The presented thesis summarizes the results from four and a half years of intense lithography development on (Cd,Hg)Te/HgTe/(Cd,Hg)Te quantum well structures. The effort was motivated by the unique properties of this topological insulator. Previous work from Molenkamp at al.\ has proven that the transport through such a 2D TI is carried by electrons with opposite spin, counter-propagating in 1D channels along the sample edge. However, up to this thesis, the length of quantized spin Hall channels has never been reported to exceed 4 µm. Therefore, the main focus was put on a reproducible and easy-to-handle fabrication process that reveals the intrinsic material parameters. Every single lithography step in macro as well as microscopic sample fabrication has been re-evaluated. In the Development, the process changes have been presented along SEM pictures, microgaphs and, whenever possible, measurement responses. We have proven the conventional ion milling etch method to damage the remaining mesa and result in drastically lower electron mobilities in samples of microscopic size. The novel KI:I2:HBr wet etch method for macro and microstructure mesa fabrication has been shown to leave the crystalline structure intact and result in unprecedented mobilities, as high as in macroscopic characterization Hall bars. Difficulties, such as an irregular etch start and slower etching of the conductive QW have been overcome by concentration, design and etch flow adaptations. In consideration of the diffusive regime, a frame around the EBL write field electrically decouples the structure mesa from the outside wafer. As the smallest structure, the frame is etched first and guarantees a non-different etching of the conductive layer during the redox reaction. A tube-pump method assures reproducible etch results with mesa heights below 300 nm. The PMMA etch mask is easy to strip and leaves a clean mesa with no redeposition. From the very first attempts, to the final etch process, the reader has been provided with the characteristics and design requirements necessary to enable the fabrication of nearly any mesa shape within an EBL write field of 200 µm. Magneto resistance measurement of feed-back samples have been presented along the development chronology of wet etch method and subsequent lithography steps. With increasing feature quality, more and more physics has been revealed enabling detailed evaluation of smallest disturbances. The following lithography improvements have been implemented. They represent a tool-box for high quality macro and microstructure fabrication on (CdHg)Te/HgTe of almost any kind. The optical positive resist ECI 3027 can be used as wet and as dry etch mask for structure sizes larger than 1 µm. It serves to etch mesa structures larger than the EBL write field. The double layer PMMA is used for ohmic contact fabrication within the EBL write field. Its thickness allows to first dry etch the (Cd,Hg)Te cap layer and then evaporate the AuGe contact, in situ and self-aligned. Because of an undercut, up to 300 nm can be metalized without any sidewalls after the lift-off. An edge channel mismatch within the contact leads can be avoided, if the ohmic contacts are designed to reach close to the sample and beneath the later gate electrode. The MIBK cleaning step prior to the gate application removes PMMA residuals and thereby improves gate and potential homogeneity. The novel low HfO2-ALD process enables insulator growth into optical and EBL lift-off masks of any resolvable shape. Directly metalized after the insulator growth, the self-aligned method results in thin and homogeneous gate electrode reproducibly withholding gate voltages to +-10 V. The optical negative resist ARN 4340 exhibits an undercut when developed. Usable as dry etch mask and lift-off resist, it enables an in-situ application of ohmic contacts first etching close to the QW, then metalizing AuGe. Up to 500 nm thickness, the undercut guarantees an a clean lift-off with no sidewalls. The undertaken efforts have led to micro Hall bar measurements with Hall plateaus and SdH-oszillations in up to now unseen levels of detail. The gap resistance of several micro Hall bars with a clear QSH signal have been presented in Quantum Spin Hall. The first to exhibit longitudinal resistances close to the expected h/2e2 since years, they reveal unprecedented details in features and characteristics. It has been shown that their protection against backscattering through time reversal symmetry is not as rigid as previously claimed. Values below and above 12.9 kΩ been explained, introducing backscattering within the Landauer-Büttiker formalism of edge channel transport. Possible reasons have been discussed. Kondo, interaction and Rashba-backscattering arising from density inhomogeneities close to the edge are most plausible to explain features on and deviations from a quantized value. Interaction, tunneling and dephasing mechanisms as well as puddle size, density of states and Rashba Fields are gate voltage dependent. Therefore, features in the QSH signal are fingerprints of the characteristic potential landscape. Stable up to 11 K, two distinct but clear power laws have been found in the higher temperature dependence of the QSH in two samples. However, with ΔR = Tα, α = ¼ in one (QC0285) and α = 2 in the other (Q2745), none of the predicted dependencies could be confirmed. Whereas, the gap resistances of QC0285 remains QSH channel dominated up to 3.9 T and thereby confirmed the calculated lifting of the band inversion in magnetic field. The gate-dependent oscillating features in the QSH signal of Q2745 immediately increase in magnetic field. The distinct field dependencies allowed the assumption of two different dominant backscattering mechanisms. Resulting in undisturbed magneto transport and unprecedented QSH measurements The Novel Micro Hall Bar Process has proven to enable the fabrication of a new generation of microstructures. / In der vorliegenden Dissertation wurden die Ergebnisse von viereinhalb Jahren lithographischer Prozessentwicklung an (Cd,Hg)Te/HgTe/(Cd,Hg)Te Quantum Well Strukturen präsentiert. Motiviert wurde der Aufwand mit den einzigartigen Eigenschaften des zweidimensionalen Topologischen Isolators. In früheren Arbeiten von Molenkamp et al. ist gezeigt worden, dass der Stromtransport im Quantum Spin Hall (QSH) Regime durch zwei Randkanäle mit Elektronen entgegengerichteter Spin- und Propagationsrichtung erfolgt. Trotz der Vorhersage geschützten Randkanaltransports durch Zeit-Umkehr Invarianz, gab es bis zu der hier vorgenommenen Prozessoptimierung keine ungestörten Quantum Spin Hall Messungen oberhalb einer Länge von 4 µm. Deswegen wurde das Hauptaugenmerk der Entwicklung auf einen möglichst einfachen, reproduzierbaren und ungestörten Herstellungsprozess für QSH Mikrostrukturen gelegt. Die Ergebnisse der vollständigen Überarbeitung jedes einzelnen Lithographie-Schrittes für marko- und mikroskopische Probenstrukturierung wurden in Development erläutert. Die Anpassungen wurden anhand von Elektronen-, Lichtmikroskop-Aufnahmen und wann immer möglich auch Messungen motiviert, überprüft und für besser befunden. Es wurde aufgezeigt, dass das bisher übliche Verfahren zum ätzen der Mesa mit beschleunigen Argon-Ionen das Material auch lateral beschädigt und mit drastisch reduzierten Elektronen-Beweglichkeiten in mikroskopischen Proben einhergeht. Ein neuartiger KI:I2:HBr nass-Ätzprozess hingegen, hat sich als nicht invasiv erwiesen. Ohne die Kristallstruktur zu zerstören lassen sich damit Mikrostrukturen herstellen, welche sich durch beispiellos hohe Beweglichkeiten und Signalgüte auszeichnen. Schwierigkeiten, wie der unregelmäßige Ätz-Start und das langsamere Ätzen der leitfähigen Schicht sind durch Konzentrations-, Design- und Flussanpassungen sukzessive gelöst worden. Unter Beachtung des diffusiven Ätz-Charakters, sorgt ein schmaler Rahmen um das Schreibfeld des Elektronen Mikroskops für eine elektrische Entkopplung der späteren Mesa innen, mit dem Elektronen-Reservoir außen. Damit wird sichergestellt, dass die Leitfähigkeit des Quantentroges in der Redoxreaktion des Ätzens eine untergeordnete Rolle spielt. Durch den regulierbaren Fluss einer Schlauchpumpe lassen sich so reproduzierbar saubere Mesas auch unterhalb 300 nm Höhe herstellen. Die PMMA Ätzmaske kann rückstandsfrei entfernen werden. Über die ersten Versuche, bis hin zum letztendlichen Prozess, wurde dem Leser dabei das notwendige Wissen und Verständnis zur Durchführung der Mikrostrukturierung an die Hand gegeben. Unter Beachtung der charakteristischen Eigenheiten des nasschemischen Prozesses, lassen sich so nahezu alle Mesa-Formen innerhalb eines 200x200 µm2 Schreibfeldes realisieren. Anhand von Hall-Messungen an Kontrollproben, wurde die sukzessive Erhöhung der Probenqualität durch den Ätzprozess und die vollständige Überarbeitung der darauf folgenden Lithographie-Prozesse bewiesen. Mit mehr und mehr Physik in den Messungen haben sich selbst kleine Auswirkungen des Lithographie-Prozesses auf die Probeneigenschaften testen lassen. Die folgenden Verbesserungen tragen maßgeblich zu diesem Ergebnis bei. Hier angewendet auf Mikro-Hall-Bars, lassen sich die Prozesse für die Herstellung fast jedweder Struktur auf (Cd,Hg)Te/HgTe anpassen. Der optische positiv Photo-Lack ECI 3027 kann sowohl als Nass- und auch Trockenätzmaske verwendet werden. Mit einer minimalen Auflösung größer 1 µ m wurde er hier eingesetzt, um Strukturen um das Elektronenmikroskop-Schreibfeld zu ätzen. Der PMMA Doppellagen Resist ist dick und weist nach dem Entwickeln ein unterhöhltes Lackprofil auf. Dies erlaubt ihn zuerst zum Heranätzen und dann zum Metallisieren der Ohmschen Kontakte zu nutzen. Bis zu 300 nm Metall können dabei ohne Überhöhungen in-situ und selbstjustierend aufgebracht werden. Es wurde gezeigt, dass Kontakte nahe der Hall-Bar bis unterhalb der späteren Gate-Elektrode, in höheren Magnetfeldern nicht zu Störungen der Messung führen. Der MIBK Reinigungs Schritt vor dem Aufbringen der Gate-Elektrode entfernt PMMA Rückstände vorheriger Prozesse. In Hall-Messungen wurde gezeigt, dass dies die Homogenität des Gate-Einflusses deutlich verbessert. Der neuartige Tieftemperatur HfO2 ALD Prozess ermöglicht Isolator Wachstum auf Photo-Resist und PMMA Lift-off Masken. Dies wiederum ermöglicht eine Gate-Metallisierung direkt im Anschluss. Dadurch lassen sich auch kleine Gate-Elektroden mit homogenem Potential-Einfluss herstellen, welche reproduzierbar Spannungen bis +-10 V aushalten. Der optische negativ Photo-Lack ARN 4340 ermöglicht das Heranätzen und Metallisieren von Ohmschen Kontakten in Strukturgrößen größer 1 µm. Das ebenfalls unterhöhlte Lackprofil erlaubt dabei die Aufbringung von bis zu 500 nm dicken Schichten und einen problemlosen Lift-off. Die unternommenen Anstrengungen haben dabei zu den bisher Besten und Detailsreichsten Messungen von Hall-Plateaus und Shubnikov-De Haas Oszillationen in (Cd,Hg)Te/ HgTe Mikrostrukturen geführt. Messungen mit einem klaren QSH Signal im Längswiderstand von mehreren Mikro-Hall-Bars wurden präsentiert. Nach jahrelangen Bemühungen weisen diese Proben erstmalig wieder einen Bandlücken-Widerstand nahe der erwarteten Quantisierung von zwei Randkanälen auf. Es wurde aufgezeigt, dass die vermeintliche geschützten Randzustände durchaus rück-streuen. Mit der Implementierung von Streuern im Landauer-Büttiker Formalismus für Randkanaltransport lassen sich Abweichungen unter- und oberhalb der erwarteten 12.9 kΩ begründen. Als mögliche Ursachen wurden Dichte-Inhomogenitäten ausgemacht, welche in Kondo-, Wechselwirkungs- und Rashba-Rückstreuprozessen resultieren. Im komplexen Zusammenspiel von Wechselwirkung, Tunnelprozessen und Spin-Dephasierung, der unbekannten Verteilung von Inhomogenitäten, ihrer Größe und Dichte sowie der Feldabhängig-keit aller Parameter, hat sich keiner der diskutierten Mechanismen als dominant bewiesen. In noch nie dagewesenen Details erwies sich die Gate- und Magnetfeldabhängigkeit des QSH Signals als ein Fingerabdruck der hintergründigen Potential-Landschaft. Die Signale von zwei unterschiedlichen Proben sind Temperatur- und Magnetfeldabhängig untersucht worden. Dabei haben mehrere Argumente zu der Schlussfolgerung geführt, dass unterschiedliche Rückstreumechanismen in den Proben dominieren: Mit einem flachen QSH Plateau in der einen (QC0285), und in Gate-Spannung oszillierender Merkmale auf dem QSH Signal der anderen Probe (Q2745), zeigen sich erste Unterschiede bereits in den Gate-Messungen. In Temperatur-abhängigen Messungen erweist sich deren QSH Signal zwar als stabil bis 11\,K, folgt dann aber ΔR = Tα mit α = 1/4 in QC0285 und α = 2 in Q2745. Im Magnetfeld bleibt die Bandlücke in QC0285 bis zum kritischen Feld der Invertierungsaufhebung Randkanal-Transport dominiert. Die Oszillierenden Merkmale auf dem QSH Signal in Q2745 dagegen, reagieren schon auf kleine Felder mit einer Erhöhung im Widerstand. Die unvergleichliche Qualität der hier präsentierten Hall-Messungen und QSH Signale und das bis ins letzte Detail optimierte Herstellungsverfahren, rechtfertigen es von einer neuen Generation an QSH Mikrostrukturen zu sprechen.

In this work we examine within the self-consistent Thomas-Fermi-Poisson approach the low-temperature screening properties of a two-dimensional electron gas (2DEG) subjected to strong perpendicular magnetic fields. In chapter 3, numerical results for the unconfined 2DEG are compared with those for a simplified Hall-bar geometry realized by two different confinement models. It is shown that in the strongly nonlinear-screening limit of zero temperature the total variation of the screened potential is related by simple analytical expressions to the amplitude of an applied harmonic modulation potential and to the strength of the magnetic field. In chapter 4 we study the current and charge distribution in a two-dimensional electron system, under the conditions of the integer quantized Hall effect, on the basis of a quasilocal transport model, that includes nonlinear screening effects on the conductivity via the self-consistently calculated density profile. The existence of "incompressible strips" with integer Landau level filling factor is investigated within a Hartree-type approximation, and nonlocal effects on the conductivity along those strips are simulated by a suitable averaging procedure. This allows us to calculate the Hall and the longitudinal resistance as continuous functions of the magnetic field B, with plateaus of finite widths and the well-known, exactly quantized values. We emphasize the close relation between these plateaus and the existence of incompressible strips, and we show that for B values within these plateaus the potential variation across the Hall bar is very different from that for B values between adjacent plateaus, in agreement with recent experiments. We have improved on the previous chapter by a critical investigation of the impurity potential profiles and obtained reasonable estimates of the range and the amplitude of the potential fluctuations. We added a harmonic perturbation potential to the confining potential in order to generate the long-range-part of the overall impurity potential in the translation invariant model. This treatment of the long-range fluctuations allowed us to resolve apparent discrepancies such as the dependence of the QH plateau width on the mobility and to understand the crossing values of the high and low temperature Hall resistances. An interesting outcome of this model is that, it predicts different crossing values depending on the sample width and mobility. In chapter 6 we brie y report on theoretical and experimental investigations of a novel hysteresis effect that has been observed on the magneto-resistance (MR) of quantum-Hall (QH) bilayer systems in magnetic field (B) intervals, in which one layer is in a QH-plateau while the other is near an edge of a QH-plateau. We extend a recent approach to the QH effect, based on the Thomas-Fermi-Poisson theory and a local conductivity model to the bilayer system. This approach yields very different density and potential landscapes for the B-values at different edges of a QH plateau. Combining this with the knowledge about extremely long relaxation times to the thermodynamic equilibrium within the plateau regime, we simulate the hysteresis in the "active" current-carrying layer by freezing-in the electron density in the other, "passive", layer at the profile corresponding to the low-B edge of its QH plateau as B is swept up, and to the profile at the high-B edge as B is swept down. The calculated MR hysteresis is in good qualitative agreement with the experiment. If we use the equilibrium density profile, we obtain excellent agreement with an "equilibrium" measurement, in which the system was heated up to ~ 10K and cooled down again at each sweep step. / Diese Arbeit wurde durch Experimente zur Potential- und Stromverteilung in Quanten-Hall- Systemen motiviert, die in den letzten Jahren in der Abteilung von Klitzing am MPI für Festkörperforschung durchgeführt wurden und ergaben, dass elektrostatische Abschirmungseffekte in zweidimensionalen Elektronensystemen (2DES), die den ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt (QHE) zeigen, sehr wichtig für das Verständnis der Stromverteilung innerhalb der Probe und der extremen Genauigkeit der gemessenen quantisierten Werte des Hall-Widerstands sind. Daraus ergab sich für die hier vorgelegte Arbeit das folgende Programm. Zunächst wird, nach einem einleitenden Kapitel, in Kapitel 2 der Formalismus vorgestellt, mit dem in den späteren Kapiteln Elektronendichten und elektrostatische Potentiale, die z.B. das 2DES auf eine Probe mit Streifengeometrie eingrenzen, selbstkonsistent berechnet werden. Diese Selbstkonsistenz besteht aus zwei Teilen. Erstens wird, bei vorgegebenem Potential, die Elektronendichte berechnet. Zweitens wird aus vorgegebener Ladungsverteilung, bestehend aus (positiven) Hintergrundladungen und der (im ersten Schritt berechneten) Elektronenladungsdichte, und geeigneten Randbedingungen (konstantes Potential auf metallischen Gates) durch Lösen der Poisson-Gleichung das elektrostatische Potential berechnet. Wenn wir im ersten Schritt, unter Berücksichtigung der Fermi-Dirac-Statistik, die Elektronendichte quantenmechanisch aus den Energieeigenfunktionen und -werten berechnen, erhalten wir die Hartree-Näherung, die die Dichte als nichtlokales Funktional des Potentials liefert. Wenn man die Ausdehnung der Wellenfunktionen auf der Längenskala, auf der sich das Potential typischerweise ändert, vernachlässigen kann, so vereinfacht sich die Hartree-Näherung zur Thomas- Fermi-Näherung, die einen lokalen Zusammenhang zwischen Elektronendichte und Potential beschreibt. Die meisten der konkreten Rechnungen wurden im Rahmen dieser selbstkonsistenten Thomas-Fermi-Poisson-Näherung durchgeführt. Im Kapitel 3 wird allgemein das Abschirmverhalten eines 2DES im hohen Magnetfeld untersucht. Wir betrachten die Antwort auf eine harmonische Potentialmodulation im unbegrenzten 2DES und in streifenförmig begrenzten Systemen mit zwei unterschiedlichen Arten von Randbedingungen. Bei tiefen Temperaturen und hohen Magnetfeldern finden wir extrem nichtlineare Abschirmung. Im unbegrenzten 2DES charakterisieren wir die Abschirmung, indem wir die gesamte Variation des selbstkonsistent berechneten Potentials als Funktion der Amplitude des aufgeprägten cosinus-Potentials berechnen. Bei festem Magnetfeld ergeben sich so Stufenfunktionen, deren Gestalt stark vom Füllfaktor der Landau-Niveaus im homogenen Zustand ohne aufgeprägtes Potential abhängt (siehe Abbildungen 3.2- 3.6). Vielleicht noch unerwartetere Kurven ergeben sich, wenn man bei festem Modulationspotential die Varianz des selbstkonsistenten Potentials gegen das Magnetfeld B aufträgt (Abb. 3.9). Die Resultate lassen sich aber leicht verstehen und (bei Temperatur T = 0) in einem einfachen Schema (Abb. 3.7) zusammenfassen. Als ordnendes Prinzip stellt sich heraus, dass sich stets Zustände einstellen, in denen die Elektronendichte möglichst wenig von der bei verschwindendem Magnetfeld abweicht. Wenn die Zyklotronenergie groß gegen die thermische Energie kBT ist, erfordert das, dass in den großen Bereichen, in denen die Dichte variiert, ein Landau-Niveau unmittelbar an dem, im Gleichgewicht konstanten, elektrochemischen Potential liegen muss (En, “pinning”). Man nennt diese Bereiche kompressibel. In den kompressiblen Bereichen können Elektronen leicht umverteilt werden, d.h. die Dichte ist leicht veränderbar und in diesen Bereichen gibt es extrem effektive Abschirmung. Existieren kompressible Bereiche mit unterschiedlichen Landau-Niveaus (En) am elektrochemischen Potential, z.B. bei großer Modulation oder weil die Dichte zum Probenrand hin abnimmt, so gibt es zwischen benachbarten kompressiblen Bereichen mit unterschiedlichen Landau-Quantenzahlen n “inkompressible” Bereiche, in denen zwischen zwei Landau-Niveaus liegt. Dort sind alle Landau-Niveaus unterhalb von besetzt, die oberhalb leer. Folglich ist dort der Füllfaktor ganzzahlig und die Dichte konstant. Das Wechselspiel zwischen kompressiblen und inkompressiblen Bereichen bestimmt das Abschirmverhalten. Randeffekte erweisen sich nur in solchen Magnetfeldintervallen als wichtig für die Abschirmung im Inneren einer streifenförmigen Probe, in denen (schon ohne aufgeprägte Modulation) in der Probenmitte ein neuer inkompressibler Streifen entsteht. Im Kapitel 4 wird die Rolle der inkompressiblen Streifen in einer idealisierten, streifenförmigen Hall-Probe untersucht. Mithilfe einer lokalen Version des Ohmschen Gesetzes berechnen wir bei vorgegebenen Gesamtstrom die Stromdichte und das nun ortsabhängige elektrochemische Potential, dessen Gradient die Stromdichte treibt. Für den lokalen Leitfähigkeitstensor nehmen wir ein für homogenes 2DES berechnetes Resultat und ersetzen den Füllfaktor jeweils durch den lokalen Wert. Dadurch ergibt sich, dass bei Existenz inkompressibler Streifen der gesamte Strom auf diese Streifen eingeschränkt ist, in denen die Komponenten des spezifischen Widerstands die Werte des freien, idealen 2DES haben, also verschwindenden longitudinalen und quantisierten Hall-Widerstand. Aus Hartree-Rechnungen zeigen wir, dass es inkompressible Streifen nur in Magnetfeldintervallen endlicher Breite (um ganzzahlige Füllfaktoren) gibt und dass in der Nähe von Füllfaktor 4 es nur inkompressible Streifen mit dem lokalen Füll-faktor \nu(x) = 4 gibt, aber nicht solche mit \nu(x) = 2, in Gegensatz zu dem Ergebnis der Thomas-Fermi-Poisson-Näherung, die hier nicht gültig ist. Um diese Unzulänglichkeit der Thomas-Fermi-Poisson-Näherung und Artefakte des strikt lokalen Modells zu beheben, führen wir die Rechnungen mit einem (auf der Skala des mittleren Elektronenabstands) gemittelten Leitfähigkeitstensors aus. Damit erhalten wir, im Rahmen einer Linear-Response-Rechnung, sehr schöne Übereinstimmung mit den Potentialmessungen, die diese Dissertation motivierten, einen kausalen Zusammenhang zwischen der Existenz inkompressibler Streifen und der Existenz von Plateaus im QHE, und ein Verständnis der extremen Genauigkeit, mit der die quantisierten Widerstandswerte reproduziert werden können, unabhängig von Probenmaterial und -geometrie. Im Kapitel 5 untersuchen wir das Zufallspotential, in dem sich die Elektronen bewegen. Wir gehen davon aus, dass sich hinter einer undotierten Schicht eine Ebene mit zufällig verteilten ionisierten Donatoren befindet, deren Coulomb-Potentiale sich zu dem Zufallspotential überlagern. Wir weisen darauf hin, dass sich die langreichweitigen Fluktuationen dieses Potentials anders verhalten als die kurzreichweitigen. Die kurzreichweitigen klingen mit dem Abstand der Donatorebene von der Ebene des 2DES exponentiell ab, werden aber (bei B = 0) nur schwach durch das 2DES abgeschirmt. Diese Fluktuationen haben wir durch die endlichen Leitfähigkeiten und die Stoßverbreiterung der Landau-Niveaus berücksichtigt. Die langreichweitigen Fluktuationen, andererseits, sind nur schwach von der Entfernung der Donatorebene abhängig, werden aber stark vom 2DES abgeschirmt. Diese sollte man bei der selbstkonsistenten Abschirmungsrechnung explizit berücksichtigen. Erste Versuche in dieser Richtung zeigen, dass sie die Quanten-Hall-Plateaus verbreitern, verschieben und stabilisieren können. Sie sollten besonders bei breiten Proben wichtig werden, bei denen sie zusätzliche inkompressible Streifen im Probeninneren verursachen können. Schließlich diskutieren wir in Kapitel 6 Abschirmungseffekte in einem Doppelschichtsystem aus zwei parallelen 2DES. Interessante neue Effekte treten auf, wenn die Schichten verschiedene Dichten haben. Das Auftreten inkompressibler Streifen in der einen Schicht kann dann drastische Auswirkungen auf die andere Schicht haben. Widerstandsmessungen in Abhängigkeit vom Magnetfeld, die kürzlich an solchen Systemen durchgeführt wurden, zeigen, dass am Rande eines QH-Plateaus Hysterese auftritt, d.h. dass die für ansteigendes Magnetfeld gemessene Kurve nicht mit der für abfallendes Magnetfeld gemessenen Kurve übereinstimmt, wenn dieser Magnetfeldbereich in ein QH-Plateau der anderen Schicht fällt. Wir entwickeln ein Modell und beschreiben Modellrechnungen, die dieses Phänomen plausibel machen.

Gegenstand dieser Dissertation ist die numerische Untersuchung des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts (QHE). Im Mittelpunkt steht dabei der Übergang zwischen den charakteristischen Plateaus des Hall-Leitwertes. Die Beschreibung des Übergangs erfolgt im Rahmen des Chalker-Coddington-Netzwerkmodells, wobei zusätzlich ein Ortsraum-Renormierungsgruppenansatz (RG) angewendet wird um hohe Systemgrößen zu erreichen. Diese Vorgehensweise erlaubt eine einfache, aber statistisch sehr gute Beschreibung der starken charakteristischen Fluktuationen am Übergang im Rahmen von Verteilungsfunktionen. Die RG Resultate werden zunächst mit Ergebnissen anderer Methoden verglichen. Es werden die kritische Verteilungsfunktion des Leitwertes am QHE Übergang und deren Momente ermittelt. Aus dem Verhalten in der Nähe des Übergangs läßt sich der Wert des kritischen Exponenten der Lokalisierungslänge ableiten. Diese Ergebnisse stimmen sehr gut mit exakten numerischen Simulationen überein. Die RG Methode wird daraufhin zur Berechnung der Energieniveaustatistik (ENS) erweitert. Die kritische ENS der normierten Abstände von benachbarten Energieniveaus und der kritische Exponent werden bestimmt. Danach wird der Einfluß von makroskopischen Inhomogenitäten in Form von langreichweitiger korrelierter Unordnung auf die kritischen Eigenschaften des QHE Übergangs untersucht. Hierbei zeigt sich ein Anwachsen des Exponenten mit zunehmender Reichweite und Stärke der Unordnung. Abschließend wird die RG zur Berechnung des Hall-Widerstandes eingesetzt. Die kritische Verteilung des Hall-Widerstandes läßt auf sehr starke Fluktuationen am Übergang schließen. Abseits des Übergangs in Richtung Isolator wird divergentes Verhalten des Hall-Widerstandes gefunden. Zusammenfassend demonstrieren alle Ergebnisse die Robustheit universeller Eigenschaften am QHE Übergang.

Stuttgart, Univ., Diss., 2005.

Stuttgart, Univ., Diss., 2005.

University, Diss., 2005--Hamburg.

The last years have witnessed an exciting scientific quest for intriguing topological phenomena in time-dependent quantum systems. A key to many manifestations of topology in dynamical systems relies on the effective dimensional extension by time-periodic drives. An archetypal example is provided by the Thouless pump in one spatial dimension, where a robust and quantized charge transport can be described in terms of an integer quantum Hall effect upon interpreting time as an extra dimension. Generalizing this fundamental concept to multifrequency driving, a variety of higher-dimensional topological models can be engineered in dynamical synthetic dimensions, where the underlying topological classification leads to quantized pumping effects in the associated lower-dimensional time-dependent systems. In this Thesis, we explore how correlations profoundly impact the topological features of dynamical synthetic quantum materials. More precisely, we demonstrate that the interplay of interaction and dynamical synthetic dimension gives rise to striking topological phenomena that go beyond noninteracting implementations. As a starting point, we exploit the Floquet counterpart of an integer quantum Hall scenario, namely a two-level system driven by two incommensurate frequencies. In this model, the topologically quantized response translates into a process in which photons of different frequencies are exchanged between the external modes, referred to as topological frequency conversion. We extend this prototypical setup to an interacting version, focusing on the minimal case of two correlated spins equally exposed to the external drives. We show that the topological invariant determining the frequency conversion can be changed by odd integers, something explicitly forbidden in the noninteracting limit of two identical spins. This correlated topological feature may, in turn, result in an enhancement of the quantized response. Robust response signals, such as those predicted for the topological frequency converter, are of fundamental interest for potential technological applications of topological quantum matter. Based on an open quantum system implementation of the frequency converter, we propose a novel mechanism of topological quantization coined ''topological burning glass effect''. Remarkably, this mechanism amplifies the local response of the driven two-level system by an integer that is proportional to the number of environmental degrees of freedom to which the system is strongly coupled. Specifically, our findings are illustrated by the extension of the frequency converter to a central spin model. There, the local energy transfer mediated exclusively by the central spin is significantly enhanced by the collective motion of the surrounding spins. In this sense, the central spin adopts the topological nature of the total system in its non-unitary dynamics, taking into account the correlations with the environment. / In den letzten Jahren hat sich eine spannende Suche nach faszinierenden topologischen Phänomenen in zeitabhängigen Quantensystemen entwickelt. Ein Schlüssel zu zahlreichen Ausprägungen der Topologie in dynamischen Systemen beruht auf der effektiven Dimensionserweiterung durch zeitlich-periodische Antriebe. Ein Beispiel ist die Thouless-Pumpe in einer räumlichen Dimension, in der ein robuster und quantisierter Ladungstransport mittels eines Quanten-Hall-Effekts beschrieben werden kann, sofern Zeit als zusätzliche Dimension interpretiert wird. Durch Verallgemeinerung dieses Grundkonzepts auf Multifrequenzantriebe kann eine Vielzahl höherdimensionaler topologischer Modelle in zeitlich synthetischen Dimensionen konstruiert werden, bei denen die zugrunde liegende topologische Klassifikation zu quantisierten Pumpeffekten in den zugehörigen niederdimensionalen zeitabhängigen Systemen führt. In dieser Dissertation wird untersucht, wie Korrelationen die topologischen Eigenschaften von zeitlich synthetischen Quantenmaterialen maßgeblich beeinflussen. Konkret wird gezeigt, dass das Zusammenspiel von Wechselwirkung und zeitlicher synthetischer Dimension zu erstaunlichen topologischen Phänomenen führt, die über nicht-wechselwirkende Realisierungen hinausgehen. Als Ausgangspunkt wird das Floquet-Gegenstück eines Quanten-Hall-Szenarios genutzt, ein Zwei-Niveau-System, das von zwei inkommensurablen Frequenzen getrieben wird. In diesem Modell spiegelt sich die topologisch quantisierte Antwort in einen Prozess wider, bei dem Photonen verschiedener Frequenzen zwischen den externen Moden ausgetauscht werden, auch bekannt als topologische Frequenzumwandlung. Wir erweitern dieses prototypische Setup auf eine interagierende Version, indem wir uns auf den Minimalfall zweier korrelierter Spins konzentrieren, die gleichermaßen den externen Antrieben ausgesetzt sind. Wir zeigen, dass die topologische Invariante, die die Frequenzumwandlung bestimmt, durch ungerade ganze Zahlen verändert werden kann. Ein Zustand, der im nicht-wechselwirkenden Fall ausdrücklich verboten ist. Dieses korrelierte topologische Verhalten kann wiederum zu einer Verstärkung der quantisierten Antwort führen. Robuste Antwortsignale, wie sie für den topologischen Frequenzumwandler vorhergesagt werden, sind von grundlegendem Interesse für potentielle technologische Anwendungen der topologischen Quantenmaterie. Basierend auf einer offenen Quantensystem-Realisierung des Frequenzumwandlers schlagen wir einen neuartigen Mechanismus der topologischen Quantisierung vor, den wir als ''topologischen Brennglaseffekt'' bezeichnen. Dieser Mechanismus verstärkt die lokale Antwort des getriebenen Zwei-Niveau-Systems um eine ganze Zahl, die proportional zur Anzahl der Freiheitsgrade der Umgebung ist, an die das System koppelt. Konkret werden unsere Erkenntnisse durch die Erweiterung des Frequenzumwandlers auf ein Zentralspinmodell veranschaulicht. Der lokale Energietransfer, der ausschließlich durch den zentralen Spin vermittelt wird, wird durch die kollektive Bewegung der umgebenden Spins maßgeblich verstärkt. In diesem Sinne erbt der Zentralspin die topologische Natur des Gesamtsystems in seiner nicht-unitären Dynamik, die die Korrelationen mit der Umgebung berücksichtigt.

Within the scope of this thesis, spin related transport phenomena have been investigated in HgTe/HgCdTe quantum well structures. This material exhibits peculiar band structure properties, which result in a strong spin-orbit interaction of the Rashba type. An inverted band structure, i.e., a reversed ordering of the energy states in comparison to common semiconductors, is obtained for quantum well layers above a critical thickness. Furthermore, the band structure properties can be controlled in the experiments by moderate gate voltages. Most prominently, the type of carriers in HgTe quantum wells can be changed from n to p due to the narrow energy gap. Along with the inverted band structure, this unique transition is the basis for the demonstration of the Quantum Spin Hall state, which is characterized by the existence of two one-dimensional spin-polarized edge states propagating in opposite directions, while the Fermi level in the bulk is in the energy gap. Since elastic scattering is suppressed by time reversal symmetry, a quantized conductance for charge and spin transport is predicted. Our experiments provide the first experimental demonstration of the QSH state. For samples with characteristic dimensions below the inelastic mean free path, charge conductance close to the expected value of 2e^2/h has been observed. Strong indication for the edge state transport was found in the experiments as well. For large samples, potential fluctuations lead to the appearance of local n-conducting regions which are considered to be the dominant source of backscattering. When time reversal symmetry is broken in a magnetic field, elastic scattering becomes possible and conductance is significantly suppressed. The suppression relies on a dominant orbital effect in a perpendicular field and a smaller Zeeman-like effect present for any field direction. For large perpendicular fields, a re-entrant quantum Hall state appears. This unique property is directly related to the non-trivial QSH insulator state. While clear evidence for the properties of charge transport was provided, the spin properties could not be addressed. This might be the goal of future experiments. In another set of experiments, the intrinsic spin Hall effect was studied. Its investigation was motivated by the possibility to create and to detect pure spin currents and spin accumulation. A non-local charging attributed to the SHE has been observed in a p-type H-shaped structure with large SO interaction, providing the first purely electrical demonstration of the SHE in a semiconductor system. A possibly more direct way to study the spin Hall effects opens up when the spin properties of the QSH edge states are taken into account. Then, the QSH edge states can be used either as an injector or a detector of spin polarization, depending on the actual configuration of the device. The experimental results indicate the existence of both intrinsic SHE and the inverse SHE independently of each other. If a spin-polarized current is injected from the QSH states into a region with Rashba SO interaction, the precession of the spin can been observed via the SHE. Both the spin injection and precession might be used for the realization of a spin-FET similar to the one proposed by Datta and Das. Another approach for the realization of a spin-based FET relies on a spin-interference device, in which the transmission is controlled via the Aharonov-Casher phase and the Berry phase, both due to the SO interaction. In the presented experiments, ring structures with tuneable SO coupling were studied. A complex interference pattern is observed as a function of external magnetic field and gate voltage. The dependence on the Rashba splitting is attributed to the Aharonov-Casher phase, whereas effects due to the Berry phase remain unresolved. This interpretation is confirmed by theoretical calculations, where multi-channel transport through the device has been assumed in agreement with the experimental results. Thus, our experiments provide the first direct observation of the AC effect in semiconductor structures. In conclusion, HgTe quantum well structures have proven to be an excellent template for studying spin-related transport phenomena: The QSHE relies on the peculiar band structure of the material and the existence of both the SHE and the AC effect is a consequence of the substantial spin-orbit interaction. While convincing results have been obtained for the various effects, several questions can not be fully answered yet. Some of them may be addressed by more extensive studies on devices already available. Other issues, however, ask, e.g., for further advances in sample fabrication or new approaches by different measurements techniques. Thus, future experiments may provide new, compelling insights for both the effects discussed in this thesis and, more generally, other spin-orbit related transport properties. / Im Rahmen dieser Arbeit wurden spin-bezogene Transportphänomene in HgTe/HgCdTe-Quantentrogstrukturen untersucht. Dieses Materialsystem weist besondere Bandstruktureigenschaften auf, die u.a. zu einer starken Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung führen. Eine invertierte Bandstruktur, d.h. eine umgekehrte Anordnung der energetischen Zustände im Vergleich zu üblichen Halbleitern, ergibt sich für Quantentrogschichten oberhalb einer kritischen Dicke. Darüber hinaus können die Bandstruktur-Eigenschaften im Experiment mittels moderater Gatespannungen kontrolliert werden. Hervorzuheben ist, dass die Art der Ladungsträger im HgTe-Quantentrog aufgrund der geringen Bandlücke von n- nach p-Typ geändert werden kann. Dieser einzigartige Übergang bildet zusammen mit der invertierten Bandstruktur die Grundlage für den Nachweis der Quanten-Spin-Hall-Zustands, bei dem sich zwei eindimensionale spinpolarisierte Randkanäle in entgegen gesetzte Richtung ausbreiten, während die Fermi-Energie im Probeninneren in der Bandlücke liegt. Da elastische Streuprozesse aufgrund der Zeitumkehr-Invarianz verboten sind, ist der Leitwert für Ladungs- und Spintransport quantisiert. Unsere Messungen liefern den ersten experimentellen Nachweis des QSH-Zustands. Für Proben mit charakteristischen Abmessungen unterhalb der inelastischen freien Weglänge wurde ein Leitwert nahe des theoretisch erwarteten Wertes von 2e^2/h beobachtet. Die Experimente lieferten außerdem deutliche Anzeichen für den Randkanaltransport. In größeren Proben verursachen Potenzialfluktuationen lokale n-leitende Bereiche, die als Hauptursache für Rückstreuung angesehen werden können. Wird die Zeitumkehr-Invarianz im Magnetfeld gebrochen, können elastische Streuprozesse auftreten und der Leitwert sinkt deutlich. Die Ursache dafür sind ein dominanter orbitaler Effekt für senkrechte Felder sowie ein schwächerer Zeeman-ähnlicher Effekt für beliebige Feldrichtungen. Bei starken senkrechten Feldern kommt es zu einem Wieder-Eintritt in den Quanten-Hall-Zustands, was direkt mit dem nicht-trivialen isolierenden Zustand des QSH-Effekts verknüpft ist. Während die Messungen einige Eigenschaften des Ladungstransports deutlich belegen, können die Spineigenschaften nicht untersucht werden. Dies kann jedoch ein Ziel zukünftiger Messungen sein. Außerdem wurde der intrinsische Spin-Hall-Effekt untersucht, um die Erzeugung von Spinungleichgewichten und reinen Spinströmen nachzuweisen. Eine nicht-lokale Spannung, die auf den SHE zurückzuführen ist, wurde in einer p-leitenden H-förmigen Struktur beobachtet und liefert somit den ersten rein elektrischen Nachweis des SHE in einem Halbleiter-System. Ein direkterer Weg zur Untersuchung von Spin-Hall-Effekten ergibt sich, wenn die Spinpolarisation der QSH-Randkanäle berücksichtigt wird. Dabei können die QSH-Kanäle - abhängig von der Probenkonfiguration - eine Spinpolarisation wahlweise injizieren oder detektieren. Die experimentellen Ergebnisse weisen unabhängig voneinander den intrinsischen SHE und den inversen SHE nach. Wenn durch die QSH-Kanäle ein spin-polarisierter Strom in ein Gebiet mit Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung injiziert wird, kann die resultierende Spinpräzession mittels des SHE beobachtet werden. Sowohl die Spininjektion als auch die Präzession können zur Umsetzung eines Spin-FETs verwendet werden, wie er von Datta und Das vorgeschlagen wurde. Eine andere Herangehensweise zur Realisierung eines spin-basierten FETs beruht auf einem Spin-Interferenz-Bauteil, in dem die Transmission über Spin-Bahn-abhängige Phasen - die Aharonov-Casher-Phase und die Berry-Phase - gesteuert wird. Bei der Untersuchung von Ringstrukturen mit variabler Spin-Bahn-Wechselwirkung zeigt sich bei einer Variation des Magnetfeld und der Gate-Spannung ein komplexes Interferenzmuster. Die Abhängigkeit von der Rashba-Aufspaltung wird der Aharonov-Casher-Phase zugeschrieben, wohingegen Effekte aufgrund der Berry-Phase nicht nachgewiesen werden können. Diese Interpretation wird durch theoretische Berechnungen bestätigt, in denen Mehr-Kanal-Transport durch den Ring angenommen wurde. Somit liefern unsere Experimente den ersten direkten Nachweis des AC-Effektes in Halbleiterstrukturen. Insgesamt stellen die HgTe-Quantentröge ein als exzellentes System zur Untersuchung von spin-bezogenen Transportphänomenen dar: Der QSHE beruht auf der besonderen Bandstruktur; und sowohl der SHE als auch der AC-Effekt treten aufgrund der deutlichen Spin-Bahn-Wechselwirkung auf. Für alle Effekte wurden überzeugende Ergebnisse erzielt; allerdings konnten einige Fragen noch nicht vollständig beantwortet werden. Einige können möglicherweise mittels umfangreicherer Untersuchungen geklärt werden. Andere jedoch verlangen z.B. nach Fortschritten in der Probenherstellung oder anderen Untersuchungsmethoden. Daher können zukünftige Experimente weitere neue faszinierende Einblicke sowohl in die hier diskutierten Effekte als auch in andere Spin-Bahn-bezogene Transportphänomene bieten.

Gegenstand dieser Dissertation ist die numerische Untersuchung des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts (QHE). Im Mittelpunkt steht dabei der Übergang zwischen den charakteristischen Plateaus des Hall-Leitwertes. Die Beschreibung des Übergangs erfolgt im Rahmen des Chalker-Coddington-Netzwerkmodells, wobei zusätzlich ein Ortsraum-Renormierungsgruppenansatz (RG) angewendet wird um hohe Systemgrößen zu erreichen. Diese Vorgehensweise erlaubt eine einfache, aber statistisch sehr gute Beschreibung der starken charakteristischen Fluktuationen am Übergang im Rahmen von Verteilungsfunktionen. Die RG Resultate werden zunächst mit Ergebnissen anderer Methoden verglichen. Es werden die kritische Verteilungsfunktion des Leitwertes am QHE Übergang und deren Momente ermittelt. Aus dem Verhalten in der Nähe des Übergangs läßt sich der Wert des kritischen Exponenten der Lokalisierungslänge ableiten. Diese Ergebnisse stimmen sehr gut mit exakten numerischen Simulationen überein. Die RG Methode wird daraufhin zur Berechnung der Energieniveaustatistik (ENS) erweitert. Die kritische ENS der normierten Abstände von benachbarten Energieniveaus und der kritische Exponent werden bestimmt. Danach wird der Einfluß von makroskopischen Inhomogenitäten in Form von langreichweitiger korrelierter Unordnung auf die kritischen Eigenschaften des QHE Übergangs untersucht. Hierbei zeigt sich ein Anwachsen des Exponenten mit zunehmender Reichweite und Stärke der Unordnung. Abschließend wird die RG zur Berechnung des Hall-Widerstandes eingesetzt. Die kritische Verteilung des Hall-Widerstandes läßt auf sehr starke Fluktuationen am Übergang schließen. Abseits des Übergangs in Richtung Isolator wird divergentes Verhalten des Hall-Widerstandes gefunden. Zusammenfassend demonstrieren alle Ergebnisse die Robustheit universeller Eigenschaften am QHE Übergang.

Strong quantum correlations between many particles in low dimensions lead to emergence of interesting phases of matter. These phases are often studied through the properties of the many-body eigenstates of an interacting quantum many-body system. The folklore example of topological order in the ground states is the fractional quantum Hall (FQH) effect. With the current developments in the field of ultracold atoms in optical lattices, realizing FQH physics on a lattice and being able to create and braid anyons is much awaited from the view point of fault tolerant quantum computing. This thesis contributes to the field of FQH effect and anyons in a lattice setting. Conformal field theory has been useful to build interesting lattice FQH models which are few-body and non-local. We provide a general scheme of truncation to arrive at tractable local models whose ground states have the desired topological properties. FQH models are known to host anyons, but, it is a hard task when it comes to braiding them on small sized lattices with edges. To get around this problem, we demonstrate that one can squeeze the anyons and braid them successfully within a smaller area by crawling them like snakes on modest sized open lattices. As a numerically cheap approach to detect topological quantum phase transitions, we again resort to anyons that are only well defined in a topological phase. We create defects and study a simple quantity such as the charge of the defect to test whether the phase supports anyons or not. On the other hand, with the advent of many-body localization (MBL) and quantum many-body scars, interesting eigenstate phases which were otherwise only known to occur in ground states have been identified even at finite energy densities in the many-body spectra of generic systems. This thesis also contributes to the field of non-equilibrium physics by portraying models that display interesting non-ergodic phases and also quantum many-body scars. For instance, we show that an emergent symmetry in a disordered model can be used as a tool to escape MBL in a single eigenstate while not preventing the rest of the states from localizing. This can lead to an interesting situation of weakly broken MBL phase where a non-MBL state lives in the spectrum of MBL like states. We also demonstrate the emergence of a non-ergodic, but also a non-mbl phase in a non-local model with SU(2) symmetry. We provide two constructions of rather different models with quantum many-body scars with chiral and non-chiral topological order.