New statistics are proposed for testing the hypothesis that two non-continuous random variables are independent. These statistics, which lead to consistent tests, are Cramér–von Mises and Kolmogorov–Smirnov type functionals of the checkerboard copula. The power of the new tests is compared via simulation to those based on the Pearson chi-squared, likelihood ratio, and Zelterman statistics often used in this context. To study their power, data are generated from five families of bivariate distributions whose margins may be known or not. In all cases considered, the new tests are seen to be more powerful than the standard tests. The new tests and the Zelterman statistic maintain their levels when the data are sparse; as is well known, this is not the case for Pearson's chi-squared and the likelihood ratio test. On the basis of the results presented here, the new Cramér–von Mises statistics can be recommended to test the independence between two random variables in the presence of ties in the sample. / De nouvelles statistiques sont proposées pour tester l'indépendance de deux aléas non continus. Ces statistiques, qui mènent à des tests convergents, sont des fonctionnelles de type Cramér–von Mises et Kolmogorov–Smirnov de la copule en damier. La puissance des nouveaux tests est comparée par simulation à celle des tests fondés sur les statistiques du khi-deux de Pearson, du rapport des vraisemblances et de la statistique de Zelterman souvent utilisées dans ce contexte. Pour étudier leur puissance, on génère des données de cinq familles de lois bivariées dont les marges peuvent être connues ou non. Dans tous les cas considérés, les nouveaux tests s'avèrent plus puissants que les tests standard. À l'instar du test de Zelterman, les nouveaux tests maintiennent leur seuil lorsque les données sont clairsemées; comme on le sait, ce n'est pas le cas des tests du khi-deux de Pearson et du rapport des vraisemblances. À la lumière des résultats présentés ici, les nouvelles statistiques de Cramér–von Mises peuvent être recommandées pour tester l'indépendance entre deux aléas en présence d'ex æquo dans les données.

The study of multivariate distributions was almost exclusively restricted to the study of multivariate Normal distribution until recently. During the last twenty five years the study of multivariate discrete distributions and various ether multivariate distributions seems to have gained importance as the advancement of different fields demanded the application of distributions ether than multivariate Normal. Different multi variate distributions studied, in different situations, by the following authors could be noted in view of the remark. [...]

As one might expect, many theorems on properties of a ring which are inherited by the matrix ring appear in papers concerned with a particular property of the ring. Basically, the aim of this thesis is to collect such results. There are two advantages in making such a collection. The first is that by suitable organization, the task of proving these theorems may be simplified considerably. This is seen in Sections 1 and 3. Secondly, the question arises: "Are any other properties of a ring inherited by the matrix ring?" Theorems 3.6 and 3.7 provide a partial answer to this question. [...]

It is recognized that there are basically three categories of stability: Laplace, Liapunov, and Poincaré. It is difficult to say which concept is 'better'. This will depend on our requirements on the solutions themselves. [...]

When Hamilton had invented quaternions, the question arose whether they could be used to advantage in mathematical physics. However, the world then only had three dimensions, and so the scalar part of the quaternion was suppressed, the resulting entity being called a vector. The relation between vector-analysis and quaternion algebra is well known, and need not be entered into here. With the theory of relativity also came the fourth dimension. Although Minkowski himself rejected the quaternionic calculus as “too narrow and clumsy for the purpose in question”, Silberstein has strongly advocated the cause of quaternions. He used quaternions with imaginary scalar parts to designate the position of points or events in space-time. This was necessary, since the metric in Minkowski space is not given by a positive definite quadratic form. We achieve the same result by making the vector part imaginary, in which case we obtain a Hermitian matrix representation of the position quaternion. Professor Dirac believes (as stated by him in conversation) that, some day, Hamiltonian quaternions, as opposed to Hermitian quaternions, will re-assert themselves in relativity theory; but I do not see how this can be. [...]

In the nineteenth century, Cayley proved that a smooth cubic surface has exactly 27 lines over the complex field. Schläfli and others showed furthermore that the number of real lines could be 27, 15, 7, or 3. These results were found using the algebraic geometry techniques of the time. In this thesis, we solve this classic real enumeration problem using two different techniques. One method is group theoretic, and the other uses characteristic classes. Part of our goal is to show how these methods are related to each other as well as to the classical results. In particular, we give a description of important signs, which arise in both the classical and characteristic class approaches, in terms of our group theoretic approach. We also solve two other classic real enumerative problems using the group theoretic approach: the number of bitangent lines to a quartic plane curve, and the number of tritangent planes to a twisted sextic curve. / Pendant le dix-neuvième siècle, Cayley a prouvé qu'une surface cubique lisse contient exactement 27 droites sur le corps complexe. De plus, Schläfli et d'autres ont demontré que le nombre de droites réelles pourait être 27, 15, 7, ou 3. Ces résultats ont été découverts à travers des techniques de la géométrie algébrique de l'époque. Dans cette thèse, nous résolvons ce problème classique en utilisant deux techniques différentes. La première méthode utilise la théorie des groupes, et l'autre utilise des classes charactéristique. Notre but est, en partie, de démontrer comment ces méthodes sont reliées entre eux et, de plus, leurs relation aux résultats classiques. En particulier, nous donnons une description de signes importants, pro-venant de l'approche classique ainsi que l'approche des classes charactéristiques, du point de vu de la théorie des groupes. De plus, en utilisant l'approche des groupes, nous résolvons deux autres problèmes classiques en geométrie énumérative réelle : l'énumération des droites bi-tangentes à une courbe quartique du plan, et l'énumération des plans tritangents à une courbe tordu sextique.

The choice number of a graph G, denoted ch(G), is the minimum integer k such that for any assignment of lists of size k to the vertices of G, there is a proper colouring of G such that every vertex is mapped to a colour in its list. For general graphs, the choice number is not bounded above by a function of the chromatic number.In this thesis, we prove a conjecture of Ohba which asserts that ch(G) = χ(G) whenever |V (G)| ≤ 2χ(G) + 1. We also prove a strengthening of Ohba's Conjecture which is best possible for graphs on at most 3χ(G) vertices, and pose several conjectures related to our work. / Le nombre de choix d'un graphe G, noté ch(G), est le plus petit entier k tel que pour toute affectation de listes de taille k au sommets de G, il y a une coloration de G tel que chaque sommet de G est coloré par une couleur de sa liste. En général, le nombre de choix n'est pas borné supérieurement par une fonction du nombre chromatique.Dans cette thèse, nous démontrons une conjecture de Ohba qui affirme que ch(G) =χ(G) dès que |V (G)| ≤ 2χ(G) + 1. Nous démontrons aussi une version plus forte de la conjecture de Ohba qui est optimale pour les graphes ayant au plus 3χ(G) sommets, et énonçons plusieurs conjectures par rapport à nos travaux.

This dissertation is a study of two independent problems from the common research area of boundary element methods used to solve elliptic boundary value problems. Both topics focus mainly on a single layer approach. For the first project we consider the Laplace-Beltrami Dirichlet problem on a subsurface of the unit sphere in R^3. We derive and analyze a boundary element method for a first-kind integral equation to solve this boundary value problem. The method can be used to study the motion of point vortices on a sphere with impenetrable walls; we compare our approach with previous methods in this field. We derive rigorous error estimates for approximations of the solution to the integral equation in appropriate Sobolev spaces which yield global error estimates for the solution of the boundary value problem. Moreover, we support the theoretical results with numerical evidence gathered from test cases. The second project is concerned with a multigrid preconditioning strategy for the acoustic single layer equation in two dimensions. As proposed in [6], we reformulate the boundary element method in a weaker base inner product and then use a V-cycle multigrid scheme with a Richardson type smoother. We provide a full convergence analysis for the proposed multigrid algorithm based on an analogous result for the single layer equation corresponding to the Laplace operator. Numerical experiments underline the performance of the algorithm. Moreover, we conduct a numerical study of the effect of the weak inner product on the oscillatory behavior of the corresponding eigenfunctions. / Cette dissertation est une étude de deux problèmes indépendants provenant du domaine commun de la recherche des méthodes d'éléments finis de frontière pour résoudre des problèmes aux limites elliptiques. Les deux sujets portent principalement sur l'approche de l'opérateur simple couche.Pour le premier projet nous considérons le problème de Laplace-Beltrami Dirichlet sur une sous-surface de la sphère de rayon 1. Nous dérivons et analysons une méthode à équations intégrales du premier type pour résoudre ce problème aux limites. Cette méthode peut être utilisée pour étudier le mouvement de tourbillons ponctuels sur une sphère avec des murs impénétrables; nous comparons notre approche avec d'autres méthodes connues pour ce problème. Nous dérivons rigoureusement des estimations d'erreur pour les équations intégrales dans les espaces de Sobolev appropriés, ce qui donne des estimations globales de l'erreur pour la solution du problème aux limites. De plus, nous appuyons ces résultats théoriques grâce à des simulations numériques obtenues à partir de tests.Le deuxième projet porte sur une stratégie de préconditionnement multigrille pour l'équation de simple couche acoustique en deux dimensions. Tel que proposé dans [6], nous transférons la formulation en termes d'éléments finis de frontière à un produit scalaire plus faible et utilisons par la suite une méthode multigrille V-cycle avec un lisseur de type Richardson. Nous fournissons une analyse complète de convergence pour l'algorithme proposé basée sur un résultat analogue pour l'équation de simple couche correspondant à l'opérateur de Laplace. Des simulations numériques soulignent la performance de l'algorithme. De plus, nous faisons une étude numérique de l'effet du produit scalaire faible sur le comportement oscillatoire des fonctions propres correspondantes.

This thesis is a survey of certain algorithmic problems in group theory and their computational complexities. In particular, it consists of a detailed review of the decidability and complexity of the word and conjugacy problems in several classes of solvable groups, followed by two original results. The first result states that the Conjugacy Problem in wreath products which satisfy certain elementary conditions is decidable in polynomial time. It is largely based on work by Jane Matthews, published in 1969. The second result, based on ideas of Remeslennikov and Sokolov (1970), and Myasnikov, Roman'kov, Ushakov and Vershik (2008) gives a uniform polynomial time algorithm to decide the Conjugacy Problem in free solvable groups. / Cette thèse est une synthèse de certains problèmes algorithmiques dans la thèoriedes groupes et leur complexité computationnelle. Plus particulièrement, elle présenteune revue détaillée de la décidabilité et de la complexité des problèmes du mot et dela conjugaison dans plusieurs classes de groupes solubles, suivie de deux nouveauxrésultats. Le premier résultat énonce que le problème de la conjugaison dans lesproduits couronne qui satisfont certaines conditions élémentaires est décidable entemps polynomial. Elle part d'une publication de Jane Matthews (1969). Le deuxièmerésultat, basé sur des idées de Remeslennikov et Sokolov (1970) et de Myasnikov, Roman'kov,Ushakov et Vershik (2008), présente un algorithme en temps polynomial uniformepour décider le problème de conjugaison dans les groupes solubles libres.

Starting with the work of Mazur, Tate and Teitelbaum, various p-adic analogues of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture have been formulated. The case of an elliptic curve with split multiplicative reduction at the prime p is of special interest. In this so called ``exceptional zero'' case, the order of vanishing of the Mazur-Swinnerton-Dyer p-adic L-function at the central point seems to be one higher than it is in the classical case. Greenberg and Stevens proved results about this conjecture, using properties of the two variable Mazur-Kitagawa p-adic L-function L_p(E, k, s). Their proof relies on the fact that the Mazur-Kitagawa p-adic L-function L_p(E, k, s) vanishes along the central critical line s=k/2, and the fact that the restriction to k=2 is equal to the Mazur-Swinnerton-Dyer p-adic L-function attached to E. In the case where L_p(E, k, k/2) is not identically zero, a formula of Bertolini and Darmon gives a formula for its second derivative at k=2. Their formula is also valid for twists of the L-function by quadratic characters, and their method of proof relies essentially on the fact that the twisting character is quadratic. This thesis looks into possible generalizations of the result of Bertolini and Darmon in the case of twists by Dirichlet characters of higher order. / Depuis les travaux de Mazur, Tate et Teitelbaum, diverses conjectures ont été proposées qui sont analogues à celle de Birch et Swinnerton-Dyer, dans le cas p-adique. Cette thèse traite principalement le cas d'une courbe elliptique à réduction multiplicative déployée en p; ce cas est dit ``exceptionnel''. Dans ce cas, la multiplicité de zéro de la fonction L de Mazur et Swinnerton-Dyer au point central semble être une de plus que ce qui est prédit dans le cas classique. Greenberg et Stevens ont prouvé des résultats concernant cette conjecture en utilisant la fonction L de Mazur et Kitagawa, qui est une fonction L_p(E, k, s) de deux variables. Leur preuve se base sur le fait que la fonction L de Mazur et Kitagawa s'annule sur la ligne centrale critique s=k/2 et qu'elle est égal à la fonction L de Mazur et Swinnerton-Dyer quand k=2. Quand L_p(E, k, k/2) ne s'annule pas, Bertolini et Darmon ont trouvé une formule pour la dérivée seconde de L_p(E, k, k/2) en k=2. Leur formule tient encore quand on tord par un charactère quadratique. Cette thèse considère des généralizations conjecturales des travaux de Bertolini et Darmon lorsque le caractère est d'ordre supérieur à deux.