Made available in DSpace on 2018-08-01T23:31:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese_10318_Tese Geraldo Broetto.pdf: 11130067 bytes, checksum: 87472ba856045bde35029cafe5d1002f (MD5) Previous issue date: 2016-02-26 / A literatura referente ao ensino e à aprendizagem de números irracionais aponta para deficiências e inadequações relacionadas a esse tema, tanto nos livros didáticos quanto na formação do professor de matemática, com vistas à sua atuação na educação básica. A partir desse cenário, realizamos uma pesquisa em educação matemática, de natureza qualitativa e com intervenção em sala de aula. O objetivo deste trabalho de doutorado foi diagnosticar as imagens conceituais de números racionais e irracionais trazidas por licenciandos ingressantes na matemática, bem como analisar as movimentações dessas imagens ao longo da pesquisa. Os dados foram coletados em uma turma de ingressantes na licenciatura em matemática do Instituto Federal do Espírito Santo Ifes Campus Vitória, durante o ano de 2014. O quadro teórico utilizado foi a imagem do conceito (TALL; VINNER, 1981), compreensão instrumental e relacional (SKEMP, 1976), exemplos protótipos e associações com atributos relevantes e irrelevantes (HERSHKOWITZ, 1994). A análise dos dados apontou à precariedade dos conhecimentos relacionados a números irracionais dos alunos ingressantes, com predominância de exemplos protótipos e de uma compreensão quando muito instrumental do assunto. A intervenção pedagógica mostrou-se capaz de desequilibrar cognitivamente os licenciandos, além de contribuir para a conscientização acerca de seus próprios conhecimentos e limitações. As movimentações das imagens conceituais alcançadas pelos participantes da pesquisa também trouxeram ganhos significativos aos sujeitos, além de apontar para novas possibilidades e futuras investigações.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profi ssional em Matemática em Rede Nacional, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-03-20T20:38:38Z No. of bitstreams: 1 2014_GlaucoAndreMachado.pdf: 1775143 bytes, checksum: db72009c0df8998f21901a1fff64ab05 (MD5) / Rejected by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br), reason: Ana, o arquivo não pertence aos metadados descritos. Por favor, verificar. Obrigada! Jacqueline on 2015-05-15T15:23:07Z (GMT) / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-05-15T15:35:10Z No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-18T10:57:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_HugoSilvaNoleto.pdf: 753241 bytes, checksum: 40c2ff6acb82143469db0c978348c298 (MD5) / Este trabalho tem como objetivo demonstrar a irracionalidade de vários números que envolvem raízes não exatas e representar números racionais e raízes quadradas não exatas na forma de uma fração contínua, além de apresentar exercícios envolvendo esses temas e que podem ser utilizados pelo professor do ensino básico em sala de aula. Haverá demonstrações de irracionalidade de números da forma (veja fórmulas no arquivo), utilizando alguns conhecimentos de nível superior, provaremos a irracionalidade das Expressões (veja fórmulas no arquivo) e da constante de Euler e. Além disso, serão apresentadas técnicas que permitem gerar outros números irracionais que envolvam raízes não exatas, através de resultados provenientes do estudo dos polinômios. Veremos também, que existem métodos iterativos que permitem escrever números racionais e raízes quadradas não exatas como uma fração contínua. Neste segundo caso, tal representação pode ser uma fração contínua simples ou não, que permite aproximar o valor da raiz quadrada o quanto quisermos, através de cálculos simples, que podem facilmente ser efetuados por alunos de ensino fundamental e médio. _____________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The main goal of this work is to demonstrate the irrationality of several numbers involving non-exact roots and how to represent rational numbers and non-exact square roots in the form of continued fractions. In addition, we present exercises involving these topics, which can be used by secondary school teachers in their classroom. The irrationality of numbers in the form (veja fórmulas no arquivo) will be demonstrated and, using university-level Mathematics, we will prove the irrationality of the expressions (veja fórmulas no arquivo) and of the Euler constant e. Moveover, we will present techniques allowing the construction of other irrational numbers involving non-exact roots related to results obtained in the study of polynomials. We will also see that there are iterative methods that allow us to write rational numbers and non-exact square roots as continued fractions. In the latter case, such representation may be simple or not and it allows us to approximate the value of the square root as much as we wish, using simple calculations, which can be easily done by primary and/or secondary students.

Orientador: Elíris Cristina Rizziolli / Banca: Aldicio José Miranda / Banca: Thiago de Melo / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior / Resumo: Quando John Napier desenvolveu seu estudo sobre logaritmo, ele com certeza não imaginou as implicações futuras de suas descobertas. O número e tem importância estratégica nas aplicações de várias áreas do conhecimento científico. Esse trabalho tem como objetivo apresentar o número e como limite in nito de uma sequência, demonstrar sua existência, irracionalidade e transcendência / Abstract: When John Napier developed his study of logarithm, he certainly did not imagine the future implications of their ndings. The number e has strategic importance in applications from various areas of scienti c knowledge. This work aims to present the number e as the limit of in nite sequence, demonstrating its existence, irrationality and transcendence / Mestre

Submitted by Marco Antônio de Ramos Chagas (mchagas@ufv.br) on 2017-04-18T13:52:15Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 699469 bytes, checksum: c7d671671b91733f2cf35689d2a54f75 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-18T13:52:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 699469 bytes, checksum: c7d671671b91733f2cf35689d2a54f75 (MD5) Previous issue date: 2016-07-07 / Este trabalho traz algumas discussões relacionadas ao ensino dos números irracionais no ensino básico (fundamental e médio) com algumas propostas de aplicações em sala de aula utilizando o geogebra como ferramenta auxiliar no processo de ensino\aprendizagem. Abordamos sobre algumas propriedades importantes referentes aos números irracionais bem como algumas aplicações destes no dia a dia. O texto traz ainda propriedades e aplicações de alguns dos números irracionais transcendentes mais conhecidos como π (pi), φ (phi) e o número de Euler e, além disso, ainda falamos sobre a maneira com a qual os PCN’s e o CBC sugerem a abordagem deste conjunto numérico com suas propriedades no ensino fundamental e médio e exibimos um panorama sobre a maneira como alguns livros do ensino básico abordam o tema. / This work brings some discussions related to the teaching of irrational numbers in basic edu- cation (primary and secondary) with some proposals for applications in the classroom using geogebra as an auxiliary tool in the teaching\learning. We approach on some important proper- ties related to irrational numbers as well as some applications of these on a daily basis. The text also contains properties and applications of some of the irrational numbers transcendent better known as π (pi), φ (phi) and Euler’s number e, and Moreover, we still talk about the way in which the PCN ’s and the CBC suggest to approach this number along with its properties in primary and secondary education and display an overview of how some of the basic education books address the topic .

OLIVEIRA, Francisco Lucas Santos. Histórico, cálculo e irracionalidade de pi-grego. 2015. 46 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Juazeiro do Norte, 2015 / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-08-24T17:17:27Z No. of bitstreams: 1 2015_dis_flsoliveira.pdf: 881186 bytes, checksum: beea67855eae3c16226236fb5213819f (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-08-25T11:31:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_dis_flsoliveira.pdf: 881186 bytes, checksum: beea67855eae3c16226236fb5213819f (MD5) / Made available in DSpace on 2015-08-25T11:31:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_dis_flsoliveira.pdf: 881186 bytes, checksum: beea67855eae3c16226236fb5213819f (MD5) Previous issue date: 2015 / pi is a number of singular nature because several men in different historical moments lingered themselves to calculate and study it. Circles can be seen in almost all places, and as a consequence, so can pi. Due to being so present in the reality, a huge number of mathematicians devoted themselves to the study of this number and its numerical value. This work, result of much research, will show many of the different ways that the mathematicians took to find an approximation for pi. We will also approach in this work the curious founds involving this number, the famous problems around it as well as the diverse methods which were used to calculate it. The search for the numerical value took the mathematicians to assume its irrationality which was proved afterwards and will be done here. We will finish approaching how we can calculate pi in the classroom in a different way. / O pi é um número de natureza singular, pois muitos homens em diversos momentos históricos se detiveram a calculá-lo e estudá-lo. Círculos podem ser vistos em quase todos os lugares, e como consequência, o pi também. Por estar tão presente na realidade, muitos foram os matematicos que se dedicaram ao estudo desse número e de seu valor numérico. Este trabalho, fruto de muita pesquisa, mostrará muitos dos diversos caminhos que os matemáticos fizeram para encontrarem uma aproximação para pi . Trataremos também neste trabalho as curiosas descobertas envolvendo este número, os famosos problemas em torno dele, assim como também os diversos métodos que foram usados para calculá-lo. A busca pelo valor numérico de pi levou os matemáticos a suporem sua irracionalidade, que posteriormente fora provada e também será feita aqui. Finalizaremos tratando de como podemos calcular de uma maneira diferenciadana sala de aula.

Nesta dissertação são apresentadas algumas propriedades de números reais. Descrevemos de maneira breve os conjuntos numéricos N, Z, Q e R e apresentamos demonstrações detalhadas da irracionalidade dos números \'pi\' e e. Também, apresentamos um texto sobre o número e, menos técnico e mais intuitivo, na tentativa de auxiliar o professor no preparo de aulas sobre o número e para alunos do Ensino Médio, bem como, alunos de cursos de Licenciatura em Matemática / In this thesis we present some properties of real numbers. We describe briefly the numerical sets N, Z, Q and R, and we present detailed proofs of irrationality of numbers \'pi\' and e. We also present a text about the number e less technical and more intuitive in an attempt to assist the teacher in preparing lessons about number e for High School students as well as for Teaching degree in Mathematics students

Orientador: Elíris Cristina Rizziolli / Banca: Aldicio José Miranda / Banca: Marta Cilene Gadotti / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior / Resumo: O objetivo desta dissertação é fazer uma exposição elementar sobre a irracionalidade de certos números reais, a construção de um número transcendente, além disso, demonstrar a irracionalidade e transcendência do número π. Entre outras ferramentas, utilizamos o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável. / Abstract: The purpose of this dissertation is to present an elementary statement about irrationality of certain real numbers, the construction of a transcendental number, furthermore demonstrate the irrationality and transcendence of the π number. Among other tools, we have made use the Di erential and Integral Calculus of one variable. / Mestre

Orientador: Elíris Cristina Rizziolli / Banca: Aldício José Miranda / Banca: Marta Cilene Gadotti / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior / Resumo: Tudo é número, diria o famoso matemático grego Pitágoras. Os números estão a nossa volta, como o oxigênio que respiramos. Primeiro vieram os naturais, depois os inteiros, os racionais e os incríveis irracionais, que deixaram os pitagóricos tão perplexos a ponto de escondê-los. Números primos, perfeitos e outros vieram. E quando tudo parecia ser real apareceram os imaginários. Que imaginação tem esses matemáticos! Vamos nos aprofundar em um grupo intrigante de números chamados transcendentes e aos números estudados por um matemático francês chamado Liouville / Abstract: All is number, say the famous Greek mathematician Pythagoras. The numbers are all around us, like the oxygen we breathe. First came the natural, then the integers, the rational and the irrational incredible that left perplexed the Pythagoreans so as to hide them. Prime numbers, perfect and others came. And when everything seemed to be real the imaginary appeared. What have these mathematical imagination! Let's delve in a group of intriguing numbers called transcendental numbers and studied by a French mathematician named Liouville / Mestre

Orientador: João Carlos Ferreira Costa / Banca: Évelin Meneguesso Barbaresco / Banca: Edivaldo Lopes dos Santos / Resumo: Números irracionais e transcendentes intrigam matemáticos desde os primórdios do desenvolvimento matemático. Demonstrar a irracionalidade ou transcendência de um número pode ser uma tarefa extremamente complicada e técnica, mas carrega consigo uma beleza ímpar que fascina muitos matemáticos. No decorrer da história, a demonstração da irracionalidade ou transcendência de alguns números ajudou, por exemplo, na solução de importantes problemas matemáticos, alguns deles propostos desde a Grécia antiga. Mas, apesar de todo o fascínio e importância dessas classes de números, eles quase não são abordados durante os Ensinos Fundamental e Médio. No entanto, acreditamos que tais classes podem ser, mesmo que superficialmente, tratadas com os alunos no sentido de despertar neles a curiosidade e o gosto pela matemática. Muitos conceitos (como o de infinito, cardinalidade, entre outros) e a própria história podem ser usados neste intuito. Assim, a proposta de nosso trabalho é, inicialmente, mostrar a evolução dos conjuntos numéricos apresentando também fatos históricos relacionados a alguns números ou classes de números. Na segunda parte do trabalho, aprofundamos nosso estudo sobre números algébricos e transcendentes. Apresentamos na parte final uma prova da irracionalidade e transcendência dos números e e π. / Abstract: Irrational and transcendental numbers intrigued mathematicians since the beginning of mathematical development. Proving the irrationality or transcendence of a number can be a subject very complicated, however this is a task which have been fascinated many mathematicians. In this work we present some historical information and properties of irrational, algebraic and transcendental numbers. The main part of this work are the proofs of irrationality and transcendence of the numbers e and π. We have noticed these two numbers are known by students in high school, but they are never shown as transcendental numbers. We believe that it is possible to present the notion of transcendental and algebraic numbers for the students, at least superficially. For instance, it is possible to explore the notions of infinite, cardinality, among others and also the rich history of these kind of numbers. / Mestre

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este é um trabalho de pesquisa sobre um conjunto de números (irracionais) que é pouco trabalhado no ensino básico de matemática. Foi uma procura muito interessante e enriquecedora, pois encontrei matemáticos e historiadores com visões bem diferentes. Muitos deles não aceitavam este novo conjunto. Para Leopold Kronecker, só existia o conjunto dos números inteiros. Já para Cantor e Dedekind, o aparecimento dos irracionais foi extremamente importante para o desenvolvimento da matemática, abrindo novos horizontes. Menciono aqui um pouco da vida e da obra de alguns matemáticos que se envolveram com os números irracionais. Tratamos ainda da descoberta dos incomensuráveis, ou seja, como iniciou-se o problema da incomensurabilidade, e do retângulo áureo e sua importância em outras áreas. O trabalho mostra também dois grupos de números que não são mencionados quando ensinamos equações algébricas, que são os números algébricos e os números transcendentes, assim como teoremas essenciais para a prova da transcendência dos irracionais especiais e . Por fim, proponho uma aula para uma turma do 3 ano do Ensino Médio com o objetivo de mostrar a irracionalidade de alguns números, usando os teoremas pertinentes / This is a research about a set of numbers (irrationals) that is little explored in secondary school mathematics teaching. It was a very interesting and enriching search, because quite contrary facts were found. Several 19th century mathematicians did not accept this new set of numbers. To Leopold kronecker, only the set of the integers existed. To Cantor and Dedekind, the irrational numbers were extremely important for the development of mathematics, opening new horizons. I also mention the life and work of some mathematicians who were involved with the irrational numbers the discovery of the incommensurability was iniciated. The golden rectangle and its importance in other areas. The work also presents two groups of numbers that are not mentioned when algebraic equations are taught, the algebraic numbers and transcendental numbers. Essential theorems for the proof of the special irrational numbers e . Finnaly, I propose a lesson to a 3rd year high school class in order to show the irrationality of some numbers, using the relevant theorems