The subject of this thesis is the detection of Lagrangian Coherent Structures (LCS) in three-dimensional steady flows. LCS are influential material surfaces that act as skeletons of observed mixing patterns in a dynamical system. We review recent variational results for the construction of LCS in two-dimensional flows, and develop our own numerical implementation of these methods. We first test these implementations on two-dimensional examples, in which we obtain some new results and insights. Next, we apply the two-dimensional variational theory to the two-dimensional Poincaré map of a three-dimensional steady flow. For the Poincaré map of the classic ABC flow, we obtain Elliptic and Parabolic LCS at a previously unseen level of detail. Some of these structures, such as twistless KAM curves, have been previously unknown for this flow. Using the flow map, we finally extend the two-dimensional findings to uncover exact transport barrier surfaces in the full ABC flow. This approach applies to transport barrier detection in any three-dimensional, autonomous dynamical system. / Le contenu de cette thèse porte sur la détection des Structures Cohérentes de Lagrange (LCS) au sein des flots tri-dimensionnels stationnaires. Les LCS sont des surfaces matérielles de haute importance, qui font office de squelettes parmi les patterns mélangeants observés dans un système dynamique. Nous présentons tout d'abord des résultats variationnels récents sur la construction des LCS dans les flots bi-dimensionnels, puis développons nos propres implémentations numériques de ces méthodes. En premier lieu, nous testons ces implémentations sur des exemples bi-dimensionnels, et obtenons à la fois des résultats inédits et de nouvelles perspectives concernants ces problèmes. Nous appliquons ensuite la théorie du calcul variationnel en deux dimensions à l'application de Poincaré bi-dimensionnelle d'un flot stationnaire tri-dimensionnel. Dans le cas de l'application de Poincaré du flot ABC classique, nous obtenons des LCS elliptiques et paraboliques d'une résolution précédemment inegalée. Certaines de ces structures, telles que des courbes KAM non-tourbillonantes, n'étaient pas connues auparavant comme étant présentes dans ce flot. À l'aide du flot, nous étendons ces résultats bi-dimensionnels et mettons au jour des surfaces de barrière au transport dans l'entièreté du flot ABC. Cette approche s'applique à la détection des barrières au transport dans n'importe quel système dynamique autonome tri-dimensionnel.

We prove that the problem of deciding whether or not two group elements are conjugate can be solved using a logarithmic amount of space for the following groups: Grigorchuk's group, free solvable groups and the wreath product of two groups having log-space decidable conjugacy problems. We show that in free metabelian groups every element can be rewritten into a unique normal form in logarithmic space. Additionally, we show that the Magnus embedding, which embeds a free solvable group in the wreath product of a free abelian group with a free solvable group of lesser degree, is a quasi-isometric embedding. / On prouve que le problème de conjugaison dans les groupes suivants peut être résolu en n'utilisant qu'un espace logarithmique: le groupe de Grigorchuk, les groupes solubles libres et les produits en couronne de deux groupes dans lesquels le problème de conjugaison peut être résolu en espace logarithmique. On démontre aussi que tout élément d'un groupe métabelien libre peut être réécrit en tant que forme normale unique. De plus, on démontre que le plongement de Magnus, qui permet de voir un groupe soluble libre en tant que sous-groupe d'un produit en couronne d'un groupe abélien libre et d'un groupe soluble libre de moindre degré, est une quasi-isométrie.

Article [8] is first placed in its historical context and the points of interestsof this article are mentioned. It follows from them a deep study in which thesteps described in this article are followed, with occasional references to otherarticles (of the same authors or not). The way the Einstein-Dirac system isobtained is described. Then, results given by [9] on the separation of the Diracequation on the three-sphere and detailed in appendix are used. These resultsalong with the classical expression for the energy-momentum tensor, for whichthe vanishing of the divergence is proved, allow the reducing of the Einstein-Dirac system to a system of coupled ODE with a normalization condition.To study this system, the Bloch formalism is briefly introduced. It is thenused to simplify the study and the resolution of this system. The resultingsystem's solutions are taken from [8] and analysed in an essentially qualitativeway. The approximate solution determined in [7] is then described and usedto find an approximate lower bound on the probability that the Big-Bang isavoided. / D'abord, l'article [8] est situé dans son contexte et les points d'intérêt decet article sont soulevés. Il en découle une étude approfondie, où les démarchesde cet article sont suivies, en se référant à d'autres articles (des mêmes auteursou non). L'obtention du système d'Einstein-Dirac dans [8] est décrite. Puis,les résultats exposés sur la séparation de l'équation de Dirac sur la sphère dedimension trois dans [9] et qui sont détaillés en annexe, sont utilisés. L'utilisationde ces résultats avec l'expression classique du tenseur d'énergie-impulsion,dont la nullité de la divergence est démontrée, permet de réduire le systèmed'Einstein-Dirac en un système de deux EDO couplées avec une condition denormalisation.Pour étudier ce système, le formalisme de Bloch est brièvement introduit.Il est ensuite utilisé de façon a simplifier l'étude et la résolution de ce système.Les solutions du système résultant sont tirées de [8] et analysées de façon essentiellementqualitative. La solution approchée déterminée dans [7] est décriteet utilisé pour poser une borne inférieure approximative sur la probabilité quele Big-Bang soit évité.

This thesis provides a thorough literature review of the newly founded theory of compressed sensing (CS), developed by Cand`es and his collaborators. The majority of the documented developments remain in the treatment of perfectly sparse signals in the finite dimensional setting. This was extended to the treatment of nearly sparse (compressible) signals in infinite-dimensions by Adcock and Hansen. A novel approach in analyzing the performance of CS, in the finite-dimensional setting, was developed by Cohen, Dahmen and DeVore where they study the effectiveness of CS. This is carried by comparing it to the well established theory of best k-term approximation, i.e in terms of how well CS recovers non-sparse vectors which can be well approximated by sparse vectors. The contribution of this thesis extends DeVore and his collaborators instance optimality results for CS to infinite dimensions by following a similar construction carried by Adcock and Hansen. This will be made by appealing to the truncation techniques devised by Adcock and Hansen in their development of the generalized sampling theory, and by appealing to an intermediate result established by Candès and Plan regarding the restricted isometry property (RIP). / Cette thèse présente une minutieuse revue de la littérature portant sur l’acquisition comprimée (CS), une théorie récemment développée par Candès et ses collaborateurs. La majorité des travaux qui en découlent se focalise sur les signaux parfaitement parcimonieux en un nombre fini de dimensions. Ces résultats ont été étendus au cas des signaux (compressibles) quasi-parcimonieux dans les espaces de dimension infinie par Adcock et Hansen. Une nouvelle approche permettant d'analyser la performance de la CS en un nombre de dimension finie a été proposée par Cohen, Dahmen et DeVore. Celle-ci étudie l'efficacité de la CS en comparant cette méthode à la très reconnue théorie des approximations par les k meilleurs termes; c'est-à-dire en étudiant la capacité de la CS à recouvrer des vecteurs non-parcimonieux pouvant eux-mêmes être approximés par des vecteurs parcimonieux. La contribution de cette thèse étend les résultats de DeVore et de ses collaborateurs sur l'optimalité exemplaire de la CS au cas des espaces de dimension infinie, en suivant une construction similaire à celle employée par Adcock et Hansen. À cette fin, les techniques de troncation décrites par Adcock et Hansen dans leur développement de la théorie de l'échantillonage général seront utilisées, tout comme un résultat intermédiaire établi par Cand`es et Plan portant sur la Propriété Isométrique Restreinte (RIP).

The main result of this thesis is the proof of a Kolyvagin-like result for Q-curves defined over Q=(square root N) of perfect square conductor (including trivial conductor) over that field. Such a setting lies beyond the scope of the general results of Zhang [Zh1] because of the absence of a Shimura curve parameterization for E. This thesis also describes an explicit construction of Heegner points on E in a setting which so far has not yet studied in the literature and provides numerical examples. In turn, these computations yield numerical evidence for a conjectural connection, which we propose in this thesis, between the Heegner points we construct and the ATR points obtained by Darmon-Logan in [DL].

In this thesis we study two different problems related to eigenvalue error bounds. Inthe first part of our thesis, we examine a conjecture of Knyazev and Argentati [SiamJ. Matrix Anal. Appl., 29 (2006), pp. 15–32 ] bounding the difference between Ritzvalues of a Hermitian matrix A for two subspaces, one of which is A-invariant. Weprovide a proof for a slightly weaker version of the conjecture, and discuss the recentlypublished full proof. Moreover we give implications of the now proven bound andexamine how it compares to a classical bound in the same context. In the second partof our thesis, we derive some properties of complex Hessenberg matrices and considerthe relevant normal matrix cases of these to re-examine the lengths of the Ritz vectorsin the rounding error analysis of the Lanczos process for tridiagonalizing certainnormal matrices. This question has already been studied for the real symmetric case,but part of that answer has never been published in scientific journals, and in that casewe give new theory. For the more general normal matrix cases we develop applicable theory including some new tight bounds. / Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes différents liés aux bornes d'erreur devaleurs propres. Dans la première partie de notre thèse, nous examinons une conjecturede Knyazev et Argentati [Siam J. Matrix Anal. Appl., 29 (2006), pp. 15 – 32 ]bornant la différence entre les valeurs Ritz d'une matrice hermitienne A correspondantà deux sous-espaces, dont l'un est A-invariant. Nous obtenons une preuve pourune version légèrement plus faible de la conjecture, et discutons la preuve complètepubliée récemment. De plus, nous dérivons certaines implications de la borne, maintenantprouvée, et la comparons à une borne classique dans le même contexte. Dansla deuxième partie de notre thèse, nous dérivons certaines propriétés des matricesHessenberg complexes et examinons les cas appropriés normaux de celles-ci afin deréexaminer les longueurs des vecteurs Ritz dans l'analyse d'erreur du processus deLanczos de tridiagonalization de certaines matrices normales. Cette question a déjàété étudiée pour le cas symétrique réel, mais une partie de l'analyse n'a jamais étépubliée dans une revue scientifique; dans ce cas, nous présentons une nouvelle théorie.Pour le cas plus général de matrices normales, nous développons une théorie applicable,avec de nouvelles bornes serrées.

A practical concern of many studies in survival analysis is the study of the risk patterns of a disease, mortality, or other time-related event in a population. The structural change of these patterns are usually explored via the hazard function, and most of the significant information within the hazard is often carried by singularities and irregular structures. One particular form is a change-point or discontinuity in the hazard function. It is therefore of interest to find the location of such a possible change-point and gather knowledge regarding the question whether such change-point really exists in the data. The appearance of discontinuities will obviously change the path of the hazard function, paving the way for different conclusions from the continuous case. Hence, the estimation of such a function is also of great importance. In this dissertation, we approach these questions with the particular challenge of right censored prevalent cohort data. To the best of our knowledge, these questions are novel and have not previously been discussed in the literature in such a setting.In this thesis, we develop the necessary methodology to estimate the location of such a possible discontinuity and its size. We study asymptotic properties of our estimators. In particular, we show that our estimators are consistent. We further study the asymptotic distribution of our estimators to test for the existence of a genuine change-point. In addition, we propose an adaptive estimator for the discontinuous hazard function. Our simulations show that the estimators behave as expected even for moderate sample sizes. The last chapter of this thesis is devoted to an application of this methodology to a subset of the CSHA data. Our analysis indicates that there seems to be a sharp change in the hazard of failure with dementia between 12 to 24 months after onset. After adjusting for the age-at-onset of dementia (AAO), we notice a similar change for those with 75 < AAO <= 85 and AAO > 85. For the younger age group (AAO <= 75) the change appears to occur after 3 years. / En analyse de survie, les changements structurels des modèles de risque d'une maladie, du décés ou d'autres événements sont habituellement explorés par la fonction de risque. Souvent, la plupart de l'information importante du taux de risque se trouve dans les points singuliers ou les structures irrégulières. Une forme particulière est le point de rupture ou la discontinuité dans la fonction de risque. Il est donc intéressant de trouver l'endroit du point de rupture, et de recueillir l'information nécessaire pour vérifier si une telle rupture existe réellement dans les données. L'apparition de la discontinuité va bien évidemment changer le comportement de la fonction de risque, ouvrant la voie à des conclusions différentes du cas continue. Ainsi, l'estimation de cette fonction est également de grande importance. Dans cette thèse, nous abordons ces questions avec un défi particulier, des données qui sont à la fois censurées à droite et tronquées à gauche. Au mieux de nos connaissances, il s'agit de nouvelles questions qui n'ont pas été discutées auparavant dans la littérature pour ce type de données.Dans cette thèse, nous développons la méthodologie nécessaire pour estimer l'endroit de la discontinuité et la taille du saut à ce point. Il convient de souligner que nos estimateurs sont cohérents. De plus, nous étudions la distribution asymptotique de nos estimateurs pour tester l'existence d'une telle discontinuité. En outre, nous proposons un estimateur adaptatif pour la fonction de risque discontinue. Nos simulations montrent que les estimateurs se comportent comme prévu, même pour des tailles modérées d'échantillon comme celles des données de la CSHA. Le dernier chapitre de cette thèse est consacré à l'application de ces méthodes aux données de la CSHA. Notre analyse indique qu'il semble y avoir un changement brusque dans la fonction de risque de décés entre 12 à 24 mois après le début de la démence. Après l'ajustement pour l'âge au début de la démence (AAO), nous remarquons le même changement pour les deux catégories 75 < AAO <= 85 et AAO > 85. Cependant, il semble y avoir un changement après 3 ans pour le jeune groupe avec AAO <= 75.

"Small worlds" are large networks in which any given node has only a few connections to other nodes, but possessing the property that all pairs of nodes are connected by a short path, typically logarithmic in the number of nodes. Small-world models are widely used in the physics literature for modeling various "real-world" networks, such as World Wide Web, power grid and neural network. When the network is too big to model completely, which is often the case for "real-world" network, we need other approaches which yield information about its typical or approximate structure. One such approach is to use random walks for sampling a uniform element from a large state space; to prove that such a technique works for a given network, a bound on the mixing time is required. However, little detailed information is known about the behavior of random walks on small-world models, though many predictions can be found in the physics literature. We survey the range of small-world models, existing information about them, introduce Markov chains, mixing times and a variety of techniques for bounding mixing times. Finally, the principal contribution of this thesis is to show that for a famous small-world random graph model known as the Newman--Watts small world, the mixing time is of order $\log^2 n$. This confirms a prediction of Richard Durrett, whoproved a lower bound of order $\log^2 n$ and an upper bound of order $\log^3 n$. / "De petits mondes" sont de larges réseaux au sein desquels chaque noeud donné n'a qu'un nombre limité de connexions à d'autres noeuds, mais ayant la propriété selon laquelle chaque paire de noeuds est connectée par un court parcours, typiquement de longueur logarithmique par rapport au nombre de noeuds du réseau. Les modèles de "petits mondes" sont couramment utilisés dans la littérature de physique pour modéliser divers réseaux de "mondes réels" tels que le réseau internet, le réseau électrique ainsi que les réseaux neuronaux. Lorsque le réseau est trop complexe pour être modélisé complètement, ce qui est souvent le cas des réseaux de "mondes réels", il nous faut d'autres approches qui nous renseignent sur sa structure typique ou approximative. Une telle approche consiste à utiliser la marche aléatoire pour échantillonner un élément uniforme d'un espace plus vaste. Afin de démontrer qu'une telle méthode convient pour un réseau donné, un seuil sur le temps de mélange est nécessaire. Toutefois, peu de détails sont connus quant ou comportement des marches aléatoires dans les modèles des "petits mondes" alors que de nombreuses prévisions peuvent être trouvées dans la littérature de physique. Nous citons une multitude de modèles de "petits mondes", les informations disponibles à leur égard, introduisons les chaines de Markov, temps de mélange et une variété de techniques pour les bornes des temps de mélange. Enfin, la principale contribution de cette thèse est de montrer qu'un modèle connu de graphe de "petit monde", connu sous le nom de Newman-Watts, le temps de mélange est de l'ordre de $\log^2 n$. Ceci confirme une prévision de Richard Durrett, qui a prouvé une borne inférieure de l'ordre de $\log^2 n$ et une borne supérieure de l'ordre de $\log^3 n$.

The optimized Schwarz methods were recently introduced to enhance the convergence of the classical Schwarz iteration, by replacing the Dirichlet transmission conditions with different conditions obtained through an optimization of the convergence rate. This is formulated as a min-max problem. These new methods are well-studied for elliptic second order symmetric equations. The purpose of this work is to compute optimized Robin transmission conditions for the advection-diffusion equation in two dimensions, by finding the solution of the min-max problem. The asymptotic expansion, for small mesh size h, of the resulting convergence rate is found: it shows a weak dependence on h, if the overlap is 0(h) or no overlap is used. Numerical experiments illustrate the improved convergence of these optimized methods compared to other Schwarz methods, and also justify the continuous Fourier analysis performed on a simple model problem only. The theoretical asymptotic performance is also verified numerically.

We establish a criterion on potential energy functions which, when satisfied, asserts the existence of an infinite number of periodic orbits in a dynamical system defined by two particles moving on the two-dimensional (or “flat”) torus. The original system is reduced to that of a single point-mass moving about the torus, for which we find a continuum of tra jectories satisfying a particular symmetry relation. Using a system of Poincar´e maps, we obtain addition information about a particular subset of these tra jectories in order to describe their behaviour in a linear portion of the space. Finally, we show under certain additional assumptions that, for any sufficiently large two-dimensional torus, a countably infinite subset of these tra jectories are periodic. / On établisse un critère sur les fonctions d’énergie potentielle qui, quand satisfait, affirme l’existence d’un nombre infini d’orbites d’un système dynamique de deux particules en se déplaçant autour du tore de deux dimensions. On réduit le système d’origine au système d’un point de masse qui se déplace autour du tore, duquel on trouve un continuum de tra jectoires qui satisfait à un rapport particulier de symétrie. En utilisant un système de cartes de Poincaré, on apprend davantage d’un sous-ensemble particulier de ses trajectoires pour décrire leur comportement dans une partie linéaire de l’espace. Enfin, on démontre, selon certaines hypothèses, que pour n’importe quel tore assez grand de deux dimensions, un sous-ensemble infini dénombrable est périodique.