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A rigorous numerical method for the proof of Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture

Thiam, Abdoulaye 23 April 2018 (has links)
La théorie des systèmes dynamiques étudie les phénomènes qui évoluent au cours du temps. Plus précisément, un système dynamique est donné par : un espace de phase dont les points correspondent à des états possibles du système étudié et une loi d'évolution décrivant l'infinitésimal (pour le cas continu) pas à pas (pour le cas discret) les changements des états du système. Le but de la théorie est de comprendre l'évolution dans le long terme. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle méthode pour la résolution des systèmes linéaires avec preuve assistée par ordinateur dans le cadre de modèles linéaires réalistes. Après une introduction de quelques propriétés de la théorie des équations différentielles ordinaires, on introduit une méthode de calcul rigoureux pour trouver la solution périodique de la conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii. On reformule le problème comme un problème à valeur initiale, puis on calcule la solution périodique dans le domaine positif et on déduit l'autre solution par symétrie. Notre résultat énonce une partie de la conjecture 3:2 dans le livre de Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii : Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Mots clés. Conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii, Analyse d'intervalle, Théorème de contraction de Banach, Polynômes de rayons. / The theory of dynamical systems studies phenomena which are evolving in time. More precisely, a dynamical system is given by the following data: a phase space whose points correspond to the possible states of the system under consideration and an evolution law describing the infinitesimal (for continuous time) or one-step (for discrete time) change in the state of the system. The goal of the theory is to understand the long term evolution of the system. In this work, we introduce a new method for solving piecewise linear systems with computer assisted proofs in the context of realistic linear models. After introducing some properties of the theory of ordinary differential equations, we provide a rigorous computational method for finding the periodic solution of Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture. We reformulate the problem as an initial value problem, compute periodic solution in the positive domain and deduce the other solution by symmetry. Our result settles one part of the Conjecture 3:2 by Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii: Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Key words. Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture, Interval analysis, Contraction mapping theorem, Radii polynomials.
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Modélisation de la dispersion chromatique et de l'atténuation dans les fibres microstructurées à cœur suspendu

Gagnon, Pierre-Louis 24 April 2018 (has links)
D'abord, nous présentons les principes physiques nous permettant de modéliser et comprendre le phénomène de propagation linéaire des impulsions lumineuses dans un milieu homogène, dans les guides d'ondes planaires et enfin dans les fibres optiques microstructurées. Ensuite, nous faisons une analyse mathématique rigoureuse des équations linéaires de propagation et posons le problème comme celui de la recherche de valeurs propres d'opérateurs auto-adjoints dans un espace de Hilbert. On verra que ces résultats théoriques s'appliquent aux équations simulées dans le logiciel Comsol Multiphysics. Enfin, nous recensons et proposons différentes façons de prédire les valeurs de dispersion chromatique et d'atténuation dans les fibres microstructurées à coeur suspendu en utilisant les notions et équations discutés dans les deux premiers chapitres. Le choix de la géométrie, du matériau et de la longueur d'onde de la lumière transmise sont parmi les variables étudiées numériquement. Nous ferons également un exemple détaillé d'utilisation du logiciel Comsol Multiphysics pour construire un modèle de fibre optique microstructurée.

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