In this PhD thesis we study some weighted regular Sturm-Liouville problems in which the weight function takes on both positive and negative signs in an appropriate interval [a,b]. With such  problems there is the possible existence of non-real eigenvalues, unlike in the definite case (i.e. left or right definite) in which only real eigenvalues exist. This PhD thesis consists of five papers (papers A-E) and an introduction to this area, which puts these papers into a more general frame. In paper A we give some precise estimates on the Richardson number for the two turning point case, thereby complementing the work of Jabon and Atkinson from 1984 in an essential way. We also give a corrected version of their result since there seems to be a typographical error in their paper. In paper B we show that the interlacing property, which holds in the one turning point case, does not hold in the two turning point case. The paper consists of a detailed presentation of numerical results of the case in which the weight function is allowed to change its sign twice in the interval (-1, 2). We also present some theoretical results which support the numerical results. Moreover, a number of new open questions are raised. We also observe that the real and imaginary parts of a non-real eigenfunction either have the same number of zeros in the interval (-1,2) or the numbers of zeros differ by two. In paper C, we obtain bounds on real and imaginary parts of non-real eigenvalues of a non-definite Sturm-Liouville problem, with Dirichlet boundary conditions, thus complementing the results obtained in a paper byBehrndt et.al. from 2013 in an essential way. In paper D we obtain a lower bound on the eigenvalue of the smallest modulus associated with a Dirichlet problem in the general case of a regular Sturm-Liouville problem. In paper E we expand upon the basic oscillation theory for general boundary problems of the form   -y''+q(x)y=λw(x)y,  on  I = [a,b], where  q(x) and w(x) are real-valued continuous functions on [a,b] and y is required to satisfy a pair of homogeneous separated boundary conditions at the end-points. Already in 1918 Richardson proved that, in the case of the Dirichlet problem,  if w(x) changes its sign exactly once and the boundary problem is  non-definite, then the zeros of the real and imaginary parts of any non-real eigenfunction interlace. We show that, unfortunately, this result is false in the case of two turning points, thus removing any hope for a general separation theorem for the zeros of the non-real eigenfunctions. Furthermore, we show that when a non-real eigenfunction vanishes inside I, then the absolute value of the difference between the total number of zeros of its real and imaginary parts is exactly 2.

El análisis y el control de las vibraciones cobra especial importancia en muchas ramas de la ingeniería, en especial la ingeniería mecánica, civil, aeronáutica y automovilística. Tal es así que prácticamente se identi¿ca como un área independiente dentro del análisis dinámico de estructuras. Desde los comienzos de esta teoría, las fuerzas disipativas o de amortiguamiento han sido uno de los fenómenos más difíciles de modelizar. El modelo viscoso, por su sencillez y versatilidad ha sido y sigue siendo el gran paradigma de los modelos de amortiguamiento. Sin embargo, como consecuencia de la aparición de materiales con memoria se introdujo el fenómeno de la viscoelasticidad; Esta, si bien está también 'íntimamente ligada ' a la velocidad de la respuesta, necesito de la introducción de las denominadas funciones hereditarias, que permiten poner a las fuerzas disipativas como función no solo de la velocidad instantánea sino de la historia de velocidades desde el comienzo del movimiento, de ahí el termino memoria. De forma natural, el avance teórico introducido en el modelo supone también una complicación computacional, pues donde antes teníamos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ahora tenemos un sistema de ecuaciones integro-diferenciales. El análisis de las vibraciones libres de los sistemas con amortiguamiento viscoelástico conduce a un problema nolineal de autovalores donde la característica principal es una matriz de amortiguamiento que depende de la frecuencia de excitación. El estudio de la solución de autovalores y autovectores de este problema es importante si se desean conocer los modos de vibración de la estructura o si se pretende obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia del sistema. El objetivo fundamental de esta Tesis Doctoral es doble: Por un lado, profundizar en el conocimiento del problema de autovalores de sistemas viscoelásticos proponiendo para ello nuevos métodos numéricos de resolución. Por otro, desarrollar un nuevo modelo viscoso que, bajo ciertas condiciones, reproduzca la respuesta del modelo viscoelástico con su¿ciente aproximación. La Tesis se divide en ocho capítulos, de ellos el cuerpo principal se encuentra en los seis centrales (Capítulos 2 a 7. Todos ellos son artículos de investigación que, o bien han sido publicados, o bien están en proceso de revisión en revistas contenidas en el Journal Citation Reports (JCR). Por esta razón, todos los capítulos conservan la estructura intrínseca de un artículo, incluidas una introducción y una bibliografía en cada uno. Los cuatro primeros capítulos (Capítulos 2 a 5) se centran en el estudio del problema no lineal de autovalores. Se proponen dos metodologías de resolución: la primera es un procedimiento iterativo basado en el esquema del punto-¿jo y desarrollado para sistemas proporcionales o ligeramente no-proporcionales (aquellos en los que los modos se presentan desacoplados o casi desacoplados). La segunda metodología (presentada en dos capítulos diferentes), denominada paramétrica, permite obtener soluciones casi-analíticas de los autovalores, tanto para sistemas de un grado de libertad como para sistemas de múltiples grados de libertad y dentro de 'estos, para sistemas proporcionales y no proporcionales. El estudio del problema de autovalores se completa con un capítulo dedicado a los autovalores reales, también denominados autovalores no viscosos. En 'él se demuestra una nueva caracterización maten ática que deben cumplir dichos autovalores y que permite proponer un nuevo concepto: el conjunto no-viscoso. Los dos 'últimos capítulos (Capítulos 6 y 7) analizan el Modelo Viscoso Equivalente como propuesta para la modelización de la respuesta de sistemas viscoelásticos. El análisis se realiza desde el dominio de la frecuencia estudiando la función de transferencia. En una primera etapa (pen último capítulo), de naturaleza más maten ática, se demuestra que la función de transferencia exacta de un modelo viscoelástico se puede expresar como suma de una función de transferencia propia de un modelo viscoso más un término denominado residual, directamente dependiente del nivel de amortiguamiento inducido y del acoplamiento modal (noproporcionalidad de la matriz de amortiguamiento). En una segunda etapa ('ultimo capítulo), se desarrolla una aplicación para estructuras reales formadas por entramados planos de elementos 1D amortiguados con capas de material visco elástico. Este tipo de estructuras ha permitido usar una variante mejorada del método paramétrico para la obtención de los autovalores, de forma que en este 'ultimo capítulo ha servido como nexo de unión de las metodologías más importantes desarrolladas en la Tesis. / Lázaro Navarro, M. (2013). The Eigenvalue Problem in Linear Viscoelastic Structures: New Numerical Approaches and the Equivalent Viscous Model [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/30062 / TESIS