemble $S$ et les propri\'t\'{e}s monotones du graphe additif correspondant. On effectue les premi\`{e}res recherches connue sur le \textit{Traversal By Prime Sum Problem}, probl\`{e}me dans lequel l'ensemble $S$ correspond \`{a} l'ensemble des nombres premiers et la propri\'t\'{e} de graphe recherch\'e est l'existence d'un cycle hamiltonien. De nouveaux r\'{e}sultats sont \'tablis pour ce probl\`me ainsi que dans le cas o\` $S$ est l'ensemble des entiers pratiques.\\ Pour un tel $S$ quelconque, on d\'{e}montre que la $|S|$-fermeture du graphe additif engendr\' par $S$ est un graphe complet. Ainsi, en utilisant les r\'{e}sultats de la th\'orie de la fermeture on parvient \` d\'{e}terminer le seuil pour plusieurs propri\'t\'{e}s monotones des graphes en terme de $|S|$. Ces graphes sont les premiers repr\'sentant connus d'une large sous-classe de graphe $k$-ferm\'{e}s complets. Ils permettent de donner une construction nouvelle et simple de graphe ferm\'s et complets minimaux. Enfin, comme exemple d'interpr\'{e}tation arithm\'tique de ces graphes et de leurs propri\'{e}t\'s, on g\'{e}n\'ralise un th\'{e}or\`{e}me de Cramer sur les nombres premiers \`{a} d'autres suites d'entiers.

Extreme-value theory is concerned with the tail behaviour of probability distributions. In recent years, it has found many applications in areas as diverse as hydrology, actuarial science, and finance, where complex phenomena must often be modelled from a small number of observations.Extreme-value theory can be used to assess the risk of rare events either through the block maxima or peaks-over-threshold method. The choice of threshold is both influential and delicate, as a balance between the bias and variance of the estimates is required. At present, this threshold is often chosen arbitrarily, either graphically or by setting it as some high quantile of the data.Bayesian inference is an alternative to deal with this problem by treating the threshold as a parameter in the model. In addition, a Bayesian approach allows for the incorporation of internal and external observations in combination with expert opinion, thereby providing a natural probabilistic framework to evaluate risk models.This thesis presents a Bayesian inference framework for extremes. We focus on a model proposed by Behrens et al. (2004), where an analysis of extremes is performed using a mixture model that combines a parametric form for the centre and a Generalized Pareto Distribution (GPD) for the tail of the distribution. Our approach accounts for all the information available in making inference about the unknown parameters from both distributions, the threshold included. A Bayesian analysis is then performed by using expert opinions to determine the parameters for prior distributions; posterior inference is carried out through Markov Chain Monte Carlo methods. We apply this methodology to operational risk data to analyze its performance.The contributions of this thesis can be outlined as follows:-Bayesian models have been barely explored in operational risk analysis. In Chapter 3, we show how these models can be adapted to operational risk analysis using fraud data collected by different banks between 2007 and 2010. By combining prior information to the data, we can estimate the minimum capital requirement and risk measures such as the Value-at-Risk (VaR) and the Expected Shortfall (ES) for each bank.-The use of expert opinion plays a fundamental role in operational risk modelling. However, most of time this issue is not addressed properly. In Chapter 4, we consider the context of the problem and show how to construct a prior distribution based on measures that experts are familiar with, including VaR and ES. The purpose is to facilitate prior elicitation and reproduce expert judgement faithfully.-In Section 4.3, we describe techniques for the combination of expert opinions. While this issue has been addressed in other fields, it is relatively recent in our context. We examine how different expert opinions may influence the posterior distribution and how to build a prior distribution in this case. Results are presented on simulated and real data.-In Chapter 5, we propose several new mixture models with Gamma and Generalized Pareto elements. Our models improve upon previous work by Behrens et al. (2004) since the loss distribution is either continuous at a fixed quantile or it has continuous first derivative at the blend point. We also consider the cases when the scaling is arbitrary and when the density is discontinuous.-Finally, we introduce two nonparametric models. The first one is based on the fact that the GPD model can be represented as a Gamma mixture of exponential distributions, while the second uses a Dirichlet process prior on the parameters of the GPD model. / La théorie des valeurs extrêmes concerne l'étude du comportement caudal de lois de probabilité. Ces dernières années, elle a trouvé de nombreuses applications dans des domaines aussi variés que l'hydrologie, l'actuariat et la finance, où l'on doit parfois modéliser des phénomènes complexes à partir d'un petit nombre d'observations.La théorie des valeurs extrêmes permet d'évaluer le risque d'événements rares par la méthode des maxima bloc par bloc ou celle des excès au-delà d'un seuil. Le choix du seuil est à la fois influent et délicat, vu la nécessité de trouver un équilibre entre le biais et la précision des estimations. À l'heure actuelle, ce seuil est souvent choisi arbitrairement, soit à partir d'un graphique ou d'un quantile élevé des données.L'inférence bayésienne permet de contourner cette difficulté en traitant le seuil comme un paramètre du modèle. L'approche bayésienne permet en outre d'incorporer des observations internes et externes en lien avec l'opinion d'experts, fournissant ainsi un cadre probabiliste naturel pour l'évaluation des modèles de risque.Cette thèse décrit un cadre d'inférence bayésien pour les extrêmes. Ce cadre est inspiré des travaux de Behrens et coll. (2004), dans lesquels l'étude des extrêmes est réalisée au moyen d'un modèle de mélange alliant une forme paramétrique pour le cœur de la distribution et une loi de Pareto généralisée (LPG) pour sa queue. L'approche proposée exploite toute l'information disponible pour le choix des paramètres des deux lois, y compris le seuil. Une analyse bayésienne tenant compte d'avis d'experts sur les paramètres des lois a priori est ensuite effectué; l'inférence a posteriori s'appuie sur une chaîne de Markov Monte-Carlo. Nous appliquons cette approche à des données relatives aux risqué opérationnels afin d'analyser sa performance.Les principales contributions de cette thèse sont les suivantes :-On fait rarement appel aux modèles bayésiens pour l'analyse du risque opérationnel. Au chapitre 3, nous montrons comment adapter ces modèles à l'analyse du risqué opérationnel au moyen de statistiques de fraudes recueillies par des banques entre 2007 et 2010. L'intégration d'information a priori aux données nous permet d'estimer le capital minimal requis pour chaque banque, ainsi que diverses mesures de risque telles que la valeur à-risque (VaR) et le déficit prévu (DP).-Les avis d'experts jouent un rôle clef dans la modélisation du risque opérationnel. Toutefois, cette question est souvent traitée de façon incorrecte. Au chapitre 4, nous examinons le problème dans son contexte et montrons comment choisir une loi a priori à partir de mesures que les experts connaissent bien, dont la VaR et le DP. Le but est de faciliter le choix de la loi a priori et de mieux refléter l'avis des experts.-À la section 4.3, nous décrivons diverses techniques de synthèse d'opinions d'experts. Bien que ce problème ait déjà été abordé dans d'autres domaines, il est relativement nouveau dans notre contexte. Nous montrons comment élaborer une loi a priori à partir d'avis d'experts et mesurons leur influence sur la loi a posteriori. Des données réelles et simulées sont utilisées aux fins d'illustration.-Au chapitre 5, nous proposons plusieurs nouveaux modèles faisant intervenir des mélanges de lois gamma et de Pareto généralisées. Ces modèles étendent les travaux de Behrens et coll. (2004) dans la mesure où la loi des pertes peut être continue à un quantile donné ou avoir une première dérivée continue au point de jonction. Nous traitons aussi les cas o ù l'échelle est arbitraire et la densité est discontinue.-Enfin, nous présentons deux modèles non paramétriques. Le premier s'appuie sur le fait que le modèle LPG peut être représenté comme un mélange gamma de lois exponentielles; dans le second, l'information a priori sur les paramètres du modèle LPG est représentée par un processus de Dirichlet.

In this thesis, three geometric problems are studied that involve Voronoi regions in $\mathbb{R}^d$ which are generated by codimension $k$ sets, $k\in\{1,...,d\}$. Hereafter, these sets will be called \textit{generators}. The Voronoi regions they generate will be referred to as \textit{generalized Voronoi regions}. The first problem considered is that of computing the measures of (equivalently, integrals over) generalized Voronoi regions. To this end, a Markov operator is constructed that yields a sequence of measures, and converges to a measure concentrated in a fixed neighborhood of the generators. It is shown that the neighborhoods of the generators are the invariant sets of the operator, and moreover that they are attractive. Furthermore, it is proven that the mass concentrated on each invariant set yields a first order approximation of the measure of each Voronoi region. Next, the operator is discretized on a regular computational grid, and a scheme to iterate the operator numerically is derived. The scheme is shown to be convergent, and offers a first-order approximation of the true measure. A variety of numerical examples in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$ are shown for curves and curved surfaces, though the algorithm applies in any dimension. The second problem investigated is a geometric optimization problem known as the Centroidal Voronoi Tessellation (CVT). This problem is concerned with finding, for a fixed number of codimension $d$ generators (i.e., points), the configuration that minimizes the squared distance from any point in the domain to the closest generator. As this problem is formulated in terms of codimension $d$ generators , in the current work, this formulation is now generalized to the case of codimension $k$ generators, $k \in \{1,...,d-1\}$. Energy derivatives are calculated for the codimension $k$ case, and an algebraic approximation of the energy is proposed whose minimizers have a geometric Lloyd-type characterization. The implementation of a generalized quasi-Newton method is discussed. Results for the optimization are shown in a variety of cases in $\mathbb{R}^2$, which serve to highlight the strengths and limitations of the quasi-Newton method. Finally, the energy landscape associated with the non-convex CVT optimization problem is considered. A study of the CVT energy landscape for circular generators in $\mathbb{R}^2$ is presented for varying numbers of generators with possibly heterogeneous radii. This demonstrates the difference in energies between the local minimizers of the CVT energy. The arrangement of the lowest energy configurations are presented. / Cette thèse porte sur trois problèmes géométriques impliquants les régions de Voronoï dans $\mathbb{R}^d$ associées à des ensembles de codimension $k$, $k\in\{1,...,d\}$. Nous appellerons désormais ces ensembles les \textit{germes}, tandis que les régions de Voronoï qui leur sont associées seront designées par le terme \textit{régions généralisées de Voronoï}. Le premier problème dont nous traitons est le calcul des mesures (ce qui revient à évaluer des intégrales sur) des régions généralisées de Voronoï. À cette fin, un opérateur de Markov générant une séquence de mesures est construit, et converge vers une mesure concentrée en un voisinage fixe des germes.Il est demontré que les voisinages des germes sont des ensembles invariants de l'opérateur, et qu'ils sont attractifs. De plus, il est prouvé que la masse concentrée sur chaque ensemble invariant constitue une approximation au premier ordre de la mesure de chaque région de Voronoï. Par la suite, l'opérateur est discrétisé sur une grille, et un schéma qui itère numériquement l'opérateur est obtenu. Il est démontré que le schéma qui résulte est convergent, et donne une approximation au premier ordre de la mesure exacte. Un certain nombre d'exemples numériques ayant pour germes des courbes et des surfaces courbées sont présentés dans $\mathbb{R}^2$ et dans $\mathbb{R}^3$, bien que l'algorithme s'applique à un nombre arbitraire de dimensions. Le deuxième problème dont il est question est un problème d'optimisation géométrique connu sous le nom de Tesselation Centroïde de Voronoï (TCV). Le but de ce problème est de trouver, étant donné un nombre fixe de germes de codimension $d$ (c-à-d des points), la configuration qui minimise le carré de la distance entre n'importe quel point du domaine et le germe le plus proche. La formulation TCV que nous proposons est étendue au cas de germes de codimension $k$, $k \in \{1,...,d-1\}$. Les dérivées énergétiques sont calculées pour le cas où les germes ont codimension $k$, et une approximation algébrique de l'énergie dont les minimaux ont une caractérisation géométrique dite du type de Lloyd est proposée. L'implémentation d'une méthode généralisée quasi-Newton est discutée. Les résultats de l'optimisation sont présentés pour divers cas dans $\mathbb{R}^2$, afin d'illustrer les avantages et inconvénients de méthod quasi-Newton. Finalement, la configuration énergétique associée au problème d'optimisation TCV non-convexe est considérée. Une étude de la configuration énergétique TCV pour des germes circulaires dans $\mathbb{R}^2$ est présentée pour un nombre irréguliers de germes, avec des rayons possiblement hétérogènes. Ceci illustre les différences d'énergie entre les mimimaux locaux de l'énergie TCV. Les arrangements correspondants aux configurations énergétiques les plus basses sont présentées.

We consider the one dimensional discrete Schrödinger operator h = h_0 + V on the full line and half line, where h_0 is the discrete Laplacian and V is a real-valued potential. We explain the Spectral theorem for the operator and give explicit formulas of the Green's function and spectral measures in case of the Laplacian. We explore the rank one potentials and compute their scattering operator. We also explore periodic potentials on the full line. We introduce random Schrödinger operators, and reproduce the proof of the celebrated theorem of Pastur that the spectrum is almost surely the same set. To illustrate ergodic families of random operators, we study the Anderson model in one dimension. / L'objet de la thèse est l'opérateur de Schrödinger discret h = h_0 + V en une dimension, sur la ligne et la demi-ligne, où h_0 est le Laplacien discret et V est un potential à valeurs réelles. Nous expliquons le théorème spectral pour cet opérateur et donnons des formules explicites dans le cas du Laplacien. Nous explorons les perturbations du premier ordre. Nous explorons aussi les potentiels périodiques sur la ligne. Après avoir introduit les opérateurs de Schrödinger aléatoirs, nous reproduisons le célèbre théorème de Pastur établissant l'existence d'un spectre identique presque partout. Afin d'illustrer les familles d'opérateurs de Schrödinger aléatoirs ergodiques, nous étudions le modèle d'Anderson.

We study lattices arising from ideals in cyclotomic fields. We begin with some general theory about lattices. We introduce certain important lattices, namely the root lattices and the Niemeier lattices. We then describe how to obtain lattices using ideals in number fields and we determine some of their basic properties. We continue our study by specializing to cyclotomic fields. We determine all the root lattices and all the Niemeier lattices that are similar to ideals in cyclotomic fields as well as all the cyclotomic fields in which they can be obtained. We give many examples and even a few examples of even unimodular lattices in dimension 32. We mainly follow the work of E. Bayer. / Nous étudions les réseaux qui surviennent d'idéaux dans des corps cyclotomiques. Nous commençons avec de la théorie générale sur les réseaux. Nous introduisons certains importants réseaux, les réseaux racines et les réseaux de Niemeier. Nous décrivons ensuite comment obtenir des réseaux en utilisant des idéaux dans des corps de nombres et nous déterminons quelques-unes de leurs propriétés. Nous continuons notre étude en nous spécialisant aux corps cyclotomiques. Nous déterminons tous les réseaux racines et les réseaux de Niemeier qui sont similaires à des idéaux dans des corps cyclotomiques ainsi que tous les corps cyclotomiques dans lesquels ils peuvent être obtenus. Nous donnons plusieurs exemples et même quelque exemples de réseaux unimodulaires pairs en dimension 32. Nous suivons principalement certains travaux de E. Bayer.

In [Buell(1977)] and [Soleng(1994)], Buell and Soleng found explicit homomorphismsbetween the Mordell-Weil group of elliptic curves and the ideals class group of quadraticelds, which turn out to be essentially equivalent. After recalling the basic conceptsin the theories of quadratic forms, quadratic elds and elliptic curves, we prove thatSoleng's homomorphism can be obtained via a height pairing introduced by Mazur andTate [Mazur and Tate(1983)], under certain conditions. Then the technique developed inthe proof of this result is used to nd new homomorphisms. Examples of explicit computationsof the Mazur-Tate pairing are also given. / Dans les articles [Buell(1977)] et [Soleng(1994)], Buell et Soleng mettent en évidencedes homomorphismes explicites entre le groupe de Mordell-Weil des courbes elliptiques etle groupe des classes d'idéaux des corps quadratiques. Après avoir introduit les théories desformes quadratiques, des corps quadratiques et des courbes elliptiques, il sera démontré quel'homomorphisme de Soleng, qui est essentiellement équivalent à celui de Buell, peut êtreobtenu à l'aide d'un accouplement de hauteur dû à Mazur et Tate [Mazur and Tate(1983)].Par la suite, les idées rencontrées dans la preuve de ce résultat seront utilisées pour découvrirde nouveaux homomorphismes. Des exemples de calculs explicites de l'accouplement deMazur-Tate sont aussi donnés.

Core-selecting auction mechanisms are auctions that select player utilities which satisfy certain stability properties. They are currently of theoretical and practical interest in mechanism design, having already been used to conduct multi-billion dollar auctions. We generalize the concept of a Core-selecting auction mechanism to a large class of complete information games and demonstrate that several well-known games can be described by these Core-selecting mechanisms. Our main result is a bound on the Price of Anarchy of Core-selecting mechanisms. Provided some simple conditions are met, there are Core-selecting mechanisms with Price of Anarchy at most 1 + 1/D^2, where D in [0,1] is a measure of the degree of submodularity of the game's social welfare function, expressed as a set function. In addition to this result, we show that there exist special Core-selecting mechanisms which have two additional properties: they are player-Pareto optimal and they provide a local, individual utility guarantee. / Les mécanismes d'enchères de Coeur-sélection (Core-selecting auction mechanisms) sont des enchères qui sélectionnent les utilités des joueurs qui satisfont certains propriétés de stabilité. Ils occupent présentement une place d'intérêt théorique et pratique dans la théorie de la conception des mécanismes, ayant été utilisés pour effectuer des enchères avec des recettes en milliards de dollars. Nous généralisons la notion d'un mécanisme d'enchères de Coeur-sélection pour les appliquer à des jeux des informations complètes. Nous démontrons que ces mécanismes décrivent plusieurs jeux bien connus. Notre résultat principal est un majorant pour le Prix de l'Anarchie (Price of Anarchy) des mécanismes de Coeur-sélection. Nous démontrons que, si certaines conditions simples sont atteintes, il existe des mécanismes de Coeur-sélection avec un Prix de l'Anarchie d'au plus que 1+1/D^2, où D, entre 0 et 1, est une measure du degré du Sous-modularité (Submodularity) de la fonction du Bien-être du jeu, encodée sous forme de fonction d'ensemble. En plus de cette garantie, nous démontrons qu'il éxiste des mécanismes de Coeur-sélection qui ont aussi deux autres caractéristiques: ils sont Joueur-Optimales (Player Optimal), et ils garantissent un minimum pour le bien-être individuel.

In (HLR86), Harder et al. presented a proof of the Tate conjecture, an important conjecture in the field of arithmetic geometry, for the non-CM part of the cohomology of Hilbert modular surfaces. In this thesis, we present a general strategy for a study of the Tate conjecture for some unitary Shimura varieties. As in the work cited above, we do this by studying the notion of distinction. Distinction on a unitary group is related to distinction on a general linear group through a comparison of relative trace formulas. In the latter setting, work of Jacquet and his collaborators has led to simple criteria in terms of base change and L-functions for the existence of distinguished representations of GL(N). The main result of this thesis is then a proof of a special case of a relative fundamental lemma, the first ingredient of the comparison, when the unitary group is of rank 4. / Dans leur article (HLR86), Harder et al. présente une preuve de la conjecture de Tate, une importante conjecture en géométrie arithmétique, pour la partie sans CM de la cohomologie des surfaces modulaires de Hilbert. Cette thèse propose une stratégie générale pour l'étude de la conjecture de Tate pour certaines variétés de Shimura unitaires. Comme dans le travail cité ci-haut, la méthode proposée passe par l'étude de la notion de distinction. La distinction sur un groupe unitaire est reliée à la distinction sur un groupe général linéaire par le biais d'une comparaisonde formules des traces relatives. Dans ce dernier contexte, le travail de Jacquet et ses collaborateurs donne des critères simples, en termes de changement de base et de fonctions L, pour l'existence de représentations distinguées sur GL(N). Le résultat principal de cette thèse est donc une preuve d'un cas spécial d'un lemme fondamental relatif, premier ingrédient d'une comparaison, lorsque le groupe unitaire est de rang 4.