L'objectif de cette thèse est de traiter trois problèmes relatifs aux réseaux de grande taille. Les outils utilisés à cette fin sont issus des probabilités et plus spécifiquement de la théorie des files d'attente. En plus d'améliorer la compréhension des systèmes étudiés, les travaux réalisés dans cette thèse ont permis de prouver des résultats théoriques nouveaux ainsi que d'illustrer certains phénomènes probabilistes. Dans le Chapitre II, un modèle de réseau à partage de bande passante est étudié. Contrairement à ce qui avait été étudié dans la littérature, les utilisateurs n'utilisent pas de contrôle de congestion. On suppose qu'ils envoient des données avec un débit maximum et protègent leur transmission à l'aide d'un mécanisme basé sur des codes correcteurs d'erreur. Le modèle obtenu est analysé pour deux topologies de réseaux spécifiques : les réseaux linéaires et les arbres montants. A l'aide de limites fluides, les conditions de stabilité de ces réseaux sont établies. Ces limites fluides donnent lieu à un phénomène intéressant de moyennage stochastique. Ensuite, une autre méthode de renormalisation est utilisée pour prouver que la région de stabilité de ces processus converge vers la région optimale lorsque que les débits maximaux des utilisateurs deviennent infiniment petits par rapport à la taille des liens du réseau. Dans le Chapitre III, on se propose d'étudier CSMA/CA, un algorithme d'accès implémenté dans certains standards de réseaux sans fil. Chaque lien est constitué d'un émetteur et d'un récepteur et un graphe d'interférence modélise les collisions potentielles entre les liens. Les arrivées et les départs de ces derniers sont prises en compte. Une approximation est faite en supposant que la dynamique d'accès au canal est infiniment plus rapide que la dynamique des arrivées et départs de liens. Il est alors établi que le CSMA permet une utilisation optimale des ressources radio dans le cadre des réseaux ad-hoc. Cependant, il est également prouvé que ce même algorithme n'est pas efficace pour les réseaux avec une station de base ; dans ce cas, un biais en faveur des transmissions vers la station de base est observé. A la fin du chapitre, l'hypothèse simplificatrice est discutée. Les deux derniers chapitres de la thèse sont consacrés à l'étude d'un grand système distribué de stockage de données avec pertes. L'objectif est d'estimer la vitesse de perte des fichiers ou la durée de vie d'un fichier donné. Dans le Chapitre IV, c'est le premier point de vue qui est adopté. Le système est considéré de manière globale. Le système est constitué d'un grand nombre de fichiers qui peuvent avoir chacun deux copies au maximum. Chaque copie disparaît au bout d'un temps aléatoire. Un mécanisme centralisé de sauvegarde permet alors de restaurer les copies perdues. Un fichier dont les deux copies ont été détruites est définitivement perdu. Le système est étudié dans le cas limite où le nombre de fichiers tend vers l'infini. Afin de décrire correctement le système, trois échelles de temps différentes sont étudiées. Ralentir le temps permet de comprendre le mécanisme de sauvegarde ; laisser le temps inchangé permet de définir la capacité du système ; accélérer le temps permet d'évaluer la vitesse de perte des fichiers. Le principe de moyennage stochastique est également observé à l'échelle de temps la plus rapide. Dans le chapitre V, le point de vue d'un fichier donné est adopté. Des liens sont établis avec les modèles classiques d'Ehrenfest, issu de la physique statistique, et d'Erlang, issu des télécommunications. Des méthodes basées sur les martingales sont utilisées pour calculer la transformée de Laplace des temps d'atteinte de ces deux processus. Ces transformées permettent alors d'estimer le comportement asymptotique de ces temps d'atteinte et notamment le temps de disparition d'un fichier.

Nous étudions des modèles mathématiques issus de la théorie des files d’attente pour évaluer et optimiser les performances des mécanismes de partage de ressources entre flots dans les réseaux. Dans une première partie, nous proposons des approximations simples et explicites des principales métriques de performance des flots élastiques dans les réseaux à partage de bande passante opérant sous le mode ”équité équilibré”. Nous étudions ensuite le partage de bande passante entre flux élastiques et flux de streaming en supposant que le nombre de ces derniers est limité par un mécanisme de contrôle d’admission et proposons des approximations de performance basées sur une hypothèse de quasi stationnarité. Les résultats de simulation montrent le bon niveau de précision des approximations proposées.Dans une deuxième partie, nous étudions le compromis entre délai et énergie dans les réseaux à partage de bande passante dont les noeuds peuvent réguler leur vitesse en fonction de la charge du système. En supposant que le réseau est initialement dans un état de congestion, on s’intéresse à la politique optimale d’allocation de débit permettant de le vider à coût minimal. L’analyse de la politique stochastique optimale via la théorie des processus de décision markoviens étant extrêmement difficile, nous proposons de l’approximer en utilisant un modèle fluide déterministe qui peut être résolu grâce à des techniques de contrôle optimal. Pour le cas d’un seul lien partagé par plusieurs classes de trafic, on montre que la politique optimale correspond à la règle cμ et on propose une expression explicite de la vitesse optimale. Enfin, dans une troisième partie, on s’intéresse aux plateformes de Cloud Computing dans le cadre du modèle SaaS. En supposant un partage équitable des ressources physiques entre machines virtuelles s’exécutant de manière concurrente, nous proposons des modèles de file d’attente simples pour prédire les temps de réponse des applications. Les modèles proposés prennent explicitement en compte le comportement des différentes classes d’application (tâches interactives, de calcul ou permanentes). Les expérimentations menées sur une plateforme réelle montrent que les modèles mathématiques obtenus permettent de prédire les temps de réponse avec une bonne précision. / We study queueing-theoretic models for the performance evaluation and optimization of bandwidth-sharing networks. We first propose simple and explicit approximations for the main performance metrics of elastic flows in bandwidth-sharing networks operating under balanced fairness. Assuming that an admission control mechanism is used to limit the number of simultaneous streaming flows, we then study the competition for bandwidth between elastic and streaming flows and propose performance approximations based on a quasi-stationary assumption. Simulation results show the good accuracy of the proposed approximations. We then investigate the energy-delay tradeoff in bandwidth-sharing networks in which nodes can regulate their speed according to the load of the system. Assuming that the network is initially congested, we investigate the rate allocation to the classes that drains out the network with minimum total energy and delay cost. We formulate this optimal resource allocation problem as a Markov decision process which proves tobe both analytically and computationally challenging. We thus propose to solve this stochastic problem using a deterministic fluid approximation. For a single link sharedby an arbitrary number of classes, we show that the optimal-fluid solution follows thewell-known cμ rule and give an explicit expression for the optimal speed. Finally, we consider cloud computing platforms under the SaaS model. Assuming a fair share of the capacity of physical resources between virtual machines executed concurrently, we propose simple queueing models for predicting response times of applications.The proposed models explicitly take into account the different behaviors of the different classes of applications (interactive, CPU-intensive or permanent applications). Experiments on a real virtualized platform show that the mathematical models allow to predict response times accurately