Le présent travail porte sur la résolution numérique de l’équation des ondes acoustiques ou élastiques dans un milieu homogène par morceaux comportant des interfaces. On s’intéresse à un problème haute fréquence, introduit par des conditions initiales fortement oscillantes, pour lequel on détermine la répartition de la densité d’énergie dans le milieu par une approche dite cinétique (fondée sur l’utilisation d’une transformation de Wigner). Le problème considéré est alors réduit à une équation de transport en milieu homogène du type Liouville, complétée par des lois de réflexion et transmission aux interfaces. Différentes méthodes de résolution et d’autres cas d’application sont par ailleurs évoquées. La résolution numérique de l’équation de transport décrivant l’évolution de la densité d’énergie dans l’espace des phases positions vecteurs d’onde est effectuée par différences finies. Cette technique soulève plusieurs difficultés relatives à la conservation de l’énergie totale dans le milieu et aux interfaces. Elles peuvent être corrigées par des schémas numériques adaptés permettant de limiter la dissipation numérique par une approche globale ou locale. Les développements réalisés concernent l’interpolation des densités d’énergie obtenues par transmission sur la grille des vecteurs d’onde discrets, ainsi que la correction de la différence d’échelle de variation de la vitesse des ondes de part et d’autre des interfaces. L’intérêt de ces adaptations est d’obtenir des schémas conservatifs qui satisfont les critères de convergence usuels des méthodes aux différences finies. Leur construction ainsi que leur mise en œuvre effective constituent le principal apport de cette thèse. La pertinence des méthodes utilisées est illustrée par des exemples de simulation, qui montrent également leur efficacité pour des maillages relativement grossiers. / The present work focuses on the numerical resolution of the acoustic or elastic wave equation in a piece-wise homogeneous medium, splitted by interfaces. We are interested in a high-frequency setting, introduced by strongly oscillating initial conditions, for which one computes the distribution of the energy density by a so-called kinetic approach (based on the use of a Wigner transform). This problem then reduces to a Liouville-type transport equation in a piece-wise homogeneous medium, supplemented by reflection and transmission laws at the interfaces. Several numerical techniques and ranges of application are also reviewed. The transport equation which describes the evolution of the energy density in the phase space positions _ wave vectors is numerically solved by finite differences. This technique raises several difficulties related to the conservation of the total energy in the medium and at the interfaces. They may be alleviated by dedicated numerical schemes allowing to reduce the numerical dissipation by either a global or a local approach. The improvements presented in this thesis concern the interpolation of the energy densities obtained by transmission on the grid of discrete wave vectors, and the correction of the difference of variation scales of the wave celerity on each side of the interfaces. The interest of the foregoing developments is to obtain conservative schemes that also satisfy the usual convergence properties of finite difference methods. The construction of such schemes and their effective implementation constitute the main achievement of the thesis. The relevance of the proposed methods is illustrated by several numerical simulations, that also emphasize their efficiency for rather coarse meshes.

Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à la modélisation et la simulation de la propagation d'ondes ultrasonores dans l'os cortical. Plus précisément, nous avons étudié et analysé la technique dite des ultrasons quantitatifs (Quantitative Ultrasound, QUS) pour l'évaluation de la qualité du tissu osseux. Il s'agit d'une technique émergente dont l'application aux tissus osseux suscite un intérêt particulier dans la communauté scientifique. Le tissu osseux étant un tissu vivant, il est sujet au vieillissement et à divers pathologies parmi lesquelles on peut citer ostéoporose, ostéomalacie, ostéoporomalacie, ou encore, la maladie dite de Paget. Pour accompagner les soins à prodiguer au tissu osseux, une surveillance de sa qualité s'avère indispensable. Dans ce contexte, les méthodes ultrasonores sont réputées être intéressantes, de par leurs caractères non-invasif, peu coûteux, portable et non-ionisant. Cependant, utiliser des ultrasons dans le cadre de la caractérisation du tissu osseux, suppose une compréhension profonde des différents phénomènes physiques mis en jeu lors de leur propagation. Dans cette optique, notre travail est développé dans la thématique de la modélisation dédiée à la propagation des ondes ultrasonores dans des guides d'ondes multidimensionnels, hétérogènes, anisotropes, et composés de matériaux dont l'hétérogénéité peut être qualifiée d'aléatoire. Une des originalités de cette thèse concerne l'étude des coefficients de réflexion et de transmission et des courbes de dispersion en présence d'incertitudes dues aux propriétés matérielles. Dans une première partie, nous étudions les phénomènes de réflexion/transmission via un modèle tri-couches bidimensionnels prenant en compte les tissus mous et l'hétérogénéité aléatoire du tissu osseux. Nous avons pu analyser l'impact de ces caractéristiques sur les coefficients de réflexion et de transmission. Un gradient de propriétés matérielles de l'os est introduit, et son impact sur les coefficients d'intérêt est examiné. L'aspect modal des ondes est exploré, en étudiant la dispersion des ondes de Lamb. Les résultats obtenus dans une configuration géométrique bidimensionnelle ont permis de discuter l'influence des divers paramètres, en terme de propriétés mécaniques et/ou géométriques, sur la propagation des ondes ultrasonores dans le tissu cortical. Dans une deuxième partie, le modèle est étendu pour une configuration géométrique cylindrique. La discussion est menée afin d'analyser l'influence de la géométrie tridimensionnelle de l'os sur les phénomènes de propagation / In this thesis, we are interested in the modeling and simulation of the propagation of ultrasonic waves in the cortical bone. Precisely, we have studied and analyzed the Quantitative Ultrasound (QUS) technique for the evaluation of the quality of bone tissue. It is an emerging technique those the application to bone tissue arouses particular interest in the scientific community. Since bone tissue is a living tissue, it is subject to aging and various pathologies, such osteoporosis, osteomalacia, osteoporomalacia, or the so-called Paget disease. To assist in therapeutic follow-up of the bone, monitoring of quality of bone tissue is essential. In this context, methods based on QUS technique are deemed to be interesting, due of their non-invasive, inexpensive, portable and non-ionizing characteristics. However, use the ultrasound in the context of characterization of bone tissue, requires a deep understanding of the different physical phenomena involved in their propagation. In this perspective, our work is developed in the modeling theme dedicated to the propagation of ultrasonic waves in multidimensional, heterogeneous, anisotropic waveguides, constituted of materials whose heterogeneity can be qualified as random. One of the originalities of this thesis concerns the study of the reflection and transmission coefficients and the dispersion curves in the presence of uncertainties in the material properties. In a first part, we study the reflection/transmission phenomena via a two-dimensional tri-layer model taking into account the soft tissues and the random heterogeneity of the bone tissue. We analyzed the impact of these characteristics on the reflection and transmission coefficients. A gradient of material properties is introduced, and its effect on the coefficients of interest is examined. The modal aspect of the waves is explored, by studying the dispersion of Lamb waves. The results obtained in a two-dimensional geometrical configuration made it possible to discuss the influence of the various parameters, in terms of mechanical and/or geometric properties, on the propagation of the ultrasonic waves in the cortical tissue. In a second part, the proposed model is extended for a cylindrical geometric configuration. The discussion is carried out in order to analyze the influence of the three-dimensional geometry of the bone on the phenomena of propagation