Influence diagnostic measures for various statistical models have been developed. Nonetheless, a proper influence measure for handling right-censored prevalent cohort data has yet to have been suggested. We present an influence measure which properly accounts for the length-bias and right censoring encountered in prevalent cohort data. This measure makes use of a likelihood correctly accounting for length-bias and possible information in the marginal covariate distribution. An approximation of this influence diagnostic measure is also developed. We illustrate the relevance of correctly incorporating length-bias and covariate information by analyzing differences in influence when one appropriately acknowledges the nature of prevalent cohort data and when one does not. Results are depicted with data on survival with dementia among the elderly in Canada provided by the Canadian Study on Health and Aging. / Des mesures d'influence pour divers modèles statistiques ont déjà été développées. Néanmoins, une mesure d'influence qui traite des données censurées de la droite parvenant de cohorte prévalentes n'a pourtant pas été traitée. Nous présentons une mesure d'influence qui tient compte du biais en longueur et de la censure de la droite, présents dans des données parvenant d'une cohorte prévalente. Cette mesure fait usage d'une vraisemblance correctement ajustée pour le biais en longueur ainsi que l'information potentiellement contenu dans la distribution marginale des covariés. Une approximation de cette mesure est développée. Nous illustrons la pertinence de correctement incorporer le biais en longueur et l'information contenu dans les covariés en analysant les différences d'influence quand la nature des données provenant d'une cohorte prévalente est reconnue et quand elle est ignorée. Les résultats sont illustrés avec l'aide de données sur la survie avec la démence parmi les personnes âgées au Canada fourni par le Canadian Study on Health and Aging.

Mathematical modeling can help providing better understanding of the nature and characteristics of regulatory processes in hematology. We first review different mathematical approaches used for modeling so-called dynamical hematological diseases, which are characterized by oscillations in one or more blood cell lines. Then, we present two delay differential equation (DDE) models of the hematopoietic system designed for the study of the effects of Granulocyte-Colony Stimulating Factor (G-CSF) administration. G-CSF is used clinically for treating subjects presenting low numbers of white blood cells, a condition referred to as neutropenia that can result from different causes. However, even though G-CSF is widely used in clinical practice, it is not clear whether the standard G-CSF administration schedule is optimal. The aim of this work is to study alternative treatment regimens that would optimize the use of G-CSF using a mathematical modeling approach. The first model we propose is a comprehensive model that considers G-CSF administration for cyclical neutropenia, a dynamical disorder characterized by oscillations in the circulating neutrophil count. The second model focuses on the effects of two recombinant forms of G-CSF (filgrastim and pegfilgrastim) for the treatment of chemotherapy-induced neutropenia. For each model, we use a combination of mathematical analysis and numerical simulations to study alternative G-CSF treatment regimens that would be efficient while reducing the amount of drug. We found that the dynamical properties of the model could be exploited for designing better G-CSF treatment strategies. / La modélisation mathématique est un outil qui permet d'obtenir une meilleure compréhension des différents processus de régulation en hématologie. Dans un premier temps, nous révisons différentes approches qui sont utilisées pour modéliser les maladies hématologiques dites dynamiques. Celles-ci sont caractérisées par la présence d'oscillations dans le niveau d'un ou de plusieurs types de cellules sanguines. Ensuite, nous présentons deux nouveaux modèles d'équations différentielles à délais (EED) du système hématopoïétique, qui sont dédiés à l'étude des effets de l'administration du granulocyte-colony stimulating factor (G-CSF). Le G-CSF est utilisé en pratique pour traiter les patients dont le niveau de globules blancs est faible, une condition appelée neutropénie, qui peut survenir dans plusieurs contextes. Cependant, même si le G-CSF est largement utilisé dans le milieu médical, il n'est pas clair que le protocole d'administration standard soit optimal. L'objectif de cette thèse est d'étudier des protocoles de traitement alternatifs qui optimiseraient l'utilisation du G-CSF en utilisant une approche de modélisation mathématique. Le premier modèle que nous proposons est un modèle qui inclut tous les types de cellules sanguines et qui considère l'administration du G-CSF dans le cas de la neutropénie cyclique, une maladie caractérisée par la présence d'oscillations dans le nombre de globules blancs, de plaquettes et de globules rouges. Dans le second modèle, nous nous intéressons aux effets de deux formes de G-CSF (filgrastim et pegfilgrastim) qui sont utilisés pour traiter la neutropénie qui survient fréquemment suite à la chimiothérapie. Pour chacun des modèles, nous utilisons une combinaison d'analyse mathématique et de simulations numériques pour étudier des traitements alternatifs de G-CSF qui seraient efficaces tout en réduisant la quantité de médicament utilisée. Nos résultats suggèrent que les pr

The bifurcation diagram of a model nonlinear Langevin equation with delay is obtained. A finite delay implies non-Markovian behavior, and is the subject of current interest as such equations model delayed feedback loops in many settings, including the study of cell regulation. We show that the bifurcation remains sharp, both in the ranges of direct and oscillatory instabilities. Below threshold, the stationary distribution function is a delta function at the trivial state x = 0 despite the delay. At threshold, the stationary distribution function becomes a power law p(x) ∼ x ^a with −1 < a < 0, where a = −1 at threshold and monotonously increases with increasing value of the control parameter. Unlike the case without delay, the bifurcation threshold is shifted by fluctuations, and the shift scales linearly with the noise intensity D. / Le diagramme de bifurcation d' une équation de Langevin non linéaire retardée est obtenu. Un retard fini implique un processus non markovien. De telles équations permettent de modéliser des boucles d'autorégulation retardées dans de nombreux systèmes, incluant la régulation cellulaire. Nous démontrons que la bifurcation demeure aigüe dans les cas d'instabilités stationnaires et oscillatoires. Sous le seuil de bifurcation, la fonction de distribution de probabilité stationnaire est une fonction delta à la solution triviale x = 0, malgré la presence du retard. Au seuil de bifurcation, la distribution stationnaire devient une loi de puissance p(x) ∼ x ^a avec −1 < a < 0, où a = −1 au seuil and croît de facon monotone avec le paramètre de contrôle. Contrairement au cas non-retardé, le seuil de bifurcation est déplacé par les fluctuations, et ce déplacement augmente linéairement avec l'intensité du bruit D.

Using an analogue of Makanin-Razborov diagrams, we give an effective description of the solution set of systems of equations over a partially commutative group (right-angled Artin group) G. Equivalently, we give a parametrisation of the set Hom(H,G) of all homomorphisms from a finitely generated group H to G. / Utilisant une analogue des diagrammes de Makanin-Razborov, nous donnonsde manière algorithmique une description de l'ensemble des solutions de systèmesd'équations dans un groupe partiellement commutatif (ou un groupe d'Artin à angledroit) G. De manière équivalente, nous donnons une paramétrisation de l'ensambleHom(H,G) des homomorphisms d'un groupe de génération finie H à G.

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In the first part of the thesis, we give a description of the fully residually F quotients of F* <x,y>. The techniques we use rely extensively on the structure results of fully residually free groups developed by O. Kharlampovich, A. Miasnikov, and by Z. Sela. We also use the now classical theory of H. Bass and J.-P. Serre of the actions of groups on trees. As an application we completely recover the descriptions of the solutions sets of systems of equations in two variables given by Hmelevskii} and Ozhigov, the most precise to date, using completely algebraic methods. We also construct some examples to illustrate the richness of the theory. In the second part of the thesis, we prove some results on algorithmic complexity. First we show that the the problem of deciding the solvability of an arbitrary quadratic equation over a free group is NP-complete. We also give an algorithm for Stallings' Folding Process; a fundamental technique in geometric group theory; which, for a fixed free group, runs in worst case time O(n\log^*(n)). / Dans la première partie de cette thèse, nous décrivons les quotients de F*<x,y> qui sont des F-groupes limites. Les techniques que nous utilisons proviennent des résultats sur la structure des groupes limites développées par O. Kharlampovich, A. Miasnikov et indépendamment par Z. Sela. Nous utilisons également la théorie maintenant classique de H. Bass et de J.-P. Serre sur les actions des groupes sur les arbres. Comme application nous redérivons les descriptions des solutions des systèmes d'équations à deux variables données par Hmelevskii et Ozhigov, qui jusqu'à présent demeurent les plus précis, mais cette fois-ci en utilisant des méthodes complètement algébriques. Nous construisons également des exemples qui illustrent la richesse de la théorie.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous prouvons des résultats de complexité algorithmique. Tout d'abord nous démontrons que le problème de décider si une équation quadratique arbitraire sur un groupe libre a une solution est NP-complet. Nous donnons finalement un algorithme pour le processus du Stallings' Folding qui, donné un groupe libre fixe, opère en temps au plus O(n\log^*(n)).

Stochastic models of discrete populations appear in a broad range of contexts. In this thesis, three of these modelling settings are considered: epidemics which spread through both blood transfusion and surgery, stochastic gene expression, and the accumulation of error in velocity statistics in Molecular Dynamics simulations. We examine specific models in each case, illustrating methods for extracting quantitative statistical information from the systems, and discuss how each approach fits into the more general mathematical framework for discrete populations evolving under stochastic dynamics. / The stochastic epidemics are approximated by branching processes. Generating function techniques are used to derive distributions of the final number of infected individuals and contaminated blood or surgery products in the case that the epidemic eventually dies out (subcritical). This simple model provides a framework for extension to more complicated systems such as those that incorporate populations stratified by age or risk of exposure. To our knowledge, this mathematical approach has not been applied to these kinds of epidemic models elsewhere in the literature. / Stochastic models of gene expression are developed in a similar manner as the epidemic models, with the addition of spatial diffusion of the molecules. The presence of molecular motility leads to quantitative questions not present in the non-spatial model. We pose several of these questions and analytically calculate quantities related to the correlation of mRNA and protein molecules in the steady state. These quantities give a sense of the spatial scale of protein and mRNA clusters around a DNA point source. / Molecular Dynamics simulations typically involve the numerical integration of Newtonian dynamics governing the motion of systems of particles. Often the particles interact only through collisions, and a fixed time step integrator is used to move the system forward in time. In this case, small errors accrue in both position and velocity coordinates. By statistical mechanical considerations, we discard the positional information of the system and model it as a population of particles, distinguished only by their velocities, undergoing evolution via random collisions. Employing additional assumptions about the size of the velocity errors and the distribution of particle velocities, we construct a diffusion model for the drift in energy. This model is verified with simulations and is shown to accurately predict the energy drift in dilute systems for moderate time scales. / Les modèles stochastiques de populations discrètes apparaissent dans une variété de contextes. Dans cette thèse, nous considérons trois thèmes de la modéllisation : les épidémies qui se propagent par la transfusion sanguine et de la chirurgie, l'expression des gènes stochastique et l'accumulation d'erreurs dans les statistiques de vitesse de simulations de dynamique moleculaire. Nous examinons les modèles spécifiques dans chaque cas et en tour nous illustrons des méthodes d'extraction des statistiques quantitatives des systèmes d'information. En plus, nous discutons la façon dont les approches differentes s'inscrivent dans le cadre mathématique plus général pour des populations discrètes qui évoluent par les dynamiques stochastique. / Les épidémies stochastiques sont estimé par des processus de branchement et des techniques de fonctions génératrices les moments sont utilisés pour calculer des distributions de l'état finale du nombre de personnes infectés et des produits contaminé de sang ou de la chirugie dans le cas où l'épidémie est souscritique. Ce modèle simple fournit un cadre pour l'extension au systèmes plus complexes tels que ceux qui intègrent les populations stratifiés en fonction de l'age ou le risque d'exposition. À notre connaissance, cette approche mathématique n'a pas été appliquée À ce type d'épidémie de modèles ailleurs dans la littérature. / Les modèles stochastiques de l'expression des gènes sont développés d'un manière similaire aux modèles de l'épidémie, mais avec l'ajout de la diffusion spatiale des molécules. La présence de la motilité moléculaire mène À des nouvelles questions quantitatives qui ne sont pas posée par les modèle non-spatiales. Nous précisons plusieurs de ces questions et effectuons des calculs analytiques pour des quantités liés À la corrélation des molécules d'ARNm et de protéines À l'état stationnaire. Ces quantités donnent une idée de l'échelle spatiale de les grappes l'ARNm et de protéines autour d'un point source d'ADN. / Généralement, les simulations des Dynamiques Moléculaires impliquent l'intégration numérique des dynamiques Newtoniennes qui régissent le mouvement des systèmes de particules. Souvent, les particules interagissent uniquement par le biais de collisions et une méthode À pas de temps constant est utilisée pour intégrer les équations de motion. système dans le temps. Dans ce cas, des petites erreurs s'accumulent dans les deux coordonnées de position et de vitesse. Par des considérations de mécanique statistique, nous écartons l'information des position des particules et abordons le système comme une population de particules, distuinguée par leurs vitesses, en évolution aléatoire par des collisions. Employant des hypothèses de la taille de la vitesse d'erreurs et de la distribution des vitesses des particules, nous construisons un modèle de diffusion pour la dérive de l'énergie. Ce modèle est vérifiée par des simulations et il est indiqué de prévoir avec précision la dérive de l'énergie dans les systèmes À faibles densité avec un pas de temps modéré.

In this thesis, we will follow a paper by Bryant et al. in finding the necessary and sufficient conditions for the existence of a Levi-Civita connection within a given projective structure [gamma] on a surface. We will give an explicit formulation of a necessary condition, as an obstruction of order five in the Christoffel symbols of an arbitrary element of [gamma]. Our approach in finding this obstruction allows us to find sufficient conditions in the real analytic case as well. In terms of the Christoffel symbols of an arbitrary element of [gamma], the explicit forms of the sufficient conditions are of order six in generic case, and of order eight in non-generic case. All the formulations will be projectively invariant and will be expressed in point invariants of the second-order ODE whose integral curves are geodesics of [gamma]. We will use a machinery developed by Hitchin and LeBrun, that we call minitwistor theory, to find the moduli space of these integral curves. Using this machinery and the notion of densities on a manifold, we give geometric interpretations of the formulation of the problem and derive a projective property of the space of metrics whose Levi-Civita connections belong to [gamma]. / Dans cette thèse, nous analysons un travail de Bryant et al. portant sur l'obtention de conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'une connexion de Levi-Civita au sein d'une structure projective [gamma] sur une surface. Nous donnons une formulation explicite d'une condition nécessaire sous la forme d'une obstruction d'ordre cinq sur les coefficients de Christoffel d'un élément arbitraire de [gamma]. Dans le cas analytique, notre approche nous permet d'obtenir des conditions suffisantes. En termes des coefficients de Christoffel d'un élément arbitraire de [gamma], ces conditions suffisantes sont d'ordre six dans le cas générique et d'ordre huit dans le cas non-générique. Toutes les formulations obtenues sont projectivement invariantes et exprimées en termes d'invariants ponctuels des equations différentielles ordinaires d'ordre deux dont les solutions les géodésiques de [gamma]. Nous utlisons une technique développée par Hitchin et LeBrun, appelée théorie des mini-twisteurs, pour trouver l'espace des modules de ces courbes intégrales. En utlisant cette technique et la notion de densité sur une variété, nous donnons des interprétations géométriques de la formulation du problème et dérivons une propriété projectivement invariante de l'espace des métriques dont la connexion de Levi-Civita appartient a [gamma].

We present a method of performing parameter inference when we have an i.i.d. sample drawn from a parametric distribution with a known characteristic function but with densities or probability mass functions not known in closed form. The context we focus on is in making inference on regularly sampled Lévy processes of a known parametric form, as is often encountered in financial time series modeling. The method uses the empirical characteristic function, obtained from the sample, to find the parameter values which will minimize a specific distance function. We provide proofs of strong consistency and asymptotic normality of the obtained estimates. We also study the link between asymptotic efficiency and the choice of the distance function we choose to minimize, and we show that there are characteristic function based estimators with an asymptotic efficiency arbitrarily close to 1. We then propose an EM algorithm for making inference on Brownian motions evaluated at an independent stochastic time. We present the results of various simulation studies testing the ECF method, and then compare the characteristic function based methods to MLE methods in terms of efficiency and computation time. These results support the theoretic findings and also give some insight to the small sample properties of the studied estimators. We finally apply the ECF method to fit the Variance Gamma model to SPX500 data and compare the results with the fit obtained using an MLE method. / On présente une méthode d'inférence de paramètres lorsque l'on a un échantillon d'une distribution avec une fonction caractéristique connue mais avec une densité de probabilité inconnue. Le contexte sur lequel on se concentre est l'inférence paramétrique avec des données régulièrement échantillonnées d'un processus de Lévy, comme c'est souvent le cas dans la modélisation de séries temporelles financières. La méthode utilise la fonction caractéristique empirique, obtenue à partir des données, pour trouver les paramètres qui minimisent une fonction de distance spécifique. On présente les preuves de la consistence et de la normalité asymptotique des estimateurs obtenus. On étudie aussi le lien entre l'efficacité asymptotique et le choix de la fonction de distance que l'on choisit de minimiser, et on prouve qu'il y a des estimateurs basés sur des fonctions caractéristiques avec une efficacité asymptotique arbitrairement proche de 1. Ensuite, on propose un algorithme EM pour faire de l'inférence avec des mouvements browniens évalués à un temps stochastique indépendent. On présente les résultats d'expériments simulées qui testent la méthode à base de fonctions caractéristiques, et ensuite on compare cette méthode avec des méthodes MLE en termes de leur efficacité et le temps de calcul des algorithmes. Les résultats numériques supportent les résultats théoriques et donnent aussi un aperçu sur les propriétés des estimateurs pour des petits échantillons. Pour conclure, on applique la méthode à base de fonctions caractéristiques pour trouver les paramètres du modèle Variance Gamma pour les données de SPX500 et on compare les résultats avec ceux obtenus par une méthode MLE.

We give a self-contained presentation of classical results pertaining to Gaussian random fields, geared toward the application to nonequilibrium statistical mechanics of a Gaussian dynamical system. We then provide results about the existence and the form of the entropy production observable, along with the conditions necessary for the nonequilibrium steady state to occur. Finally, we consider a model consisting of two infinite chains of harmonic oscillators at different initial temperatures. By applying the general results to this model, we prove the existence of a nonequilibrium steady state and compute the expectation of the entropy production observable of this system in the steady state. As expected, the result depends on the temperature difference between the two parts of the chain so that the heat flows from hot to cold and ceases if the initial temperatures were the same. / Nous donnons une présentation indépendante de certains résultats classiques concernant les champs aléatoires gaussiens, orientée vers l'application à la mécanique statistique hors d'équilibre d'un système dynamique gaussien. Nous donnons ensuite des résultats sur l'existence et la forme de l'observable de production d'entropie, ainsi que les conditions nécessaires à l'état de non équilibre stable de se produire. Enfin, nous considérons un modèle composé de deux chaînes infinies d'oscillateurs harmoniques à températures initiales différentes. En appliquant les résultats généraux à ce modèle, nous prouvons l'existence d'un état de non équilibre stable et nous calculons l'espérance de l'observable de production d'entropie de ce système a l'état stationnaire. Comme prévu, le résultat dépend de la différence de températures entre les deux parties de la chaîne de sorte qu'il y ait un flux de chaleur du chaud au froid qui cesse si les températures initiales sont les mêmes.