Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profi ssional em Matemática em Rede Nacional, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-03-20T20:38:38Z No. of bitstreams: 1 2014_GlaucoAndreMachado.pdf: 1775143 bytes, checksum: db72009c0df8998f21901a1fff64ab05 (MD5) / Rejected by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br), reason: Ana, o arquivo não pertence aos metadados descritos. Por favor, verificar. Obrigada! Jacqueline on 2015-05-15T15:23:07Z (GMT) / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-05-15T15:35:10Z No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Este trabalho tem como objetivo demonstrar a irracionalidade de vários números que envolvem raízes não exatas e representar números racionais e raízes quadradas não exatas na forma de uma fração contínua, além de apresentar exercícios envolvendo esses temas e que podem ser utilizados pelo professor do ensino básico em sala de aula. Haverá demonstrações de irracionalidade de números da forma (veja fórmulas no arquivo), utilizando alguns conhecimentos de nível superior, provaremos a irracionalidade das Expressões (veja fórmulas no arquivo) e da constante de Euler e. Além disso, serão apresentadas técnicas que permitem gerar outros números irracionais que envolvam raízes não exatas, através de resultados provenientes do estudo dos polinômios. Veremos também, que existem métodos iterativos que permitem escrever números racionais e raízes quadradas não exatas como uma fração contínua. Neste segundo caso, tal representação pode ser uma fração contínua simples ou não, que permite aproximar o valor da raiz quadrada o quanto quisermos, através de cálculos simples, que podem facilmente ser efetuados por alunos de ensino fundamental e médio. _____________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The main goal of this work is to demonstrate the irrationality of several numbers involving non-exact roots and how to represent rational numbers and non-exact square roots in the form of continued fractions. In addition, we present exercises involving these topics, which can be used by secondary school teachers in their classroom. The irrationality of numbers in the form (veja fórmulas no arquivo) will be demonstrated and, using university-level Mathematics, we will prove the irrationality of the expressions (veja fórmulas no arquivo) and of the Euler constant e. Moveover, we will present techniques allowing the construction of other irrational numbers involving non-exact roots related to results obtained in the study of polynomials. We will also see that there are iterative methods that allow us to write rational numbers and non-exact square roots as continued fractions. In the latter case, such representation may be simple or not and it allows us to approximate the value of the square root as much as we wish, using simple calculations, which can be easily done by primary and/or secondary students.

Submitted by Rosivalda Pereira (mrs.pereira@ufma.br) on 2017-06-12T20:44:03Z No. of bitstreams: 1 SebastiaoAlvesSilva.pdf: 1093667 bytes, checksum: 7d7111ace431e2e93ddfa2af4ec78c6c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-12T20:44:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SebastiaoAlvesSilva.pdf: 1093667 bytes, checksum: 7d7111ace431e2e93ddfa2af4ec78c6c (MD5) Previous issue date: 2016-09-06 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work we make a presentation on continued fractions, from its intuitive historical origin, along with the evolution and maturation of their concept to get your formal mathematical definition. We use continued fractions to represent the real numbers, sort irrational numbers, as well as some of its applications in solving problems ranging from real numbers approximations by rational numbers, solving linear Diophantine equations in two variables, calculation of numerical roots resolution exponential and logarithmic equations, solving geometry problems. In addition, we present what we consider to be classic problems solved by continued fractions, they are: construction of gears, analysis of lunar eclipses, and analysis of construction schedules. / Neste trabalho fazemos uma apresentação sobre frações contínuas, desde sua origem histórica intuitiva, juntamente com a evolução e maturação de seu conceito até chegar a sua definição matemática formal. Utilizamos frações contínuas para representar os números reais, classificar números irracionais, bem como algumas de suas aplicações na resolução de problemas, que vão de aproximações de números reais por números racionais, resolução de equações diofantinas lineares de duas variáveis, cálculo de raízes numéricas, resolução de equações exponenciais e logarítmicas, resolução de problemas de Geometria. Além disso, apresentamos o que consideramos serem problemas clássicos resolvidos por fações contínuas, são eles: construção de engrenagens, análises de eclipses lunares, e análise da construção de calendários.

Nós estudaremos o comportamento de difeomorfismos do círculo, tanto do ponto de vista combinatório quanto do ponto de vista topológico e da teoria da medida, seguindo os trabalhos de Michael Herman. A cada homeomorfismo do círculo podemos associar um número real positivo, denominado número de rotação. Mostraremos que existe um conjunto de números irracionais de medida de Lebesgue total na reta tal que, se f é um difeomorfismo do círculo de classe \'C POT. r \' que preserva a orientação, com r maior ou igual a 3 e com número de rotação nesse conjunto, então f é pelo menos \'C POT. r - 2\' -conjugada a uma translação irracional. Além disso, mostraremos que dado um caminho \'f IND. t\' de classe \'C POT. 1\' definido em um intervalo [a;b] no conjunto dos difeomorfismos do círculo de classe \'C POT. r\' que preservam a orientação, com r maior ou igual a 3, o conjunto dos parâmetros em que \'f IND. t\' é \'C POT. r - 2\' -conjugada a uma translação irracional tem medida de Lebesgue positiva, desde que os números de rotação em \'f IND. a\' e \'f IND. b\' sejam distintos / We will study the generic behavior of circle diffeomorphisms, in the combinatorial, topological and measure-theoretical sense, following the work of Michael Herman. To each order preserving homeomorphism of the circle we can associate a positive real number, called rotation number, which is invariant under conjugacy. We will show that there is a set of irrational numbers with full Lebesgue measure on R such that, if f is a circle diffeomorphism of class \'C POT. r\', with r greater or equal 3 and with rotation number in that set, then f is at least \'C POT. r - 2\' -conjugated to an irrational translation. Moreover, we will show that if ft is a \'C POT. 1\' -path defined on a interval [a;b] over the set of the circle diffeomorphisms orientation preserving, with r \'> or =\' 3, then the set of parameters where \'f IND. t\' is \'C POT. r - 2\' -conjugated to a irrational translation has positive Lebesgue measure, since the rotation numbers of \'f IND. a\' and \'f IND. b\' are distinct

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-08-30T13:15:08Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 799210 bytes, checksum: 8de2ace5434a5d92b8604de7573abfc4 (MD5) / Approved for entry into archive by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-08-30T13:17:30Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 799210 bytes, checksum: 8de2ace5434a5d92b8604de7573abfc4 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-30T13:17:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 799210 bytes, checksum: 8de2ace5434a5d92b8604de7573abfc4 (MD5) Previous issue date: 2016-02-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The study of ontinued fra tions will start with some histori al fa ts, aiming at a better understanding of the subje t. We will bring the de nition of ontinued fra tions for a number α real, with the de nition for α rational and α irrational. The dis ussion will fo us on meaning results for the al ulation of redu ed and good approximations of irrational numbers, also aimed at determining the error between the redu ed and the irrational number. We will bring a study of the periodi ontinued fra tions, with emphasis on Lagrange theorem, whi h relates a periodi ontinued fra tion and a quadrati equation. Finishing with a fo us on problem solving, as the al ulation of ontinued fra tions of irrational numbers of the form √a2 + b, as well as proof of the irrationality of e by al ulating its ontinued. / O estudo das frações ontínuas terá ini io om alguns fatos históri os, visando uma melhor ompreensão do tema. Traremos a de nição de frações ontínuas para um erto número α real, apresentando a de nição para α ra ional e para α irra ional. A dis ussão será entrada em resultados importantes para o ál ulo de reduzidas e boas aproximações de números irra ionais, visando também a determinação do erro entre a reduzida e o número irra ional. Traremos um estudo sobre as frações ontínuas periódi as, om enfase ao teorema de Langrange, que rela iona uma fração ontínua periódi a e uma equação do segundo grau. Finalizando om enfoque na resolução de problemas, omo o ál ulo de frações ontínuas de números irra ionais da forma √a2 + b, assim omo a prova da irra ionalidade de e através do ál ulo de sua fração ontínua.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2015-10-27T14:48:51Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ronaldo Pires da Silva - 2015.pdf: 1653286 bytes, checksum: 63a72d8fbcc7390f80fb41dbadaaa9fe (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-10-27T14:53:07Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ronaldo Pires da Silva - 2015.pdf: 1653286 bytes, checksum: 63a72d8fbcc7390f80fb41dbadaaa9fe (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-10-27T14:53:07Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ronaldo Pires da Silva - 2015.pdf: 1653286 bytes, checksum: 63a72d8fbcc7390f80fb41dbadaaa9fe (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-07-06 / Our work had as main objective to study the intersection of integer sequences, denominated polygonal numbers, through Pell's equation. In this context, the solution of two equations will be treated: x2 􀀀 Dy2 = 1 and x2 􀀀 Dy2 = N, jNj > 1. For the rst one we have used results from the theory of continued fractions. For the last one, we have used the method of solution delineated in literature. Besides, propositions referring to the intersection of polygonal numbers for some particular cases are presented and demonstrated. Also, the proposition of the general case is presented and demonstrated. Finally, we have performed the solution of some of Pell's equations in order to determine the intersection of some polygonal numbers. / Nosso trabalho teve como objetivo central estudar a interseção de sequências de inteiros, denominadas números geométricos, através da equação de Pell. Neste contexto, a resolução de duas equações serão tratadas: x2 􀀀 Dy2 = 1 e x2 􀀀 Dy2 = N com jNj > 1. Para a primeira utilizamos importantes resultados presentes na teoria das frações contínuas. Para última, utilizamos o método de resolução delineado na literatura. Além disso, proposições referentes a interseção de números geométricos para alguns casos particulares são apresentadas e demonstradas. Também a proposição do caso geral é apresentada e demonstrada. Por m, realizamos a resolução de algumas equações de Pell para determinarmos a interseção de alguns números geométricos.

Nós estudaremos o comportamento de difeomorfismos do círculo, tanto do ponto de vista combinatório quanto do ponto de vista topológico e da teoria da medida, seguindo os trabalhos de Michael Herman. A cada homeomorfismo do círculo podemos associar um número real positivo, denominado número de rotação. Mostraremos que existe um conjunto de números irracionais de medida de Lebesgue total na reta tal que, se f é um difeomorfismo do círculo de classe \'C POT. r \' que preserva a orientação, com r maior ou igual a 3 e com número de rotação nesse conjunto, então f é pelo menos \'C POT. r - 2\' -conjugada a uma translação irracional. Além disso, mostraremos que dado um caminho \'f IND. t\' de classe \'C POT. 1\' definido em um intervalo [a;b] no conjunto dos difeomorfismos do círculo de classe \'C POT. r\' que preservam a orientação, com r maior ou igual a 3, o conjunto dos parâmetros em que \'f IND. t\' é \'C POT. r - 2\' -conjugada a uma translação irracional tem medida de Lebesgue positiva, desde que os números de rotação em \'f IND. a\' e \'f IND. b\' sejam distintos / We will study the generic behavior of circle diffeomorphisms, in the combinatorial, topological and measure-theoretical sense, following the work of Michael Herman. To each order preserving homeomorphism of the circle we can associate a positive real number, called rotation number, which is invariant under conjugacy. We will show that there is a set of irrational numbers with full Lebesgue measure on R such that, if f is a circle diffeomorphism of class \'C POT. r\', with r greater or equal 3 and with rotation number in that set, then f is at least \'C POT. r - 2\' -conjugated to an irrational translation. Moreover, we will show that if ft is a \'C POT. 1\' -path defined on a interval [a;b] over the set of the circle diffeomorphisms orientation preserving, with r \'> or =\' 3, then the set of parameters where \'f IND. t\' is \'C POT. r - 2\' -conjugated to a irrational translation has positive Lebesgue measure, since the rotation numbers of \'f IND. a\' and \'f IND. b\' are distinct

Orientador: Prof. Dr. Maurício Firmino Silva Lima / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Esta dissertação apresenta as Frações Contínuas como facilitador para a compreensão do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Busco retomar aspectos históricos sobre os segmentos comensuráveis e incomensuráveis, utilizando os convergentes das frações contínuas finitas e infinitas para compreensão da importância de uma boa aproximação. Assim, apresento como sugestão que esse tema seja incluído na Educação Básica, não como um tema curricular, mas como uma rica ferramenta para aplicação em diversos conteúdos já previstos nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. / This dissertation presents the continued fractions as a facilitator to understanding the set of rational numbers and the set of irrational numbers. I have been looking for ways to resume historical aspects of the commensurable and incommensurable segments, using the convergent finite continued fractions and infinite to understanding the importance of a good approach. So, I offer a suggestion that this issue be included in basic education, not as a curriculum subject, but as a rich tool for application on content already provided for in the final years of elementary school and in high school.

Due to the system does not recognize equations and formulas the resumo and abstract can be found in the PDF file. / Devido ao sistema não reconhecer equações e fórmulas o resumo e abstract encontra-se no arquivo em PDF.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-24T11:32:03Z No. of bitstreams: 2 Mestrado - Amanda Melo do Nascimento - 2013.pdf: 1240146 bytes, checksum: 0126ba6aa1a69a061f1ffabfaf21e9be (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-24T14:00:24Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Mestrado - Amanda Melo do Nascimento - 2013.pdf: 1240146 bytes, checksum: 0126ba6aa1a69a061f1ffabfaf21e9be (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-11-24T14:00:24Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Mestrado - Amanda Melo do Nascimento - 2013.pdf: 1240146 bytes, checksum: 0126ba6aa1a69a061f1ffabfaf21e9be (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2013-03-15 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Continued Fractions and applications in High School begins with the historical context, the socially constructed over 2500 years, over which originated the study and training of numerical sets in order to substantiate the importance of irrational numbers and their peculiarities . Reintroducing some basic concepts of Numerical Sequences and their converging that are important for understanding the study of approaches from the study of continuous fraction. The discussion and centered on the study of continued fractions, exploring its historical part, basic concepts and their relation to the Euclidean algorithm. It is shown the importance of both approximations of rational numbers as irrational, in order to decrease the gap between finite and infinite for the construction of all the dollars. In the final chapter I present a mini-course for high school students, public school, looking for higher courses in the exact sciences and aim to achieve greater integration with this important segment. All matters discussed in this work will be developed in the course, showing their properties and applications. / Frações Contínuas e aplicações no Ensino Médio inicia-se com o contexto histórico, socialmente construído a mais de 2500 anos, sobre o qual se originou o estudo e formação dos conjuntos numéricos com o objetivo de fundamentar a importância dos números irracionais e suas peculiaridades. Retoma alguns conceitos básicos de Sequências Numéricas e seus convergentes que são importantes para a compreensão do estudo das aproximações a partir do estudo de Fração contínua. A discussão é centralizada no estudo das frações contínuas, explorando sua parte histórica, conceitos básicos e sua relação com o Algoritmo de Euclides. É mostrada a importância das aproximações tanto de números racionais como irracionais,afim de diminuir o abismo existente entre o finito e o infinito para a construção do conjunto dos Reais. No capítulo final apresento um minicurso para alunos do Ensino Médio, de escola pública, que buscam por cursos superiores na área de exatas e objetivam alcançar uma maior integração com este importante segmento. Todos os assuntos abordados neste Trabalho serão desenvolvidos no curso, mostrando suas propriedades e aplicações.