A path on n vertices, denoted by Pn, is a simple graph whose vertices can be ordered so that two vertices are adjacent if and only if they are consecutive in the order. A fourth power path, Pn4, is obtained from Pn by adding edges between any two vertices, u and v, whose distance in Pn, denoted by dPn(u,v), is less than or equal to four. The diameter of a graph G, denoted diam(G) is the greatest distance between any two distinct vertices of G. A radio labeling of a graph G is a function f that assigns to each vertex a label from the set {0,1,2,...} such that |f(u)−f(v)| ≥ diam(G)−d(u,v)+1 holds for any two distinct vertices, u and v in G (i.e., u, v ∈ V (G)). The greatest value assigned to a vertex by f is called the span of the radio labeling f, i.e., spanf =max{f(v) : v ∈ V (G)}. The radio number of G, rn(G), is the minimum span of f over all radio labelings f of G. In this paper, we provide a lower bound for the radio number of the fourth power path.

For k∈{Z}+ and G a simple connected graph, a k-radio labeling f:VG→Z+ of G requires all pairs of distinct vertices u and v to satisfy |f(u)-f(v)|≥ k+1-d(u,v). When k=1, this requirement gives rise to the familiar labeling known as vertex coloring for which each vertex of a graph is labeled so that adjacent vertices have different "colors". We consider k-radio labelings of G when k=diam(G). In this setting, no two vertices can have the same label, so graphs that have radio labelings of consecutive integers are one extreme on the spectrum of possibilities; graphs that can be labeled with such a labeling are called radio graceful. In this thesis, we give four main results on the existence of radio graceful graphs, which focus on Hamming graphs (Cartesian products of complete graphs) and a generalization of the Petersen graph. In particular, we prove the existence of radio graceful graphs of arbitrary diameter, a result previously unknown. Two of these main results show that, under certain conditions, the tth Cartesian power Gt of a radio graceful graph G is also radio graceful. We will also speak to occasions when Gt is not radio graceful despite G being so, as well as some partial results about necessary and sufficient conditions for a graph G so that Gt is radio graceful.

Das S100A4-Protein ist für die Manifestierung eines metastatischen Phänotyps bei vielen Tumorarten von enormer Bedeutung. Die Aufklärung der zugrunde liegenden Mechanismen und der Interaktionspartner von S100A4 stellt daher einen vielsprechenden Forschungsansatz dar, um neue Erkenntnisse über das Verhalten von Tumorzellen während des Metastasierungsprozesses zu erhalten. Darauf aufbauend können neue Ansatzpunkte für die Therapie metastasierender Krebserkrankungen gewonnen werden. In dieser Hinsicht ist das bisher einer Behandlung kaum zugängliche maligne Melanom als besonders aggressiver und frühzeitig metastasierender Tumor ein ideales Modell zur Aufklärung der zellulären und molekularen Prozesse, über die S100A4 seine Metastasen-fördernden Wirkungen ausübt. Das Ziel der vorliegenden Arbeit war die biochemische und radiopharmakologische Charakterisierung der S100A4-RAGE-Interaktion sowie die Untersuchung der Beteiligung von S100A4 an Prozessen der Metastasierungskaskade in vitro und in vivo. Dies erforderte die Herstellung von rekombinantem S100A4-Protein und die Generierung von stabil mit S100A4-transfizierten Melanomzellen, die damit eine heraufregulierte S100A4-Proteinbiosynthese aufweisen. Die Gewinnung von rekombinantem S100A4 in biologisch funktioneller Form unter Verwendung eines prokaryotischen Expressionssystems erfolgte mit einem Reinheitsgrad von ca. 92%. Das rekombinante S100A4-Protein wurde mit dem Aktivester N-Succinimidyl-4-[18F]fluorbenzoat radioaktiv markiert und charakterisiert. Es wurde die Interaktion zwischen S100A4 bzw. 18F-markiertem S100A4 und der löslichen RAGE-Isoform sRAGE mit einer moderaten Bindungsaffinität im µM-Bereich nachgewiesen. Des Weiteren erfolgte erstmals die Analyse der radiopharmakologischen Eigenschaften von 18F-S100A4 mittels Untersuchungen zur zellulären Assoziation sowie zur metabolischen Stabilität, Bioverteilung und zu In-vivo-Interaktionen mittels Kleintier-Positronen-Emissions-Tomographie in der Ratte. Die In-vitro-Experimente wurden an Endothelzellen (HAEC) und an stabil mit RAGE-transfizierten A375-, A375-mock bzw. nicht transfizierten A375-Melanomzellen durchgeführt. Die A375-hRAGE-Zellen zeigten eine deutlich heraufregulierte RAGE-Proteinbiosynthese während die Endothelzellen eine vergleichsweise geringe intrazelluläre RAGE-Proteinkonzentration aufwiesen. Bei den Melanomzellen kann aufgrund der höheren Assoziation von 18F-S100A4 an A375-hRAGE-Zellen auf eine selektive Bindung von 18F S100A4 an RAGE-Rezeptoren auf der Zelloberfläche geschlossen werden. Die Assoziation von 18F S100A4 an Endothelzellen war bei 37°C in Gegenwart von nicht markiertem rekombinantem S100A4 signifikant vermindert, dementsprechend findet eine spezifische Interaktion von 18F-S100A4 mit Zelloberflächenrezeptoren der Endothelzellen statt. Dieses Ergebnis und die insgesamt höhere Bindung von 18F S100A4 an Endothelzellen im Vergleich zur Assoziation an Melanomzellen lassen neben RAGE noch andere Rezeptoren wie z. B. internalisierende Scavenger-Rezeptoren vermuten. Die In-vivo-Stabilitätsuntersuchungen verdeutlichen einen proteolytischen Abbau von 18F S100A4, allerdings belegen das Vorhandensein von 67% intaktem 18F-S100A4-Protein nach einer Stunde, die Stabilität von 18F-S100A4 in vivo. Die Bioverteilungs- bzw. PET-Untersuchungen zeigen eine schnelle, innerhalb weniger Minuten stattfindende hohe Akkumulation in den Nieren und verdeutlichen somit die renale Ausscheidung von 18F S100A4. Die maßgeblichen Anreicherungen in Milz, Leber, Blut, Lunge und Nebennieren lassen Interaktionen mit Oberflächenrezeptoren dieser Gewebe erkennen. Die temporäre Retention von 18F-S100A4 in der Lunge, dem Hauptsyntheseorgan von RAGE, und die verminderte 18F-S100A4-Akkumulation in Gegenwart des spezifischen RAGE-Liganden glykLDL ist ein Hinweis dafür, dass S100A4 in vivo in der Lunge an RAGE bindet. Die Aktivitätsanreicherungen in Milz, Leber und Nebenniere deuten aufgrund der geringeren RAGE-Synthese in diesen Organen auf die Interaktion von 18F-S100A4 mit anderen Zelloberflächenrezeptoren z. B. aus der Familie der Scavenger-Rezeptoren hin. Die Beteiligung von S100A4 an Metastasierungsprozessen des malignen Melanoms wurde an stabil mit S100A4-transfizierten A375-Melanomzellen, die eine Heraufregulierung der humanen bzw. murinen S100A4-Proteinbiosynthese im Vergleich zu A375-mock- (Vektor-Kontrolle) und nicht-transfizierten A375-Zellen zeigen, untersucht. Die A375-hS100A4-Zellen sezernierten zudem eine signifikant höhere S100A4-Proteinkonzentration in das umgebende Zellkulturmedium im Vergleich zu den Kontrollen. In dieser Hinsicht konnte bei den A375-hS100A4-Zellen, vermutlich aufgrund der höheren extrazellulären S100A4-Konzentration, eine gesteigerte Proliferations-, Motilitäts-, Migrations- und Invasionsrate gegenüber den A375-mock- und A375-Zellen nachgewiesen werden. In diesem Zusammenhang stehen ebenso die gesteigerte RAGE-Proteinbiosynthese und die signifikant höhere Aktivität des Transkriptionsfaktors NF-κB bei A375-Zellen nach 24-stündiger Inkubation mit Kulturmedium der A375-hS100A4-Zellen. Demnach wirkt vermutlich das extrazelluläre S100A4-Protein als autokriner bzw. parakriner Regulator von RAGE und NF κB. Die subkutane Injektion der A375- und stabil transfizierten A375-Melanomzellen in Nacktmäuse führte zur Entwicklung subkutaner Tumore an der Injektionsstelle. Bereits zwei Wochen nach der Injektion etablierten die A375-hS100A4-Zellen die signifikant größeren Tumore im Vergleich zu den A375-mS100A4-, A375-mock und A375-Zellen. Nach Injektion der Zellen in die Schwanzvene der Nacktmäuse konnte keine Entwicklung von Metastasen im Tierkörper festgestellt werden. IN DER VORLIEGENDEN ARBEIT WURDE NACHGEWIESEN: • RAGE ist ein Rezeptor für das S100A4-Protein. Allerdings gibt es eindeutige Hinweise für weitere S100A4-Zielproteine an der Zelloberfläche. • Die bedeutende Rolle von extrazellulärem S100A4 bei wichtigen zellulären Metastasierungsprozessen sowie bei der Aktivierung von Signalproteinen wie NF-κB und RAGE beim malignen Melanom. Die weitere Aufklärung der S100A4-spezifischen Signalkaskaden und Rezeptoren bei metastasierenden Tumorerkrankungen sowie die Charakterisierung von S100A4 als klinischen Parameter bei Patienten mit malignem Melanom stellen hoch interessante Aspekte in der Krebsforschung dar.

Das S100A4-Protein ist für die Manifestierung eines metastatischen Phänotyps bei vielen Tumorarten von enormer Bedeutung. Die Aufklärung der zugrunde liegenden Mechanismen und der Interaktionspartner von S100A4 stellt daher einen vielsprechenden Forschungsansatz dar, um neue Erkenntnisse über das Verhalten von Tumorzellen während des Metastasierungsprozesses zu erhalten. Darauf aufbauend können neue Ansatzpunkte für die Therapie metastasierender Krebserkrankungen gewonnen werden. In dieser Hinsicht ist das bisher einer Behandlung kaum zugängliche maligne Melanom als besonders aggressiver und frühzeitig metastasierender Tumor ein ideales Modell zur Aufklärung der zellulären und molekularen Prozesse, über die S100A4 seine Metastasen-fördernden Wirkungen ausübt. Das Ziel der vorliegenden Arbeit war die biochemische und radiopharmakologische Charakterisierung der S100A4-RAGE-Interaktion sowie die Untersuchung der Beteiligung von S100A4 an Prozessen der Metastasierungskaskade in vitro und in vivo. Dies erforderte die Herstellung von rekombinantem S100A4-Protein und die Generierung von stabil mit S100A4-transfizierten Melanomzellen, die damit eine heraufregulierte S100A4-Proteinbiosynthese aufweisen. Die Gewinnung von rekombinantem S100A4 in biologisch funktioneller Form unter Verwendung eines prokaryotischen Expressionssystems erfolgte mit einem Reinheitsgrad von ca. 92%. Das rekombinante S100A4-Protein wurde mit dem Aktivester N-Succinimidyl-4-[18F]fluorbenzoat radioaktiv markiert und charakterisiert. Es wurde die Interaktion zwischen S100A4 bzw. 18F-markiertem S100A4 und der löslichen RAGE-Isoform sRAGE mit einer moderaten Bindungsaffinität im µM-Bereich nachgewiesen. Des Weiteren erfolgte erstmals die Analyse der radiopharmakologischen Eigenschaften von 18F-S100A4 mittels Untersuchungen zur zellulären Assoziation sowie zur metabolischen Stabilität, Bioverteilung und zu In-vivo-Interaktionen mittels Kleintier-Positronen-Emissions-Tomographie in der Ratte. Die In-vitro-Experimente wurden an Endothelzellen (HAEC) und an stabil mit RAGE-transfizierten A375-, A375-mock bzw. nicht transfizierten A375-Melanomzellen durchgeführt. Die A375-hRAGE-Zellen zeigten eine deutlich heraufregulierte RAGE-Proteinbiosynthese während die Endothelzellen eine vergleichsweise geringe intrazelluläre RAGE-Proteinkonzentration aufwiesen. Bei den Melanomzellen kann aufgrund der höheren Assoziation von 18F-S100A4 an A375-hRAGE-Zellen auf eine selektive Bindung von 18F S100A4 an RAGE-Rezeptoren auf der Zelloberfläche geschlossen werden. Die Assoziation von 18F S100A4 an Endothelzellen war bei 37°C in Gegenwart von nicht markiertem rekombinantem S100A4 signifikant vermindert, dementsprechend findet eine spezifische Interaktion von 18F-S100A4 mit Zelloberflächenrezeptoren der Endothelzellen statt. Dieses Ergebnis und die insgesamt höhere Bindung von 18F S100A4 an Endothelzellen im Vergleich zur Assoziation an Melanomzellen lassen neben RAGE noch andere Rezeptoren wie z. B. internalisierende Scavenger-Rezeptoren vermuten. Die In-vivo-Stabilitätsuntersuchungen verdeutlichen einen proteolytischen Abbau von 18F S100A4, allerdings belegen das Vorhandensein von 67% intaktem 18F-S100A4-Protein nach einer Stunde, die Stabilität von 18F-S100A4 in vivo. Die Bioverteilungs- bzw. PET-Untersuchungen zeigen eine schnelle, innerhalb weniger Minuten stattfindende hohe Akkumulation in den Nieren und verdeutlichen somit die renale Ausscheidung von 18F S100A4. Die maßgeblichen Anreicherungen in Milz, Leber, Blut, Lunge und Nebennieren lassen Interaktionen mit Oberflächenrezeptoren dieser Gewebe erkennen. Die temporäre Retention von 18F-S100A4 in der Lunge, dem Hauptsyntheseorgan von RAGE, und die verminderte 18F-S100A4-Akkumulation in Gegenwart des spezifischen RAGE-Liganden glykLDL ist ein Hinweis dafür, dass S100A4 in vivo in der Lunge an RAGE bindet. Die Aktivitätsanreicherungen in Milz, Leber und Nebenniere deuten aufgrund der geringeren RAGE-Synthese in diesen Organen auf die Interaktion von 18F-S100A4 mit anderen Zelloberflächenrezeptoren z. B. aus der Familie der Scavenger-Rezeptoren hin. Die Beteiligung von S100A4 an Metastasierungsprozessen des malignen Melanoms wurde an stabil mit S100A4-transfizierten A375-Melanomzellen, die eine Heraufregulierung der humanen bzw. murinen S100A4-Proteinbiosynthese im Vergleich zu A375-mock- (Vektor-Kontrolle) und nicht-transfizierten A375-Zellen zeigen, untersucht. Die A375-hS100A4-Zellen sezernierten zudem eine signifikant höhere S100A4-Proteinkonzentration in das umgebende Zellkulturmedium im Vergleich zu den Kontrollen. In dieser Hinsicht konnte bei den A375-hS100A4-Zellen, vermutlich aufgrund der höheren extrazellulären S100A4-Konzentration, eine gesteigerte Proliferations-, Motilitäts-, Migrations- und Invasionsrate gegenüber den A375-mock- und A375-Zellen nachgewiesen werden. In diesem Zusammenhang stehen ebenso die gesteigerte RAGE-Proteinbiosynthese und die signifikant höhere Aktivität des Transkriptionsfaktors NF-κB bei A375-Zellen nach 24-stündiger Inkubation mit Kulturmedium der A375-hS100A4-Zellen. Demnach wirkt vermutlich das extrazelluläre S100A4-Protein als autokriner bzw. parakriner Regulator von RAGE und NF κB. Die subkutane Injektion der A375- und stabil transfizierten A375-Melanomzellen in Nacktmäuse führte zur Entwicklung subkutaner Tumore an der Injektionsstelle. Bereits zwei Wochen nach der Injektion etablierten die A375-hS100A4-Zellen die signifikant größeren Tumore im Vergleich zu den A375-mS100A4-, A375-mock und A375-Zellen. Nach Injektion der Zellen in die Schwanzvene der Nacktmäuse konnte keine Entwicklung von Metastasen im Tierkörper festgestellt werden. IN DER VORLIEGENDEN ARBEIT WURDE NACHGEWIESEN: • RAGE ist ein Rezeptor für das S100A4-Protein. Allerdings gibt es eindeutige Hinweise für weitere S100A4-Zielproteine an der Zelloberfläche. • Die bedeutende Rolle von extrazellulärem S100A4 bei wichtigen zellulären Metastasierungsprozessen sowie bei der Aktivierung von Signalproteinen wie NF-κB und RAGE beim malignen Melanom. Die weitere Aufklärung der S100A4-spezifischen Signalkaskaden und Rezeptoren bei metastasierenden Tumorerkrankungen sowie die Charakterisierung von S100A4 als klinischen Parameter bei Patienten mit malignem Melanom stellen hoch interessante Aspekte in der Krebsforschung dar.