Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profi ssional em Matemática em Rede Nacional, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-03-20T20:38:38Z No. of bitstreams: 1 2014_GlaucoAndreMachado.pdf: 1775143 bytes, checksum: db72009c0df8998f21901a1fff64ab05 (MD5) / Rejected by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br), reason: Ana, o arquivo não pertence aos metadados descritos. Por favor, verificar. Obrigada! Jacqueline on 2015-05-15T15:23:07Z (GMT) / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-05-15T15:35:10Z No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Este trabalho tem como objetivo demonstrar a irracionalidade de vários números que envolvem raízes não exatas e representar números racionais e raízes quadradas não exatas na forma de uma fração contínua, além de apresentar exercícios envolvendo esses temas e que podem ser utilizados pelo professor do ensino básico em sala de aula. Haverá demonstrações de irracionalidade de números da forma (veja fórmulas no arquivo), utilizando alguns conhecimentos de nível superior, provaremos a irracionalidade das Expressões (veja fórmulas no arquivo) e da constante de Euler e. Além disso, serão apresentadas técnicas que permitem gerar outros números irracionais que envolvam raízes não exatas, através de resultados provenientes do estudo dos polinômios. Veremos também, que existem métodos iterativos que permitem escrever números racionais e raízes quadradas não exatas como uma fração contínua. Neste segundo caso, tal representação pode ser uma fração contínua simples ou não, que permite aproximar o valor da raiz quadrada o quanto quisermos, através de cálculos simples, que podem facilmente ser efetuados por alunos de ensino fundamental e médio. _____________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The main goal of this work is to demonstrate the irrationality of several numbers involving non-exact roots and how to represent rational numbers and non-exact square roots in the form of continued fractions. In addition, we present exercises involving these topics, which can be used by secondary school teachers in their classroom. The irrationality of numbers in the form (veja fórmulas no arquivo) will be demonstrated and, using university-level Mathematics, we will prove the irrationality of the expressions (veja fórmulas no arquivo) and of the Euler constant e. Moveover, we will present techniques allowing the construction of other irrational numbers involving non-exact roots related to results obtained in the study of polynomials. We will also see that there are iterative methods that allow us to write rational numbers and non-exact square roots as continued fractions. In the latter case, such representation may be simple or not and it allows us to approximate the value of the square root as much as we wish, using simple calculations, which can be easily done by primary and/or secondary students.

Excluídos problemas simples de condução de calor nos quais a temperatura depende apenas do tempo ou apenas de uma coordenada de posição, os demais levam a equações diferenciais parciais, as quais tem soluções em termos de séries obtidas de vários métodos como a separação de variáveis, a superposição, a função de Green, a técnica da transformada integral, a transformada de Laplace e o teorema de Duhamel. Estas soluções dependem de autovalores que são obtidos das raízes de equações transcendentais que na maioria dos casos não podem ser expressas em forma fechada, mas podem ser obtidas de tabelas, expressões aproximadas, e expressões iterativas. O objetivo desse estudo é encontrar novas expressões para estas raízes, que sejam mais simples ou que tenham mais exatidão do que as já existentes. As três equações transcendentais que são consideradas aqui são as mais frequentemente utilizadas entre as que não tem solução fechada, e surgem quando as condições de contorno são convectivas. Uma nova família de funções iterativas é obtida, a qual inclui várias funções clássicas e, em particular, toda a família de métodos de Householder. Um novo método obtido é o que tem convergência mais rápida para as presentes equações. Apesar das tabelas de raízes apresentarem valores com vários dígitos significativos, problemas reais dificilmente levam a um valor da variável independente que pode ser diretamente encontrado, tornando-se necessário o uso de interpolação. Então, a exatidão de raízes obtidas por estas tabelas é limitada pela exatidão da interpolação, a qual pode ser comparada com a das expressões aproximadas. As expressões existentes são analisadas utilizando propriedades das raízes. Uma expressão aproximada desenvolvida para a primeira raiz das três equações é baseada no método do ponto fixo, outra é obtida da aplicação do conceito de MiniMax para se reajustar expressões de outros autores, e uma final tem forma algébrica. O conceito de MiniMax não é obtido através de algum método que possa ser considerado elementar, e dois novos métodos são desenvolvidos para aplicá-lo. Modernos sistemas algébricos computacionais são utilizados para gerar novas expressões aproximadas para a primeira raiz, mas encontrou-se que elas podem ser melhoradas através de métodos analíticos. Expansão em frações contínuas e novamente a aproximação de Padé são utilizadas para se obter expressões de grande exatidão. Expressões que levam a bons resultados para a primeira raiz são generalizadas para que elas sirvam para as demais raízes. Finalmente, uma comparação é feita considerando todas expressões aproximadas, indicando quais são consideradas as melhores. / Apart from simple problems of heat conduction in which the temperature depends only on the time or just on a position coordinate, the others lead to partial differential equations, which have solutions in terms of series obtained from various methods such as separation variables, superposition, the Green's function, the technique of integral transform, the Laplace transform and Duhamel's theorem. These solutions depend on eigenvalues, which are obtained from the roots of transcendental equations that in most cases cannot be expressed in closed form, but they can be obtained from tables, approximate expressions and iterative expressions. The objective of this study is to find new expressions for these roots, which are simpler or have more accuracy than the existing ones. The three transcendental equations that are considered here are the most frequently used among those that have not closed solution, and appear when the boundary conditions are convective. A new family of iterative functions is proposed, which includes several classical functions and, in particular, the entire family of Householder methods. A new method is obtained which has faster convergence to the present equations. Although the tables of roots present values with various significant digits, real problems hardly lead to a value of the independent variable that can be directly found, making it necessary to use interpolation. Then, the accuracy of the roots obtained from these tables is limited by the accuracy of the interpolation, which can be compared with the approximate expressions. Existing expressions are analyzed using the root properties. An approximate expression developed for the first root of the three equations is based on the fixed point method, another is obtained from the application of the concept of MiniMax to readjust expressions of others authors, and the last one has an algebraic form. The MiniMax concept is not obtained through any method that can be considered elementary, and two new methods are developed to apply it. Modern computer algebra systems are used to generate new approximate expressions for the first root, but it is found that they can be improved by analytical methods. Expansion in continuous fractions is adopted and the Padé approximation to obtain expressions of greater accuracy. Expressions leading to good results for the first root are generalized so that they serve for the other roots. Finally, a comparison is made considering all approximate expressions, indicating what are considered the best.