Szemere´di’s Regularity Lemma [32, 33] is an important tool in combinatorics, with numerous appli- cations in combinatorial number theory, discrete geometry, extremal graph theory, and theoretical computer science. The Regularity Lemma hinges on the following concepts. Let G = (V, E) be a graph and let ∅ /= X, Y ⊂ V be a pair of disjoint vertex subsets. We define the density of the pair (X, Y ) by dG(X, Y ) = |E[X, Y ]|/(|X||Y |) where E[X, Y ] denotes the set of edges {x, y} ∈ E with x ∈ X and y ∈ Y . We say the pair (X, Y ) is ε-regular if all subsets XI ⊆ X and Y I ⊆ Y satisfying |XI| > ε|X| and |Y I| > ε|Y | also satisfy |dG(XI, Y I) − dG(X, Y )| < ε. The Regularity Lemma states that, for all ε > 0, all large n-vertex graphs G = (V, E) admit a partition V = V1 ∪ · · · ∪ Vt, where t = t(ε) depends on ε but not on n, so that all but εt2 pairs (Vi, Vj), 1 ≤ i < j ≤ t, are ε-regular. While Szemere´di’s original proof demonstrates the existence of such a partition, it gave no method for (efficiently) constructing such partitions. Alon, Duke, Lefmann, Ro¨dl, and Yuster [1, 2] showed that such partitions can be constructed in time O(M (n)), where M (n) is the time needed to multiply two n × n {0, 1}-matrices over the integers. Kohayakawa, Ro¨dl, and Thoma [17, 18] improved this time to O(n2). The Regularity Lemma can be extended to k-uniform hypergraphs, as can algorithmic for- mulations thereof. The most straightforward of these extends the concepts above to k-uniform hypergraphs H = (V, E) in a nearly verbatim way. Let ∅ /= X1, . . . , Xk ⊂ V be pairwise disjoint subsets, and let E[X1, . . . , Xk] denote the set of k-tuples {x1, . . . , xk} ∈ E satisfying x1 ∈ X1, . . . , xk ∈ Xk. We define the density of (X1, . . . , Xk) as dH(X1, . . . , Xk) = |E[X1, . . . , Xk]| / |X1| · · · |Xk|. We say that (X1, . . . , Xk) is ε-regular if all subsets XiI ⊆ Xi, 1 ≤ i ≤ k, satisfying |XiI| > ε|Xi| also satisfy |dH (X1I , . . . , XkI ) − dH (X1, . . . , Xk)| < ε. With these concepts, Szemeredi’s original proof can be applied to give that, for all integers k ≥ 2 and for all ε > 0, all n-vertex k-uniform hypergraphs H = (V, E) admit a partition V = V1 ∪· · ∪ Vt, where t = t(k, ε) is independent of n, so that all but εtk many k-tuples (Vi1 , . . . , Vik) are ε-regular, where 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ t. Czygrinow and Ro¨dl [4] gave an algorithm for such a regularity lemma, which in the context above, runs in time O(n2k−1 log5 n). In this dissertation, we consider regularity lemmas for 3-uniform hypergraphs. In this setting, our first main result improves the algorithm of Czygrinow and Ro¨dl to run in time O(n3), which is optimal in its order of magnitude. Our second main result shows that this algorithm gives a stronger notion of regularity than what is described above, where this stronger notion is described in the course of this dissertation. Finally, we discuss some ongoing applications of our constructive regularity lemmas to some classical algorithmic hypergraph problems.

Nesta tese, introduzimos o conceito de sequência convergente de permutações e provamos a existência de um objeto limite para tais sequências. Introduzimos ainda um novo modelo de permutação aleatória baseado em tais objetos e introduzimos um conceito novo de distância entre permutações. Provamos então que sequências de permutações aleatórias são convergentes e provamos a equivalência entre esta noção de convergência e convergência nesta nova distância. Obtemos ainda resultados de amostragem e quase-aleatoriedade para permutações. Provamos também uma caracterização para parâmetros testáveis de permutações. / We introduce the concept of convergent sequence of permutations and we prove the existence of a limit object for these sequences. We also introduce a new and more general model of random permutation based on these limit objects and we introduce a new metric for permutations. We also prove that sequences of random permutations are convergent and we prove the equivalence between this notion of convergence and convergence in this new metric. We also show some applications for samplig and quasirandomness. We also prove a characterization for testable parameters of permutations.

Homomorfismos de grafos são funções do conjunto de vértices de um grafo no conjunto de vértices de outro grafo que preservam adjacências. O estudo de homomorfismos de grafos é bastante abrangente, existindo muitas linhas de pesquisa sobre esse tópico. Nesta dissertação, apresentaremos resultados sobre homomorfismos de grafos relacionados a pseudo-aleatoriedade, convergência de seqüência de grafos e matrizes de conexão de invariantes de grafos. Esta linha tem se mostrado muito rica, não apenas pelos seus resultados, como também pelas técnicas utilizadas nas demonstrações. Em especial, destacamos a diversidade das ferramentas matemáticas que são usadas, que incluem resultados clássicos de álgebra, probabilidade e análise. / Graph homomorphisms are functions from the vertex set of a graph to the vertex set of another graph that preserve adjacencies. The study of graph homomorphisms is very broad, and there are several lines of research about this topic. In this dissertation, we present results about graph homomorphisms related to convergence of graph sequences and connection matrices of graph parameters. This line of research has been proved to be very rich, not only for its results, but also for the proof techniques. In particular, we highlight the diversity of mathematical tools used, including classical results from Algebra, Probability and Analysis.

Homomorfismos de grafos são funções do conjunto de vértices de um grafo no conjunto de vértices de outro grafo que preservam adjacências. O estudo de homomorfismos de grafos é bastante abrangente, existindo muitas linhas de pesquisa sobre esse tópico. Nesta dissertação, apresentaremos resultados sobre homomorfismos de grafos relacionados a pseudo-aleatoriedade, convergência de seqüência de grafos e matrizes de conexão de invariantes de grafos. Esta linha tem se mostrado muito rica, não apenas pelos seus resultados, como também pelas técnicas utilizadas nas demonstrações. Em especial, destacamos a diversidade das ferramentas matemáticas que são usadas, que incluem resultados clássicos de álgebra, probabilidade e análise. / Graph homomorphisms are functions from the vertex set of a graph to the vertex set of another graph that preserve adjacencies. The study of graph homomorphisms is very broad, and there are several lines of research about this topic. In this dissertation, we present results about graph homomorphisms related to convergence of graph sequences and connection matrices of graph parameters. This line of research has been proved to be very rich, not only for its results, but also for the proof techniques. In particular, we highlight the diversity of mathematical tools used, including classical results from Algebra, Probability and Analysis.

Nesta tese, introduzimos o conceito de sequência convergente de permutações e provamos a existência de um objeto limite para tais sequências. Introduzimos ainda um novo modelo de permutação aleatória baseado em tais objetos e introduzimos um conceito novo de distância entre permutações. Provamos então que sequências de permutações aleatórias são convergentes e provamos a equivalência entre esta noção de convergência e convergência nesta nova distância. Obtemos ainda resultados de amostragem e quase-aleatoriedade para permutações. Provamos também uma caracterização para parâmetros testáveis de permutações. / We introduce the concept of convergent sequence of permutations and we prove the existence of a limit object for these sequences. We also introduce a new and more general model of random permutation based on these limit objects and we introduce a new metric for permutations. We also prove that sequences of random permutations are convergent and we prove the equivalence between this notion of convergence and convergence in this new metric. We also show some applications for samplig and quasirandomness. We also prove a characterization for testable parameters of permutations.