Eulerian quasisymmetric functions were introduced by Shareshian and Wachs in order to obtain a q-analog of Euler's exponential generating function formula for the Eulerian polynomials. They are defined via the symmetric group, and applying the stable and nonstable principal specializations yields formulas for joint distributions of permutation statistics. We consider the wreath product of the cyclic group with the symmetric group, also known as the group of colored permutations. We use this group to introduce colored Eulerian quasisymmetric functions, which are a generalization of Eulerian quasisymmetric functions. We derive a formula for the generating function of these colored Eulerian quasisymmetric functions, which reduces to a formula of Shareshian and Wachs for the Eulerian quasisymmetric functions. We show that applying the stable and nonstable principal specializations yields formulas for joint distributions of colored permutation statistics. The family of colored permutation groups includes the family of symmetric groups and the family of hyperoctahedral groups, also called the type A Coxeter groups and type B Coxeter groups, respectively. By specializing our formulas to these cases, they reduce to the Shareshian-Wachs q-analog of Euler's formula, formulas of Foata and Han, and a new generalization of a formula of Chow and Gessel.

In 2010 Chung-Graham-Knuth proved an interesting symmetric identity for the Eulerian numbers and asked for a q-analog version. Using the q-Eulerian polynomials introduced by Shareshian-Wachs we find such a q-identity. Moreover, we provide a bijective proof that we further generalize to prove other symmetric qidentities using a combinatorial model due to Foata-Han. Meanwhile, Hyatt has introduced the colored Eulerian quasisymmetric functions to study the joint distribution of the excedance number and major index on colored permutations. Using the Decrease Value Theorem of Foata-Han we give a new proof of his main generating function formula for the colored Eulerian quasisymmetric functions. Furthermore, certain symmetric q-Eulerian identities are generalized and expressed as identities involving the colored Eulerian quasisymmetric functions. Next, generalizing the recent works of Savage-Visontai and Beck-Braun we investigate some q-descent polynomials of general signed multipermutations. The factorial and multivariate generating functions for these q-descent polynomials are obtained and the real rootedness results of some of these polynomials are given. Finally, we study the diagonal generating function of the Jacobi-Stirling numbers of the second kind by generalizing the analogous results for the Stirling and Legendre-Stirling numbers of the second kind. It turns out that the generating function is a rational function, whose numerator is a polynomial with nonnegative integral coefficients. By applying Stanley's theory of P-partitions we find combinatorial interpretations of those coefficients

This bachelor thesis aims to give an introduction to various Hopf algebras that arise in combinatorics, with a view towards symmetric functions. We begin by covering the algebraic background needed to define Hopf algebras, including a discussion of the algebra-coalgebra duality. Takeuchi's formula for the antipode is stated and proved. It is then generalised to incidence Hopf algebras. This is followed by a discussion of the Hopf algebra of symmetric functions. It is shown that the Hopf algebra of symmetric functions is self-dual. We also show that the graded dual of the Hopf algebra of quasisymmetric functions is the Hopf algebra of non-commutative symmetric functions. Relations to the Hopf algebra of symmetric functions in non-commuting variables are emphasised. Finally, we state and prove the Aguiar-Bergeron-Sottile universality theorem.

En 2010 Chung, Graham et Knuth ont démontré une remarquable identité symétrique sur les nombres eulériens et posé le problème de trouver un q-analogue de leur identité. En utilisant les q-polynômes eulériens introduits par Shareshian-Wachs, nous avons pu obtenir une telle q-identité. La preuve bijective que nous avons imaginée, nous a permis ensuite de démontrer d'autres q-identités symétriques, en utilisant un modèle combinatoire dû à Foata-Han. Entre temps, Hyatt a introduit les fonctions quasisymétriques eulériennes colorées afin d'étudier la distribution conjointe du nombre d'excédances et de l'indice majeur sur les permutations colorées. En appliquant le Decrease Value Theorem de Foata-Han, nous donnons d'abord une nouvelle preuve de sa formule principale sur la fonction génératrice des fonctions quasisymétriques eulériennes colorées, puis généralisons certaines identités eulériennes symétriques, en les exprimant comme des identités sur les fonctions quasisymétriques eulériennes colorées. D'autre part, en prolongeant les travaux récents de Savage-Visontai et Bec-raun, nous considérons plusieurs q-polynômes de descente des mots signés. Leurs fonctions génératrices factorielles et multivariées sont explicitement calculées. Par ailleurs, nous montrons que certains de ces polynômes n'ont que des zéros réels. Enfin, nous étudions la fonction génératrice diagonale des nombres de Jacobi Stirling de deuxième espèce, en généralisant des résultats analogues pour les nombres de Stirling et Legendre-Stirling de deuxième espèce. Il s'avère que cette fonction génératrice est une série rationnelle dont le numérateur est un polynôme à coefficients entiers positifs. En appliquant la théorie des P-partitions de Stanley nous trouvons des interprétations combinatoires de ces coefficients / In 2010 Chung-Graham-Knuth proved an interesting symmetric identity for the Eulerian numbers and asked for a q-analog version. Using the q-Eulerian polynomials introduced by Shareshian-Wachs we find such a q-identity. Moreover, we provide a bijective proof that we further generalize to prove other symmetric qidentities using a combinatorial model due to Foata-Han. Meanwhile, Hyatt has introduced the colored Eulerian quasisymmetric functions to study the joint distribution of the excedance number and major index on colored permutations. Using the Decrease Value Theorem of Foata-Han we give a new proof of his main generating function formula for the colored Eulerian quasisymmetric functions. Furthermore, certain symmetric q-Eulerian identities are generalized and expressed as identities involving the colored Eulerian quasisymmetric functions. Next, generalizing the recent works of Savage-Visontai and Beck-Braun we investigate some q-descent polynomials of general signed multipermutations. The factorial and multivariate generating functions for these q-descent polynomials are obtained and the real rootedness results of some of these polynomials are given. Finally, we study the diagonal generating function of the Jacobi-Stirling numbers of the second kind by generalizing the analogous results for the Stirling and Legendre-Stirling numbers of the second kind. It turns out that the generating function is a rational function, whose numerator is a polynomial with nonnegative integral coefficients. By applying Stanley’s theory of P-partitions we find combinatorial interpretations of those coefficients

L'algèbre des fonctions symétriques est un outil majeur de la combinatoire algébrique qui joue un rôle central dans la théorie des représentations du groupe symétrique. Cette thèse traite des fonctions quasisymétriques, une puissante généralisation introduite par Gessel en 1984, avec des applications significatives dans l'énumération d'objets combinatoires majeurs tels que les permutations, les tableaux de Young et les P-partitions. Plus précisément, nous trouvons un nouveau lien entre l'extension des fonctions quasisymétriques de Chow à des groupes de Coxeter de type B et des tableaux de dominos. Ceci nous permet d'apporter de nouveaux résultats dans divers domaines, notamment les constantes de structure de l'algèbre de descente de Solomon de type B, l'extension de la théorie de la Schur-positivité aux permutations signées et l'étude d'une formule de Cauchy de type B $q$-déformée avec des implications importantes statistiques pour les tableaux dominos.Parmi les bases remarquables de l'algèbre des fonctions symétriques, les fonctions de Schur ont fait l'objet d'une attention particulière car elles sont étroitement liées aux caractères irréductibles du groupe linéaire général et aux diagrammes de Young. La fonction symétrique de Schur est la fonction génératrice des tableaux de Young semistandards. Ce résultat s'étend aux formes gauches et permet d'écrire n'importe quelle fonction de Schur (gauche) comme la somme des fonctions quasisymétriques fondamentales de Gessel, indexées par l'ensemble de descente de tous les tableaux de Young standard d'une forme donnée. En outre, la célèbre formule de Cauchy pour les fonctions de Schur donne une preuve algébrique de la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth. Enfin, les constantes de structure pour la multiplication et la comultiplication des polynômes de Schur sont respectivement les coefficients de Littlewood-Richardson et de Kronecker, deux familles importantes de coefficients ayant diverses applications combinatoires et algébriques. En utilisant des résultats connus sur les fonctions quasisymétriques fondamentales de Gessel, nous montrons que ces propriétés impliquent directement et de façon purement algébrique divers résultats pour les constantes de structure de l'algèbre de descente de Salomon d'un groupe de Coxeter fini de type A et la propriété de préservation de descente de la correspondance de Robinson-Schensted, un outil essentiel pour identifier les ensembles Schur-positifs, c'est-à-dire les ensembles de permutations dont la fonction quasisymétrique associée est symétrique et qui peut s'écrire sous la forme d'une somme non négative de fonctions symétriques de Schur.Pour étendre ces résultats aux groupes de Coxeter de type B, nous avons introduit une famille de fonctions génératrices modifiées pour les tableaux de dominos et la relions aux fonctions quasisymétriques fondamentales de type B de Chow. Grâce à cette relation, nous obtenons de nouvelles formules reliant les constantes de structure de l'algèbre de descente de Salomon de type B aux coefficients de Kronecker et de Littlewood-Richardson de type B.Cela nous permet en outre d'introduire une nouvelle extension de type B de la Schur-positivité basée sur une définition de la descente pour les permutations signées, conforme à la définition abstraite de Solomon pour tous les groupes de Coxeter. Nous concevons des bijections préservant la descente entre des permutations d'arc signées et des ensembles de tableaux de dominos afin de montrer qu'ils sont bien type B Schur-positifs.Enfin, nous introduisons une $ q $-déformation des fonctions génératrices modifiées pour les tableaux de dominos afin d'étendre une identité de Cauchy de type B proposée par Lam et de la lier aux fonctions quasisymétriques de Chow. Nous appliquons ce résultat à un nouveau cadre de positivité de type B $ q $ -Schur et à la démonstration de nouveaux résultats d'équidistribution pour certains ensembles de tableaux de dominos. / The algebra of symmetric functions is a major tool in algebraic combinatorics that plays a central role in the representation theory of the symmetric group. This thesis deals with quasisymmetric functions, a powerful generalisation introduced by Gessel in 1984, with significant applications in the enumeration of major combinatorial objects as permutations, Young tableaux and P-partitions. More specifically we find a new connection between Chow's extension of quasisymmetric functions to Coxeter groups of type B and domino tableaux. It allows us to contribute new results to various fields including the structure constants of type B Solomon's descent algebra, the extension of the theory of Schur-positivity to signed permutations and the study a $q$-deformed type B Cauchy formula with important implications regarding statistics for domino tableaux.Among the remarkable bases of the algebra of symmetric functions, Schur functions received a particular attention as they are strongly related to the irreducible characters of the general linear group and Young diagrams. The Schur symmetric function is the generating function for semistandard Young tableaux. This result extends to skew shapes and allows to write any (skew-) Schur function as the sum of Gessel's fundamental quasisymmetric functions indexed by the descent set of all standard Young tableaux of a given shape. Furthermore the celebrated Cauchy formula for Schur functions gives an algebraic proof of the Robinson-Schensted-Knuth correspondence. Finally, the structure constants for the outer product and inner product of Schur polynomials are respectively the Littlewood-Richardson and Kronecker coefficients, two important families of coefficients with various combinatorial and algebraic applications. Using known results about Gessel's fundamental quasisymmetric functions we show that these properties imply directly and in a pure algebraic fashion, various results for the structure constants of the Solomon descent algebra of a finite Coxeter group of type A and the descent preserving property of the Robinson-Schensted correspondence, an essential tool to identify Schur-positive sets, i.e. sets of permutations whose associated quasisymmetric function is symmetric and can be written as a non-negative sum of Schur symmetric functions.To extend these results to Coxeter groups of type B we introduced a family of modified generating functions for domino tableaux and relate it to Chow's type B fundamental quasisymmetric functions. Thanks to this relation we derive new formulas relating the structure constants of the type B Solomon's descent algebra with type B Kronecker and Littlewood-Richardson coefficients.It further allows us to introduce a new type B extension of Schur-positivity based on a definition of descent for signed permutations that is conform to the abstract definition of Solomon for any Coxeter groups. We design descent preserving bijections between signed arc permutations and sets of domino tableaux to show that they are indeed type B Schur-positive.Finally, we introduce a $q$-deformation of the modified generating functions for domino tableaux to extend a type B Cauchy identity by Lam and link it with Chow's quasisymmetric functions. We apply this result to a new framework of type B $q$-Schur positivity and to prove new equidistribution results for some sets of domino tableaux.