Essen, Universiẗat, Diss., 2000.

Mainz, Universiẗat, Diss., 2003.

Potsdam, University, Diss., 2002.

Zsfassung in dt. Sprache. - Würzburg, Univ., Diss., 2008

Universiẗat, Diss., 2003--Mainz.

This thesis is concerned with the description of macroscopic geometries through Loop Quantum Gravity, and there particularly with the description of cosmology within full Loop Quantum Gravity. For this purpose we depart from two distinct (classically virtually equivalent) ansätze: One is phase space reduction and the other is the restriction to particular states. It turns out that the quantum analogue of these two approaches are fundamentally different: The quantum analogue of phase space reduction needs the reformulation in terms of the observable Poisson algebra, so it can be applied to the noncommutative quantum phase space: It rests on the observation that the observable Poisson algebra of classical canonical cosmology is induced by the embedding of the reduced cosmological phase space into the phase space of full General Relativity. Using techniques related to Rieffel-induction, we develop a construction for a noncommutative embedding that has a classical limit that is described by a Poisson embedding. To be able to use this class of noncommutative embeddings for Loop Quantum Gravity, one needs a complete group of diffeomorphisms for the quantum theory, which is constructed. These two results are applied to construct a quantum embedding of a cosmological sector into full Loop Quantum Gravity. The embedded cosmological sector turns out to be discrete, like standard Loop Quantum Cosmology and can be interpreted as a super-selection sector thereof; however due to pathologies of the dynamics of full Loop Quantum Gravity, one can not induce a meaningful dynamics for this cosmological sector. The quantum analogue of restricting the space of states is achieved by explicitly constructing states for Loop Quantum Gravity with smooth geometry. These states do not exist within the Hilbert space of Loop Quantum Gravity, but as states on the observable algebra of Loop Quantum Gravity. This observable algebra is built from spin network functions, area operators and a restricted set of fluxes. For this algebra to be physically complete, we needed to construct a version of Loop Quantum Geometry based on a fundamental area operator. This version of Loop Quantum Geometry is constructed. Since the smooth geometry states are not in the Hilbert space of standard Loop Quantum Gravity, we needed to calculate the Hilbert space representation that contains them using the GNS construction. This representation of the observable algebra can be illustrated as a classical condensate of geometry with quantum fluctuations thereon. Using these representations we construct a quantum-minisuperspace, which allows for an interpretation of standard Loop Quantum Cosmology in terms of these states and led us to conjecture a new approach for the implementation of dynamics for Loop Quantum Gravity. / Die vorliegende Arbeit ist mit der Beschreibung makroskopischer Geometrien durch Schleifengravitation befasst und zwar insbesondere mit der Beschreibung von Kosmologie innerhalb der vollen Schleifengravitation. Für dieses Ziel verwenden wir zwei unterscheidliche (jedoch auf klassischem Level scheinbar äquivalente) Ansätze: Einerseits betrachten wir die Reduktion des Phasenraumes und andererseits die Beschränkung auf bestimmte Zustände. Es stellt sich jedoch heraus, dass sich die Quantenanaloga dieser beiden Zugänge fundamental unterscheiden: Das Quantenanalogon der Phasenraumreduktion muss als Aussage über die Observablen-Poissonalgebra umformuliert werden bevor sie auf den nichtkommutativen Phasenraum von Quantentheorien angewendet werden kann: Die zugrundeliegende Beobachtung ist, dass die Observablen-Poissonalgebra von klassischer kanonischer Kosmologie durch die Einbettung des kosmologischen Phasenraumes in den Phasenraum der Allgemeinen Relativitätstheorie induziert wird. Damit können wir eine Technik, die von der Rieffelinduktion abgeschaut ist, anwenden um die Konstruktion einer nichtkommutativen Einbettung zu entwickeln, welche sich im klassischen Limes zu einer Poissoneinbettung reduziert. Um diese Konstruktion der Einbettung auf die Schleifenquantengravitation anwenden zu können benötigt man eine vollständige Diffeomorphismengruppe für die Quantentheorie, welche erarbeitet wird. Diese beiden Ergebnisse werden angewendet um die Quanteneinbettung eines kosmologischen Sektors in die volle Schleifengravitation zu konstruieren. Dieser ist, wie die standard Schleifenkosmologie diskret und kann als Auswahlsektor derselben interpretiert werden; aufgrund von Pathologien in der Dynamik der vollen Schleifengravitation lässt sich aus dieser jedoch keine sinnvolle Dynamik für den kosmologischen Sektor induzieren. Das Quantenanalogon der Beschränkung des Raumes der Zustände basiert auf der expliziten Konstruktion von Zuständen, die eine glatte räumliche Geometrie beschreiben. Diese Zustände existieren zwar nicht im Hilbertraum der Schleifenquantengravitation, aber als Zustände auf der Observablenalgebra der Schleifenquantengravitation. Diese Observablenalgebra wird aus den Spinnetzwerken, den Flächenoperatoren und einer eingeschränkten Menge der Flüsse konstruiert. Um zu zeigen, dass diese Observablenalgebra physikalisch vollständig ist benötigen wir eine Schleifenquantengeometrie, die auf einem fundamentalen Flächenoperator aufbaut. Diese Schleifenquantengeometrie wird konstruiert. Nachdem die Zustände mit glatter Geometrie nicht im Hilbertraum der standard Schliefengravitation liegen, müssen wir aus diesen Zuständen Hilbertraumdarstellungen der Observablenalgebra durch die GNS-Konstruktion erschaffen. Diese Darstellung kann mit dem Bild eines klassichen Kondensats von Geometrie, um welches Quantenfluktuationen existieren, illustriert werden. Ausgehend von diesen Darstellungen konstruieren wir einen Quanten-Minisuperraum, welcher eine Interpretation der standard Schleifenkosmologie durch diese Zustände erlaubt. Dieser Zugang gab uns ausserdem den Hinweis auf eine mögliche Konstruktion einer Dynamik für die volle Schleifenquantengravitation.

Motiviert durch neuere Vorschläge zur experimentellen Untersuchung von Quantengravitationseffekten werden in der vorliegenden Arbeit Annahmen und Methoden untersucht, die für die Vorhersagen solcher Effekte im Rahmen der Loop-Quantengravitation verwendet werden können. Dazu wird als Modellsystem ein skalares Feld, gekoppelt an das Gravitationsfeld, betrachtet. <br /> Zunächst wird unter bestimmten Annahmen über die Dynamik des gekoppelten Systems eine Quantentheorie für das Skalarfeld vorgeschlagen. Unter der Annahme, dass sich das Gravitationsfeld in einem semiklassischen Zustand befindet, wird dann ein &quot;QFT auf gekrümmter Raumzeit-Limes&quot; dieser Theorie definiert. Im Gegensatz zur gewöhnlichen Quantenfeldtheorie auf gekrümmter Raumzeit beschreibt die Theorie in diesem Grenzfall jedoch ein quantisiertes Skalarfeld, das auf einem (klassisch beschriebenen) Zufallsgitter propagiert. <br /> Sodann werden Methoden vorgeschlagen, den Niederenergieliemes einer solchen Gittertheorie, vor allem hinsichtlich der resultierenden modifizierten Dispersonsrelation, zu berechnen. Diese Methoden werden anhand von einfachen Modellsystemen untersucht. <br /> Schließlich werden die entwickelten Methoden unter vereinfachenden Annahmen und der Benutzung einer speziellen Klasse von semiklassischen Zuständen angewandt, um Korrekturen zur Dispersionsrelation des skalaren und des elektromagnetischen Feldes im Rahmen der Loop-Quantengravitation zu berechnen. Diese Rechnungen haben vorläufigen Charakter, da viele Annahmen eingehen, deren Gültigkeit genauer untersucht werden muss. Zumindest zeigen sie aber Probleme und Möglichkeiten auf, im Rahmen der Loop-Quantengravitation Vorhersagen zu machen, die sich im Prinzip experimentell verifizieren lassen. / Motivated by recent proposals on the experimental detectability of quantum gravity effects, the present thesis investigates assumptions and methods which might be used for the prediction of such effects within the framework of loop quantum gravity. To this end, a scalar field coupled to gravity is considered as a model system. <br /> Starting from certain assumptions about the dynamics of the coupled gravity-matter system, a quantum theory for the scalar field is proposed. Then, assuming that the gravitational field is in a semiclassical state, a &quot;QFT on curved space-time limit&quot; of this theory is defined. In contrast to ordinary quantum field theory on curved space-time however, in this limit the theory describes a quantum scalar field propagating on a (classical) random lattice. <br /> Then, methods to obtain the low energy limit of such a lattice theory, especially regarding the resulting modified dispersion relations, are discussed and applied to simple model systems. <br /> Finally, under certain simplifying assumptions, using the methods developed before as well as a specific class of semiclassical states, corrections to the dispersion relations for the scalar and the electromagnetic field are computed within the framework of loop quantum gravity. These calculations are of preliminary character, as many assumptions enter whose validity remains to be studied more thoroughly. However they exemplify the problems and possibilities of making predictions based on loop quantum gravity that are in principle testable by experiment.

Die Theorie der Makroquantenphysik lässt sich aus der Newtonschen Mechanik unter Nutzung der Keplerschen Gesetze und des Hamiltonformalismus herleiten und führt zu einem der Quantenphysik nach Schroedinger analogen Gleichungssystem, in dem allerdings die Rolle des reduzierten Wirkungsquantums der klassische Bahndrehimpulswert übernimmt. Da dieser keine Konstante in der Physik ist, sind die mathematischen Lösungen der Quantentheorie i. A. nicht verwendbar. Analysen und Ergebnisse der Makroquantentheorie in Bezug auf z.B. die Struktur der Planetenbahnen im Sonnensystem zeigen, dass ebene (räumliche) Wellen zur Lösung führen und erzwingen die Annahme, im Hamiltonoperator darf das Gravitationspotential nicht auftauchen, sondern muss sich in den Raum und Zeit bestimmenden Größen wiederfinden. Dies ist eine Forderung, die auch von der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) erhoben wird. Die Ergebnisse zeigen des weiteren die völlige Äquivalenz der makroquantenmechanischen Interpretation zu quantenmechanischen Deutungen. Im Besonderen lassen die Ergebnisse die Struktur des Sonnensystems klar erkennen, die durch zwei charakteristische Wellenlängen für den radialen Teil der Lösungen (Quadrate von Cosinus- und Sinuswellen mit Wellenlängen von 1/6 und Pi² AE) beschrieben wird. Demnach gehört Pluto zur Cosinus²welle Saturn-Uranus-Neptun-Pluto und hat den 3. kleinen Planeten gleicher Wellenlänge der Sinus²welle Jupiter-Uranuskreuzer?-Charon, eingefangen. Alle inneren Planeten werden von der Cosinus²welle mit der Wellenlänge 1/6 AE beschrieben, zeigen aber deutlich eine einheitliche Störungsgröße, die mit dem Mondeinfang (ursprünglich 3. Planet dieser Welle) durch die Erde erklärbar ist. Die abnorme Achslage des Uranus kann mit einem Zusammenstoß des „Uranuskreuzer“ genannten ursprünglichen 2. Planeten der Sinus²welle erklärt werden. Die völlige Äquivalenz der Makroquantentheorie zur Quantentheorie nach Schroedinger führt über das Korrespondenzprinzip zu einem mathematisch exakten Zusammenhang zwischen Bahndrehimpulswert und reduziertem Wirkungsquantum, womit sich ein Zugang zur Quantengravitation finden lässt. Demnach ist der Drehimpuls eine gequantelte Größe und sein kleinster Wert entspricht dem reduzierten Wirkungsquantum (entspricht auch dem Wert aus Plancklänge mal Planckimpuls), während er sich selbst nur um das doppelte dieses Wertes ändern kann, was dem Spinwert des durch die ART postulierten Gravitons entspricht... Die Einführung des Zusammenhangs Drehimpuls-Wirkunsquantum zeigt speziell bei der Raum-Zeitmetrik nach Schwarzschild, welche Bedeutung dort den Planckeinheiten von Masse, Länge und Impuls zukommt. Die kleinstmöglichen Massen, die gravitativ einander umlaufen können, entsprechen etwa 85% der Planckmasse und zeigen, dass Gravitation bei Elementarteilchen keine Rolle spielen kann. Der kleinstmögliche Radius entspricht dabei 2 Plancklängen. Ebenso ergibt sich, dass beliebig große Massen keine Singularitäten bilden können, also auch Schwarze Löcher einen endlichen Minimalradius haben, der mit zunehmender Masse kleiner wird, während der Schwarzschildradius zunimmt. Eine Masse von (1/2)1/4 Planckmassen führt zu gleichen Radien (s.o). Die Erweiterung der Makroquantentheorie auf Bewegungen nahe der Lichtgeschwindigkeit deutet auf eine „negative“ Energie hin, die wohl der Dunklen Energie entspricht, normale Materie (positive Energie) abstößt, sich selbst aber anzieht und bei gleicher Menge vereint von beiden Formen einzeln nicht mehr wahrgenommen werden kann. Die dafür notwendige Kraft ist möglicherweise eine Grenzkraft (theoretisch größte Elementarkraft), die bei der vorgestellten Ableitung der Feinstrukturkonstanten, diese als Verhältnis der Coulombkraft zweier Elementarladungen zu dieser Elementarkraftgrenze definiert und das Periodensystem der chemischen Elemente auf 136 begrenzt. Die Anerkennung einer „negativen“ Energie lässt es zu, den Energieerhaltungssatz als universell geltendes physikalisches Gesetz anzusehen und erfordert dann eine etwas andere Interpretation des Urknalls, da normale Energie (baryonische und dunkle) sowie „negative“ in ungleicher Menge zu existieren scheinen.:INHALTSVERZEICHNIS TEIL I Einleitung TEIL II Herleitung der Theorie, mathematische Betrachtungen und Ergeb¬nisse zu Apsidendaten von Him¬melskörpern 0. Vorbetrachtungen und Herleitung der Gleichungen der Makroquantenheorie 1. Mathematische Betrachtung und Ableitung der Lösungsfunktionen und deren Diskussion für die Planeten des Sonnensystems 2. Ergebnisse bei astronomischen Objekten 2.1 Sonnensystem 2.1.1 Die äußeren Planeten 2.1.1.1 Wellendarstellung 2.1.1.2 Schlussfolgerungen 2.1.2 Die inneren Planeten ohne Asteroiden und ohne Jupiter 2.1.2.1 Wellendarstellung 2.1.2.2 Schlussfolgerungen 2.1.3 Die inneren Planeten mit Asteroiden, ohne Jupiter 2.1.3.1 Verteilungsansicht der Asteroiden (nach Wikipedia) 2.1.3.2 Schlussfolgerungen 2.1.4 Die inneren Planeten mit Jupiter und Asteroiden 2.1.4.1 Wellendarstellung 2.1.4.2 Schlussfolgerungen 2.1.5 Zusammenfassende Überlegungen 2.2 Monde der Planeten 2.2.1 Untersuchungsmethode 2.2.2 Tabellen ermittelter Daten (Wellenlängen, Apsiden, Exzentrizitäten) von Satelliten 2.2.2.1 Planeten der Sonne 2.2.2.2 Monde des Jupiter 2.2.2.3 Monde des Saturn 2.2.2.4 Monde des Uranus 2.2.2.5 Monde des Neptun 2.2.2.6 Monde des Pluto 2.2.2.7 Monde des Mars 2.2.2.8 Erdmond 2.2.2.9 innere Planeten von Trappist_1a 2.2.2.10 Zusammenfassende Ergebnisse 2.2.3 Untersuchung der Verhältnisse von Wellen¬längen (aus 2.2.2.2) auf Übereinstimmung mit Formel (15) aus Kap. 1. 2.2.3.1 Tabelle der Wellen von Monden des Jupiter 2.2.3.2 Vollständiger Wellenlängenvergleich für Jupitermonde 2.2.3.3 Schlussfolgerungen 2.3 Zusammenhänge: Empirisch ermittelte Beziehungen zwischen mittleren Wellenlängen und der zugehörigen Zentralmasse und von inneren Ringanfängen (rA) zur Zentralmasse 2.3.1 |Mittlere Wellenlänge(mWl) / km| = f(|Zentralmasse(M)/kg|) 2.3.2 |Anfang eines Ringsystems(rA)/km| = f(|Zentralmasse(M)/kg|) TEIL III Weitere mathematische Ableitungen physikalischer Zusammenhänge 1. Relativistische Erweiterung von Teil II-1. Gleichung (1) und Folgerung daraus 1.1 Erweiterung der Gleichung nach Dirac 1.2 Konsequenz negativer Energie 2. Die Feinstrukturkonstante 2.1 Ableitung der Feinstrukturkonstanten 2.2 Zusammenhang zu Planckeinheiten 2.3 Begrenzung des Periodensystems chemischer Elemente 3. Zur Nichtsingularität bei extrem hohen Massekonzentrationen 4. Ein Weg zur Quantengravitation 4.1 Die Schwarzschildmetrik in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) 4.2 Der Ansatz zur Quantengravitation über die Schwarzschildmetrik 4.2.1 Eliminieren des Radius 4.2.2 Eliminieren von „GM“ TEIL IV Zusammenfassende Betrachtung der Makroquantentheorie

Despite remarkable progress made in the past century, which has revolutionized our understanding of the universe, there are numerous open questions left in theoretical physics. Particularly important is the fact that the theories describing the fundamental interactions of nature are incompatible. Einstein's theory of general relative describes gravity as a dynamical spacetime, which is curved by matter and whose curvature determines the motion of matter. On the other hand we have quantum field theory, in form of the standard model of particle physics, where particles interact via the remaining interactions - electromagnetic, weak and strong interaction - on a flat, static spacetime without gravity. A theory of quantum gravity is hoped to cure this incompatibility by heuristically replacing classical spacetime by quantum spacetime'. Several approaches exist attempting to define such a theory with differing underlying premises and ideas, where it is not clear which is to be preferred. Yet a minimal requirement is the compatibility with the classical theory, they attempt to generalize. Interestingly many of these models rely on discrete structures in their definition or postulate discreteness of spacetime to be fundamental. Besides the direct advantages discretisations provide, e.g. permitting numerical simulations, they come with serious caveats requiring thorough investigation: In general discretisations break fundamental diffeomorphism symmetry of gravity and are generically not unique. Both complicates establishing the connection to the classical continuum theory. The main focus of this thesis lies in the investigation of this relation for spin foam models. This is done on different levels of the discretisation / triangulation, ranging from few simplices up to the continuum limit. In the regime of very few simplices we confirm and deepen the connection of spin foam models to discrete gravity. Moreover, we discuss dynamical, e.g. diffeomorphism invariance in the discrete, to fix the ambiguities of the models. In order to satisfy these conditions, the discrete models have to be improved in a renormalisation procedure, which also allows us to study their continuum dynamics. Applied to simplified spin foam models, we uncover a rich, non--trivial fixed point structure, which we summarize in a phase diagram. Inspired by these methods, we propose a method to consistently construct the continuum theory, which comes with a unique vacuum state. / Trotz bemerkenswerter Fortschritte im vergangenen Jahrhundert, die unser Verständnis des Universums revolutioniert haben, gibt es noch zahlreiche ungeklärte Fragen in der theoretischen Physik. Besondere Bedeutung kommt der Tatsache zu, dass die Theorien, welche die fundamentalen Wechselwirkungen der Natur beschreiben, inkompatibel sind. Nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine dynamische Raumzeit dargestellt, die von Materie gekrümmt wird und ihrerseits durch die Krümmung die Bewegung der Materie bestimmt. Dem gegenüber steht die Quantenfeldtheorie, die die verbliebenen Wechselwirkungen - elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung - im Standardmodell der Teilchenphysik beschreibt, in dem Teilchen auf einer statischen Raumzeit -- ohne Gravitation -- miteinander interagieren. Die Hoffnung ist, dass eine Theorie der Quantengravitation diese Inkompatibilität beheben kann, indem, heuristisch, die klassische Raumzeit durch eine 'Quantenraumzeit' ersetzt wird. Es gibt zahlreiche Ansätze eine solche Theorie zu definieren, die auf unterschiedlichen Prämissen und Ideen beruhen, wobei a priori nicht klar ist, welche zu bevorzugen sind. Eine Minimalanforderung an diese Theorien ist Kompatibilität mit der klassischen Theorie, die sie verallgemeinern sollen. Interessanterweise basieren zahlreiche Modelle in ihrer Definition auf Diskretisierungen oder postulieren eine fundamentale Diskretheit der Raumzeit. Neben den unmittelbaren Vorteilen, die Diskretisierungen bieten, z.B. das Ermöglichen numerischer Simulationen, gibt es auch gravierende Nachteile, die einer ausführlichen Untersuchung bedürfen: Im Allgemeinen brechen Diskretisierungen die fundamentale Diffeomorphismensymmetrie der Gravitation und sind in der Regel nicht eindeutig definiert. Beides erschwert die Wiederherstellung der Verbindung zur klassischen, kontinuierlichen Theorie. Das Hauptaugenmerk dieser Doktorarbeit liegt darin diese Verbindung insbesondere für Spin-Schaum-Modelle (spin foam models) zu untersuchen. Dies geschieht auf sehr verschiedenen Ebenen der Diskretisierung / Triangulierung, angefangen bei wenigen Simplizes bis hin zum Kontinuumslimes. Im Regime weniger Simplizes wird die bekannte Verbindung von Spin--Schaum--Modellen zu diskreter Gravitation bestätigt und vertieft. Außerdem diskutieren wir dynamische Prinzipien, z.B. Diffeomorphismeninvarianz im Diskreten, um die Ambiguitäten der Modelle zu fixieren. Um diese Bedingungen zu erfüllen, müssen die diskreten Modelle durch Renormierungsverfahren verbessert werden, wodurch wir auch ihre Kontinuumsdynamik untersuchen können. Angewandt auf vereinfachte Spin-Schaum-Modelle finden wir eine reichhaltige, nicht-triviale Fixpunkt-Struktur, die wir in einem Phasendiagramm zusammenfassen. Inspiriert von diesen Methoden schlagen wir zu guter Letzt eine konsistente Konstruktionsmethode für die Kontinuumstheorie vor, die einen eindeutigen Vakuumszustand definiert.

In dieser Dissertation untersuchen und entwickeln wir neue Methoden, die dabei helfen sollen eine effektive semiklassische Beschreibung der kanonischen Loop-Quantengravitation und der Spinfoam-Gravitation zu bestimmen. Einer kurzen Einführung in die Loop-Quantengravitation folgen drei Forschungsartikel, die die Resultate der Doktorarbeit präsentieren. Im ersten Artikel behandeln wir das Problem der Zeit und einen neuen Vorschlag zur Implementierung von Eigenzeit durch Randbedingungen an Pfadintegrale: wir untersuchen eine konkrete Realisierung dieses Formalismus für die freie Skalarfeldtheorie. Im zweiten Artikel übersetzen wir semiklassische Zustände der linearisierten Gravitation in Zustände der Loop-Quantengravitation. Deren Eigenschaften deuten an, wie sich Semiklassizität im Loop-Formalismus manifestiert, and wie man dies benützen könnte, um semiklassische Entwicklungen herzuleiten. Im dritten Teil schlagen wir eine neue Formulierung von Spinfoam-Modellen vor, die vollständig Triangulierungs- und Hintergrund-unabhängig ist: mit Hilfe einer Symmetrie-Bedingung identifizieren wir Spinfoam-Modelle, deren Triangulierungs-Abhängigkeit auf natürliche Weise entfernt werden kann. / In this Ph.D. thesis, we explore and develop new methods that should help in determining an effective semiclassical description of canonical loop quantum gravity and spin foam gravity. A brief introduction to loop quantum gravity is followed by three research papers that present the results of the Ph.D. project. In the first article, we deal with the problem of time and a new proposal for implementing proper time as boundary conditions in a sum over histories: we investigate a concrete realization of this formalism for free scalar field theory. In the second article, we translate semiclassical states of linearized gravity into states of loop quantum gravity. The properties of the latter indicate how semiclassicality manifests itself in the loop framework, and how this may be exploited for doing semiclassical expansions. In the third part, we propose a new formulation of spin foam models that is fully triangulation- and background-independent: by means of a symmetry condition, we identify spin foam models whose triangulation-dependence can be naturally removed.