Ce mémoire s’intéresse à l’étude du critère de validation croisée pour le choix des modèles relatifs aux petits domaines. L’étude est limitée aux modèles de petits domaines au niveau des unités. Le modèle de base des petits domaines est introduit par Battese, Harter et Fuller en 1988. C’est un modèle de régression linéaire mixte avec une ordonnée à l’origine aléatoire. Il se compose d’un certain nombre de paramètres : le paramètre β de la partie fixe, la composante aléatoire et les variances relatives à l’erreur résiduelle. Le modèle de Battese et al. est utilisé pour prédire, lors d’une enquête, la moyenne d’une variable d’intérêt y dans chaque petit domaine en utilisant une variable auxiliaire administrative x connue sur toute la population. La méthode d’estimation consiste à utiliser une distribution normale, pour modéliser la composante résiduelle du modèle. La considération d’une dépendance résiduelle générale, c’est-à-dire autre que la loi normale donne une méthodologie plus flexible. Cette généralisation conduit à une nouvelle classe de modèles échangeables. En effet, la généralisation se situe au niveau de la modélisation de la dépendance résiduelle qui peut être soit normale (c’est le cas du modèle de Battese et al.) ou non-normale. L’objectif est de déterminer les paramètres propres aux petits domaines avec le plus de précision possible. Cet enjeu est lié au choix de la bonne dépendance résiduelle à utiliser dans le modèle. Le critère de validation croisée sera étudié à cet effet. / This thesis focuses on the study of a cross-validation criterion for the choice of models for small areas. The study is limited to models of small areas at the unit level. The standard model for this problem has been introduced by Battese, Harter and Fuller in 1988. It is a mixed linear regression model with random intercepts. Its consists of a number of parameters: β a regression parameter for the fixed part, the random component and the variances for the residual error. The model of Battese et al. is used to predict in the average of a study variable y in each small area using an administrative auxiliary variable x known throughout the population. The standard estimation method consists of using a normal distribution for modelling the experimental errors. The consideration of a non normal dependence gives more accurate estimates. This new model might lead to better prediction of the mean of y within small areas. Indeed, the generalization lies in modelling the residual dependency with a non normal exchangeable model. The model selection is an issue and this work investigates crossvalidationas a method to choose a model.

Au cours de ces dernières années, les techniques d’échantillonnage équilibré ont connu un regain d’intérêt. En effet, ces techniques permettent de reproduire la structure de la population dans des échantillons afin d’améliorer l’efficacité des estimations. La reproduction de cette structure est effectuée par l’introduction des contraintes aux plans de sondage. Encore récemment, des nouvelles procédures d’échantillonnage équilibré ont été proposées. Il s’agit notamment de la méthode du cube présentée par Deville et Tillé (2004) et de l’algorithme réjectif de Fuller (2009). Alors que la première est une méthode exacte de sélection, la seconde est une approche approximative qui admet une certaine tolérance dans la sélection. Alors, après une brève présentation de ces deux méthodes dans le cadre d’un inventaire de pêcheurs, nous comparons à l’aide de simulations Monte Carlo, les plans de sondage produits par ces deux méthodes. Aussi, cela a été l’occasion pour nous de vérifier si ces méthodes modifient les probabilités de sélection des unités. / In recent years, balanced sampling techniques have experienced a renewed interest. They allow to reproduce the structure of the population in samples in order to improve the efficiency of survey estimates. New procedures have been proposed. These include the cube method, an exact method presented by Deville and Tillé (2004), and an approximate method, the Fuller (2009) rejective algorithm. After a brief presentation of these methods as part of an angler survey, we compare using Monte Carlo simulations, the survey designs produced by these two sampling algorithms. We also use this as an opportunity to check whether these methods modify the inclusion probabilities.

Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux problèmes de préservation locale. Après un chapitre introductif, on présente les définitions et les principaux résultats sur la théorie spectrale locale. Nous présentons aussi les théorèmes fondamentaux de préservation locale. Dans le chapitre suivant, nous nous intéressons à caractériser les applications surjectives qui conservent le spectre périphérique locale du produit et du produit triple de deux operateurs. Aussi nous établissons la continuité automatiques des applications linéaires qui augmentent le rayon spectral local en un point fixé. De plus, nous présentons une application de ce résultat. Dans le dernier chapitre, soit X un espace de Banach de dimension infini et [symbol] algébre des opérateurs bornés définis sur X, nous caractérisons les applications surjectives qui verifient [symbol] si est seulement si [symbol], pour tout [symbol] et [symbol], où [symbol] est le rayon spectral intérieur local. Enfin, nous déterminons toutes les applications bicontinues bijectives qui conservent le rayon spectral intérieur local en un point fixé. / In this PhDthesis inOperator theory, we are interested in preserver problems of local spectra. After an introductory chapter, we present the definitions and the main results on local spectral theory. We also present the fundamental theorems of preserver problems of local spectra. In the next chapter, we address two long standing problems in the context of local spectral radius preservers. First, we completely describe the form of maps preserving the peripheral local spectrum of product or triple product of operators. Second, we establish the automatic continuity of linear maps increasing the local spectral radius of operators at a fixed nonzero vector. In the last chapter, let [symbol] be the algebra of all bounded linear operators on an infinite dimensional complex Banach space X, and let [symbol] denote the inner local spectral radius of an operator [symbol] at any vector [symbol]. We characterize surjective maps onB(X) satisfying [symbol] if and only if [symbol], for all [symbol] and [symbol]. We also determine the form of all bicontinuous bijective maps on [symbol] preserving the inner local spectral radius of the difference and sumof operators at a nonzero fixed vector.

Les méthodes classiques d’analyse de survie notamment la méthode non paramétrique de Kaplan et Meier (1958) supposent l’indépendance entre les variables d’intérêt et de censure. Mais, cette hypothèse d’indépendance n’étant pas toujours soutenable, plusieurs auteurs ont élaboré des méthodes pour prendre en compte la dépendance. La plupart de ces méthodes émettent des hypothèses sur cette dépendance. Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode d’estimation de la dépendance en présence de censure dépendante qui utilise le copula-graphic estimator pour les copules archimédiennes (Rivest etWells, 2001) et suppose la connaissance de la distribution de la variable de censure. Nous avons ensuite étudié la consistance de cet estimateur à travers des simulations avant de l’appliquer sur un jeu de données réelles. / Conventional methods of survival analysis including non-parametric Kaplan-Meier (1958) assume independence between time to death and time to censoring. But this independence assumption is not always sustainable. Thus, several authors have developed methods to take into account the dependence by making assumptions about the relationship between the two times. In this paper, we proposed a method to estimate the dependence in case of competing risk data using the copula-graphic estimator for Archimedean copula (Rivest and Wells, 2001) and assuming knowledge of the distribution of censoring time. Then we studied the consistency of this estimator through simulations and applied to a real dataset.

Dans cette thèse, nous sommes intéressés par des problèmes de préservation des applications non-linéaires entre deux algèbres de Banach complexes unitaires A et B. En général, ces problèmes demandent la caractérisation des applications φ : A → B non nécessairement linéaires, qui laissent invariant une propriété, une relation ou un sous-ensemble. Dans le Chapitre 3, la description des applications surjectives φ de B(X) sur B(Y), qui satisfont c(φ(S)±φ(T)) = c(S ± T), (S, T ∈ B(X)), est donnée, où c(·) représente soit le module minimal, ou le module de surjectivité ou le module maximal et B(X) (resp. B(Y)) dénote l’algèbre de tous les opérateurs linéaires et bornés sur X (resp. sur Y). Dans le Chapitre 4, une question similaire pour la conorme des opérateurs, est considérée. La caractérisation des applications bicontinues et bijectives φ deB(X) surB(Y), qui satisfont γ(φ(S ± φ(T)) = γ(S ± T), (S, T ∈ B(X)), est obtenue. Le Chapitre 5 est consacré à la description des applications surjectives φ1, φ2 d’une algèbre de Banach semisimple A sur une algèbre de Banach B avec un socle essentiel, qui satisfont σ(φ1(a)φ2(b)) = σ(ab), (a, b ∈ A). Aussi, la caractérisation des applications φ de A sur B, sous les mêmes hypothèses sur A et B, qui satisfont σ(φ(a)φ(b)φ(a)) = σ(aba), (a, b ∈ A), est donnée. Comme conséquences, nous incluons les résultats obtenus au cas des algèbres B(X) et B(Y). / In this thesis, we are interested in nonlinear preserver problems. In a general formulation, these demand the characterization of a map φ : A → B, which is not supposed to be linear and leaves a certain property, particular relation, or even a subset invariant, where A and B are complex Banach algebras with unit. In Chapter 3, the description of maps φ from B(X) onto B(Y) satisfying c(φ(S)±φ(T)) = c(S ± T), (S, T ∈ B(X)), is given, where c(·) stands either for the minimum modulus, or the surjectivity modulus, or the maximum modulus and B(X) (resp. B(Y)) denotes the algebra of all bounded linear operators on a Banach space X (resp. on Y). In Chapter 4, a similar question for the reduced minimum modulus of operators, is considered. The characterization of bijective bicontinuous maps φ from B(X) to B(Y) satisfying γ(φ(S ± φ(T)) = γ(S ± T), (S, T ∈ B(X)), is obtained. Chapter 5 is devoted to description of maps φ1, φ2 from a semisimple Banach algebra A onto a Banach algebra B with an essential socle, that satisfy σ(φ1(a)φ2(b)) = σ(ab), (a, b ∈ A). Also, the characterization of maps φ from A onto B, under the same assumptions on A and B, satisfying σ(φ(a)φ(b)φ(a)) = σ(aba), (a, b ∈ A), is given. The corollaries for algebras B(X) and B(Y), that follow immediately from the results, are included.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2015-2016 / Dans ce mémoire, une méthode assistée numériquement est introduite et utilisée afin de montrer l'existence d'une connexion homocline à zéro pour l'équation du pont suspendu. Cette méthode, basée sur l'utilisation du théorème de contraction de Banach, permet d'obtenir les points fixes de l'opérateur de Newton légèrement modifié. La méthode ainsi que son cadre théorique sont introduits au premier chapitre. L'espace de Banach sur lequel sera définit l'opérateur ainsi que la manière de construire l'approximation de l'inverse utilisée pour l'opérateur sont les éléments majeurs du cadre théorique. Par la suite, la méthode est utilisée dans le Chapitre 2 pour prouver rigoureusement la validité de l'approximation numérique utilisée pour la variété stable locale. Puis cette approximation est réutilisée pour prouver l'existence de la connexion homocline. Cette preuve est à nouveau effectuée en utilisant la méthode introduite au premier chapitre. Finalement, certains résultats des calculs numériques sont présentés pour conclure ce mémoire. / In this work, a numerically assisted technique is introduced in order to prove the existence of a homoclinic connexion to zero for the suspension bridge equation. This technique, based on the use of the Banach fixed point theorem, can provide the fixed point of a slightly modified version of the Newton operator. The technique and its theorical background are introduced in the first chapter. The Banach space on which the operator is defined and the way to construct the approximation of the inverse needed to define the operator are the major parts of the theoretical background. The method is then used to rigorously validate the numerical approximation used to parametrize the local stable manifold. This parametrization is used to find the homoclinic connexion we are looking for. This proof is also completed using the technique from the first chapter. Finally, some results and numerical approximations will be presented in the last chapter.

D'abord, nous présentons les principes physiques nous permettant de modéliser et comprendre le phénomène de propagation linéaire des impulsions lumineuses dans un milieu homogène, dans les guides d'ondes planaires et enfin dans les fibres optiques microstructurées. Ensuite, nous faisons une analyse mathématique rigoureuse des équations linéaires de propagation et posons le problème comme celui de la recherche de valeurs propres d'opérateurs auto-adjoints dans un espace de Hilbert. On verra que ces résultats théoriques s'appliquent aux équations simulées dans le logiciel Comsol Multiphysics. Enfin, nous recensons et proposons différentes façons de prédire les valeurs de dispersion chromatique et d'atténuation dans les fibres microstructurées à coeur suspendu en utilisant les notions et équations discutés dans les deux premiers chapitres. Le choix de la géométrie, du matériau et de la longueur d'onde de la lumière transmise sont parmi les variables étudiées numériquement. Nous ferons également un exemple détaillé d'utilisation du logiciel Comsol Multiphysics pour construire un modèle de fibre optique microstructurée.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2015-2016 / Les rentes variables, et plus particulièrement les garanties de rachat viager (GRV), sont devenues très importantes dans l'industrie de la gestion du patrimoine. Ces garanties, qui offrent aux clients une protection de revenu tout en leur permettant de garder une participation dans les marchés boursiers, comprennent différents risques systématiques du point de vue de l'émetteur. La gestion des risques des GRV est donc une préoccupation majeure pour les compagnies d'assurance, qui ont opté pour la couverture sur les marchés financiers comme stratégie de gestion des risques simple et efficace. Ce mémoire évalue l'impact de la modélisation du passif de la garantie sur l'efficacité de la couverture des GRV par rapport à trois risques systématiques importants pour ces garanties, soient les risques de marchés boursiers, d'intérêt et de longévité. Le présent travail vise donc à étendre l'analyse effectuée par Kling et al. (2011), qui se concentre sur le risque de marchés boursiers. Ce mémoire montre que les taux d'intérêt stochastiques sont primordiaux dans la modélisation du passif des GRV. Ce mémoire analyse également l'impact de la modélisation de la mortalité utilisée dans la boucle externe sur l'efficacité de la couverture des GRV. Une allocation du risque entre les risques financiers et le risque de longévité est utilisée pour montrer que la longévité représente une part importante du risque total des GRV couvertes. De plus, l'efficacité de la couverture dans des projections incluant une modélisation stochastique des risques financiers et du risque de longévité est comparée à l'efficacité dans des projections utilisant des marges pour écarts défavorables traditionnelles sur l'hypothèse d'amélioration de mortalité. La diversification entre les risques financiers et de longévité s'avère avoir un effet substantiel sur l'efficacité de la couverture. / Variable annuity guarantees, and particularly guaranteed lifetime withdrawal benefit (GLWB) guarantees, have become very important in the wealth management industry. These guarantees, which provide clients with a revenue protection while allowing them to retain equity market participation, exhibit significant systematic risks from the issuer's standpoint. Risk management of GLWB guarantees thus is a main concern for insurance companies, which have turned to capital market hedging as a straightforward and effective risk management method. This thesis assesses the impact of the guarantee liability modeling on the hedge efficiency of GLWB guarantees with respect to three significant systematic risks for these guarantees, namely, the stock market, interest rate and longevity risks. The present work thus aims to extend the hedge efficiency analysis performed in Kling et al. (2011), which focuses on the stock market risk. In this thesis, stochastic interest rates are shown to be of primary importance in the guarantee liability modeling of GLWB guarantees. This thesis also analyzes the impact of the outer loop modeling of mortality on the hedge efficiency of GLWB guarantees. A risk allocation between financial and longevity risks is used to show that longevity holds a significant share of the total risk of a hedged GLWB guarantee. The hedge efficiency in projections including both stochastic financial and mortality modeling is compared with the efficiency in projections using traditional actuarial margins for adverse deviations on the mortality improvement assumption. The diversification between financial and longevity risks is shown to have a substantial impact on hedge efficiency.

La théorie des systèmes dynamiques étudie les phénomènes qui évoluent au cours du temps. Plus précisément, un système dynamique est donné par : un espace de phase dont les points correspondent à des états possibles du système étudié et une loi d'évolution décrivant l'infinitésimal (pour le cas continu) pas à pas (pour le cas discret) les changements des états du système. Le but de la théorie est de comprendre l'évolution dans le long terme. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle méthode pour la résolution des systèmes linéaires avec preuve assistée par ordinateur dans le cadre de modèles linéaires réalistes. Après une introduction de quelques propriétés de la théorie des équations différentielles ordinaires, on introduit une méthode de calcul rigoureux pour trouver la solution périodique de la conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii. On reformule le problème comme un problème à valeur initiale, puis on calcule la solution périodique dans le domaine positif et on déduit l'autre solution par symétrie. Notre résultat énonce une partie de la conjecture 3:2 dans le livre de Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii : Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Mots clés. Conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii, Analyse d'intervalle, Théorème de contraction de Banach, Polynômes de rayons. / The theory of dynamical systems studies phenomena which are evolving in time. More precisely, a dynamical system is given by the following data: a phase space whose points correspond to the possible states of the system under consideration and an evolution law describing the infinitesimal (for continuous time) or one-step (for discrete time) change in the state of the system. The goal of the theory is to understand the long term evolution of the system. In this work, we introduce a new method for solving piecewise linear systems with computer assisted proofs in the context of realistic linear models. After introducing some properties of the theory of ordinary differential equations, we provide a rigorous computational method for finding the periodic solution of Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture. We reformulate the problem as an initial value problem, compute periodic solution in the positive domain and deduce the other solution by symmetry. Our result settles one part of the Conjecture 3:2 by Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii: Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Key words. Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture, Interval analysis, Contraction mapping theorem, Radii polynomials.

Les inondations constituent le risque naturel prédominant dans le monde et les dégâts qu’elles causent sont les plus importants parmi les catastrophes naturelles. Un des principaux facteurs expliquant les inondations sont les précipitations extrêmes. En raison des changements climatiques, l’occurrence et l’intensité de ces dernières risquent fort probablement de s’accroître. Par conséquent, le risque d’inondation pourrait vraisemblablement s’intensifier. Les impacts de l’évolution des précipitations extrêmes sont désormais un enjeu important pour la sécurité du public et pour la pérennité des infrastructures. Les stratégies de gestion du risque d’inondation dans le climat futur sont essentiellement basées sur les simulations provenant des modèles numériques de climat. Un modèle numérique de climat procure notamment une série chronologique des précipitations pour chacun des points de grille composant son domaine spatial de simulation. Les séries chronologiques simulées peuvent être journalières ou infrajournalières et elles s’étendent sur toute la période de simulation, typiquement entre 1961 et 2100. La continuité spatiale des processus physiques simulés induit une cohérence spatiale parmi les séries chronologiques. Autrement dit, les séries chronologiques provenant de points de grille avoisinants partagent souvent des caractéristiques semblables. De façon générale, la théorie des valeurs extrêmes est appliquée à ces séries chronologiques simulées pour estimer les quantiles correspondants à un certain niveau de risque. La plupart du temps, la variance d’estimation est considérable en raison du nombre limité de précipitations extrêmes disponibles et celle-ci peut jouer un rôle déterminant dans l’élaboration des stratégies de gestion du risque. Par conséquent, un modèle statistique permettant d’estimer de façon précise les quantiles de précipitations extrêmes simulées par un modèle numérique de climat a été développé dans cette thèse. Le modèle développé est spécialement adapté aux données générées par un modèle de climat. En particulier, il exploite l’information contenue dans les séries journalières continues pour améliorer l’estimation des quantiles non stationnaires et ce, sans effectuer d’hypothèse contraignante sur la nature de la non-stationnarité. Le modèle exploite également l’information contenue dans la cohérence spatiale des précipitations extrêmes. Celle-ci est modélisée par un modèle hiérarchique bayésien où les lois a priori des paramètres sont des processus spatiaux, en l’occurrence des champs de Markov gaussiens. L’application du modèle développé à une simulation générée par le Modèle régional canadien du climat a permis de réduire considérablement la variance d’estimation des quantiles en Amérique du Nord.