Ein zentrales Problem der quantitativen Texturanalyse ist die numerische Inversion der eindimensionalen Radontransformation auf der Lie--Gruppe SO(3) aller Rotationen im dreidimensionalen euklidischen Raum. In der vorliegenden Dissertation wird die Lösbarkeit und Eindeutigkeit dieses inversen Problems untersucht und Fehlerabschätzungen unter Berücksichtigung unvollständiger und fehlerbehafteter Daten hergeleitet. Weiterhin wird ein Algorithmus zur Lösung des inversen Problems vorgeschlagen, welcher auf einer Diskretisierung mittels radialer Basisfunktionen basiert und schnelle Fouriermethoden auf der Kugel und der Lie-Gruppe SO(3) benutzt. In numerischen Tests wird gezeigt, dass der Algorithmus für die Rekonstruktion scharfer Texturen aus Beugungsdaten gemessen auf einem hochauflösenden, ungleichmäßigen Messraster geeignet ist.

The Funk–Radon transform assigns to a function on the two-sphere its mean values along all great circles. We consider the following generalization: we replace the great circles by the small circles being the intersection of the sphere with planes containing a common point ζ inside the sphere. If ζ is the origin, this is just the classical Funk–Radon transform. We find two mappings from the sphere to itself that enable us to represent the generalized Radon transform in terms of the Funk–Radon transform. This representation is utilized to characterize the nullspace and range as well as to prove an inversion formula of the generalized Radon transform.

Ein zentrales Problem der quantitativen Texturanalyse ist die numerische Inversion der eindimensionalen Radontransformation auf der Lie--Gruppe SO(3) aller Rotationen im dreidimensionalen euklidischen Raum. In der vorliegenden Dissertation wird die Lösbarkeit und Eindeutigkeit dieses inversen Problems untersucht und Fehlerabschätzungen unter Berücksichtigung unvollständiger und fehlerbehafteter Daten hergeleitet. Weiterhin wird ein Algorithmus zur Lösung des inversen Problems vorgeschlagen, welcher auf einer Diskretisierung mittels radialer Basisfunktionen basiert und schnelle Fouriermethoden auf der Kugel und der Lie-Gruppe SO(3) benutzt. In numerischen Tests wird gezeigt, dass der Algorithmus für die Rekonstruktion scharfer Texturen aus Beugungsdaten gemessen auf einem hochauflösenden, ungleichmäßigen Messraster geeignet ist.

The Funk–Radon transform assigns to a function on the two-sphere its mean values along all great circles. We consider the following generalization: we replace the great circles by the small circles being the intersection of the sphere with planes containing a common point ζ inside the sphere. If ζ is the origin, this is just the classical Funk–Radon transform. We find two mappings from the sphere to itself that enable us to represent the generalized Radon transform in terms of the Funk–Radon transform. This representation is utilized to characterize the nullspace and range as well as to prove an inversion formula of the generalized Radon transform.

University, Diss., 1998--Konstanz.

The purpose of this paper is to assemble measurement chain dedicated to contactless measuring of acoustic fields emitted by test sources and to validate its results. At first author discusses possible optic methods which can be used to measure acoustic fields, then he talks about theoretical foundations which are needed to measure data and to reconstruct final data. The last two chapters are dedicated to cover basics about created program and to analyse various aspects which influence measured and reconstructed data. Created measurement chain is fully functional, at the end of this thesis are proposed some ways of improving

The present thesis considers the problem of reconstructing a function f that is defined on the d-dimensional unit sphere from its mean values along hyperplane sections. In case of the two-dimensional sphere, these plane sections are circles. In many tomographic applications, however, only limited data is available. Therefore, one is interested in the reconstruction of the function f from its mean values with respect to only some subfamily of all hyperplane sections of the sphere. Compared with the full data case, the limited data problem is more challenging and raises several questions. The first one is the injectivity, i.e., can any function be uniquely reconstructed from the available data? Further issues are the stability of the reconstruction, which is closely connected with a description of the range, as well as the demand for actual inversion methods or algorithms. We provide a detailed coverage and answers of these questions for different families of hyperplane sections of the sphere such as vertical slices, sections with hyperplanes through a common point and also incomplete great circles. Such reconstruction problems arise in various practical applications like Compton camera imaging, magnetic resonance imaging, photoacoustic tomography, Radar imaging or seismic imaging. Furthermore, we apply our findings about spherical means to the cone-beam transform and prove its singular value decomposition. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Rekonstruktion einer Funktion f, die auf der d-dimensionalen Einheitssphäre definiert ist, anhand ihrer Mittelwerte entlang von Schnitten mit Hyperebenen. Im Fall d=2 sind diese Schnitte genau die Kreise auf der Sphäre. In vielen tomografischen Anwendungen sind aber nur eingeschränkte Daten verfügbar. Deshalb besteht das Interesse an der Rekonstruktion der Funktion f nur anhand der Mittelwerte bestimmter Familien von Hyperebenen-Schnitten der Sphäre. Verglichen mit dem Fall vollständiger Daten birgt dieses Problem mehrere Herausforderungen und Fragen. Die erste ist die Injektivität, also können alle Funktionen anhand der gegebenen Daten eindeutig rekonstruiert werden? Weitere Punkte sind die die Frage nach der Stabilität der Rekonstruktion, welche eng mit einer Beschreibung der Bildmenge verbunden ist, sowie der praktische Bedarf an Rekonstruktionsmethoden und -algorithmen. Diese Arbeit gibt einen detaillierten Überblick und Antworten auf diese Fragen für verschiedene Familien von Hyperebenen-Schnitten, angefangen von vertikalen Schnitten über Schnitte mit Hyperebenen durch einen festen Punkt sowie Kreisbögen. Solche Rekonstruktionsprobleme treten in diversen Anwendungen auf wie der Bildgebung mittels Compton-Kamera, Magnetresonanztomografie, fotoakustischen Tomografie, Radar-Bildgebung sowie der Tomografie seismischer Wellen. Weiterhin nutzen wir unsere Ergebnisse über sphärische Mittelwerte, um eine Singulärwertzerlegung für die Kegelstrahltomografie zu zeigen.