Šiame darbe pristatomi nauji rezultatai, gauti tiriant diskretųjį Šturmo ir Liuvilio uždavinį su viena klasikine o kita nelokaliąja integraline kraštine sąlyga. Pirmoje dalyje pristatomas diferencialinis Šturmo ir Liuvilio uždavinys su nelokaliąja integraline kraštine sąlyga. Šio uždavinio kompleksinė spektro dalis buvo ištirta bakalauro darbe. Antroje darbo dalyje diferencialinis uždavinys suvedamas į antros eilės baigtinių skirtumų schemą, kai nelokalioji integralinė sąlyga aproksimuojama pagal trapecijų arba Simpsono formulę. Ištirta skirtuminių operatorių su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis spektro struktūra, tikrinių reikšmių priklausomybė nuo parametrų γ ir ξ esančių nelokaliosiose sąlygose, reikšmių ir pasirinkto tinklo taškų skaičiaus n. Rezultatai pateikiami charakteristinių funkcijų grafikais ir jų projekcijomis. / In this paper we present a new result of the investigation discrete Sturm--Liuoville problem with one classical and the other nonlocal integral boundary condition. The first part of paper presents differential Sturm Liuoville problem with integral boundary condition. Complex part of spectrum for Sturm Liuoville problem with integral boundary condition was investigated in Bachelor Thesis. The second part of paper present result of investigation second-order finite difference scheme, when the integral conditions condition is approximated by the Trapezoid or Simpson's rules. There are investigated the spectrum of the finite-difference schemes and it dependence on the parameters γ and ξ from nonlocal boundary condition n,where n number of grid points. Simulation results are presented as graphs and projections of characteristic functions.

Darbą sudaro: įvadas, analitinė ir praktinės dalys. Analitinėje dalyje trumpai aptariama su nagrinėjamu uždaviniu susijusi teorija ir pats uždavinys. Analitinėje dalyje yra trys poskyriai, juose pateikiama teorija, reikalinga nagrinėjamo uždavinio tyrimui. Praktinėje dalyje nagrinėjamas Šturmo ir Liuvilio kraštinis uždavinys su viena klasikine ir kita nelokalia dvitaške kraštine sąlyga. Ištirti keturių nelokalių kraštinių sąlygų atvejai. Kiekvienu kraštinių sąlygų atveju ieškomos kompleksinės tikrinės reikšmės ir tiriama jų kokybinė priklausomybė nuo uždavinio nelokaliosios sąlygos parametrų ir . Darbas iliustruotas charakteristinių funkcijų grafikais. Nustatyta, kad dviejų pirmųjų sąlygų atveju yra pakankamai nesudėtinga charakterisitnių funkcijų priklausomybė nuo parametro . Kitiems dviems atvejams ta priklausomybė yra žymiai sudėtingesnė. Tokios situacijos kruopščiai ištirtos ketvirtame atvejyje. Surasta tikrinių reikšmių elgsena bifurkacinių taškų aplinkoje. / This master thesis consists of introduction, analitical and practical parts. In the analitical part are considered the master thesis problem and theoretical studies, that are correlative with it. This part is rubricated to tree sections. They are designed for theoretical studies that are used to solve all problem of the master thesis. In practical part are examinated four problems: Šturm Louville problem with classical and nonlocal boundary condition. Here are investigated types of four nonlocal boundary conditions. In case of every nonlocal boundary conditions locking for complex eigenvalues and investigating thier quality that dependsupon nonlocal boundary condition parametere and . The work is pictorial of charakterical fukcion graphics. Is determinated, that in case of two condition charakteristical funkcion dependen of parameter is simple. In case of other two condition the dependen is convulated. This situation is examinated in the fourth case. Besides here resolved behaviour of eigenvalues in their points environment.

Magistro darbe pateikiami nauji rezultatai, gauti tiriant diskretųjį Šturmo ir Liuvilio uždavinį su viena klasikine (arba Noimano) ir antra nelokalia dvitaške kraštine sąlyga. Analitinėje dalyje pateikiama teorija, reikalinga nagrinėjamo uždavinio tyrimui ir trumpai pristatomi rezultatai, gauti tiriant panašų uždavinį. Projektinėje dalyje ištirta diferencialinio uždavinio ir baigtinių skirtumų schemų kompleksinės spektro dalies priklausomybė nuo nelokaliųjų kraštinių sąlygų parametrų $\gamma$ ir $\xi$. Dauguma tyrimo rezultatų pateikiama kompleksinės ir realiosios charakteristinių funkcijų grafikais. / In this Master thesis presented new results which are got investigated the Sturm--Liouville problem with one classical (or Neumann) and another two-point nonlocal boundary condition. In the analytical part are presented the theory, which is necessary to study the problem and presented the results of investigation a similar task. In the design part are investigated the spectrum in complex plane depends on the nonlocal boundary conditions parameters $\gamma$ and $\xi$ in differential problem and in the finite difference schemes. Simulation results are presented as graphs of complex-real characteristic functions.

El análisis y el control de las vibraciones cobra especial importancia en muchas ramas de la ingeniería, en especial la ingeniería mecánica, civil, aeronáutica y automovilística. Tal es así que prácticamente se identi¿ca como un área independiente dentro del análisis dinámico de estructuras. Desde los comienzos de esta teoría, las fuerzas disipativas o de amortiguamiento han sido uno de los fenómenos más difíciles de modelizar. El modelo viscoso, por su sencillez y versatilidad ha sido y sigue siendo el gran paradigma de los modelos de amortiguamiento. Sin embargo, como consecuencia de la aparición de materiales con memoria se introdujo el fenómeno de la viscoelasticidad; Esta, si bien está también 'íntimamente ligada ' a la velocidad de la respuesta, necesito de la introducción de las denominadas funciones hereditarias, que permiten poner a las fuerzas disipativas como función no solo de la velocidad instantánea sino de la historia de velocidades desde el comienzo del movimiento, de ahí el termino memoria. De forma natural, el avance teórico introducido en el modelo supone también una complicación computacional, pues donde antes teníamos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ahora tenemos un sistema de ecuaciones integro-diferenciales. El análisis de las vibraciones libres de los sistemas con amortiguamiento viscoelástico conduce a un problema nolineal de autovalores donde la característica principal es una matriz de amortiguamiento que depende de la frecuencia de excitación. El estudio de la solución de autovalores y autovectores de este problema es importante si se desean conocer los modos de vibración de la estructura o si se pretende obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia del sistema. El objetivo fundamental de esta Tesis Doctoral es doble: Por un lado, profundizar en el conocimiento del problema de autovalores de sistemas viscoelásticos proponiendo para ello nuevos métodos numéricos de resolución. Por otro, desarrollar un nuevo modelo viscoso que, bajo ciertas condiciones, reproduzca la respuesta del modelo viscoelástico con su¿ciente aproximación. La Tesis se divide en ocho capítulos, de ellos el cuerpo principal se encuentra en los seis centrales (Capítulos 2 a 7. Todos ellos son artículos de investigación que, o bien han sido publicados, o bien están en proceso de revisión en revistas contenidas en el Journal Citation Reports (JCR). Por esta razón, todos los capítulos conservan la estructura intrínseca de un artículo, incluidas una introducción y una bibliografía en cada uno. Los cuatro primeros capítulos (Capítulos 2 a 5) se centran en el estudio del problema no lineal de autovalores. Se proponen dos metodologías de resolución: la primera es un procedimiento iterativo basado en el esquema del punto-¿jo y desarrollado para sistemas proporcionales o ligeramente no-proporcionales (aquellos en los que los modos se presentan desacoplados o casi desacoplados). La segunda metodología (presentada en dos capítulos diferentes), denominada paramétrica, permite obtener soluciones casi-analíticas de los autovalores, tanto para sistemas de un grado de libertad como para sistemas de múltiples grados de libertad y dentro de 'estos, para sistemas proporcionales y no proporcionales. El estudio del problema de autovalores se completa con un capítulo dedicado a los autovalores reales, también denominados autovalores no viscosos. En 'él se demuestra una nueva caracterización maten ática que deben cumplir dichos autovalores y que permite proponer un nuevo concepto: el conjunto no-viscoso. Los dos 'últimos capítulos (Capítulos 6 y 7) analizan el Modelo Viscoso Equivalente como propuesta para la modelización de la respuesta de sistemas viscoelásticos. El análisis se realiza desde el dominio de la frecuencia estudiando la función de transferencia. En una primera etapa (pen último capítulo), de naturaleza más maten ática, se demuestra que la función de transferencia exacta de un modelo viscoelástico se puede expresar como suma de una función de transferencia propia de un modelo viscoso más un término denominado residual, directamente dependiente del nivel de amortiguamiento inducido y del acoplamiento modal (noproporcionalidad de la matriz de amortiguamiento). En una segunda etapa ('ultimo capítulo), se desarrolla una aplicación para estructuras reales formadas por entramados planos de elementos 1D amortiguados con capas de material visco elástico. Este tipo de estructuras ha permitido usar una variante mejorada del método paramétrico para la obtención de los autovalores, de forma que en este 'ultimo capítulo ha servido como nexo de unión de las metodologías más importantes desarrolladas en la Tesis. / Lázaro Navarro, M. (2013). The Eigenvalue Problem in Linear Viscoelastic Structures: New Numerical Approaches and the Equivalent Viscous Model [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/30062 / TESIS

L’objectif de ce travail est de développer des outils numériques utilisables dans la détermination de manière exacte des propriétés modales des structures sandwichs viscoélastiques composites au vue de la conception des structures sandwichs viscoélastiques légères mais à haut pouvoir amortissant. Pour cela nous avons tout d’abord développé un outil générique implémenté en Matlab pour la détermination des propriétés modales en vibration libre des plaques sandwichs viscoélastiques dont les faces sont en stratifié de plusieurs couches orientées dans diverses directions. L’intérêt de cet outil, basé sur une formulation éléments finis, réside dans sa capacité à prendre en compte l’anisotropie des couches composites, la non linéarité matérielle de la couche viscoélastique traduit par diverses lois viscoélastiques dépendant de la fréquence ainsi que diverses conditions aux limites. La résolution du problème aux valeurs propres non linéaires complexes se fait par le couplage entre la technique d’homotopie, la méthode asymptotique numérique et la différentiation automatique. Ensuite pour permettre une étude continue des effets d’un paramètre de modélisation sur les propriétés modales des sandwichs viscoélastiques, nous avons proposé une méthode générique de résolution de problème résiduel non linéaire aux valeurs propres complexes possédant en plus de la dépendance en fréquence introduite par la couche viscoélastique du coeur, la dépendance du paramètre de modélisation qui décrit un intervalle d’étude bien spécifique. Cette résolution est basée sur la méthode asymptotique numérique, la différentiation automatique, la technique d’homotopie et la continuation et prend en compte diverses lois viscoélastiques. Nous proposons après cela, deux formulations distinctes pour étudier les effets, sur les propriétés amortissantes, de deux paramètres de modélisation qui sont importants dans la conception de sandwichs viscoélastiques à haut pouvoir amortissement. Le premier est l’orientation des fibres des composites dans la référence du sandwich et le second est l’épaisseur des couches qui lorsqu’elles sont bien définies permettent d’obtenir non seulement des structures sandwichs à haut pouvoir amortissant mais très légères. Les équations fortement non linéaires aux valeurs propres complexes obtenues dans ces formulations sont résolues par la nouvelle méthode de résolution d’équation résiduelle développée. Des comparaisons avec des résultats discrets sont faites ainsi que les temps de calcul pour montrer non seulement l’utilité de ces deux formulations mais également celle de la méthode de résolution d’équations résiduelles non linéaires aux valeurs propres complexes à double dépendance / Modeling and design of composite viscoelastic structures with high damping powerThe aim of this thesis is to develop numerical tools to determine accurately damping properties of composite sandwich structures for the design of lightweight viscoelastic sandwichs structures with high damping power. In a first step, we developed a generic tool implemented in Matlab for determining damping properties in free vibration of viscoelastic sandwich plates with laminate faces composed of multilayers. The advantage of this tool, which is based on a finite element formulation, is its ability to take into account the anisotropy of composite layers, the material non-linearity of the viscoelastic core induiced by the frequency-dependent viscoelastic laws and various boundary conditions . The nonlinear complex eigenvalues problem is solved by coupling homotopy technic, asymptotic numerical method and automatic differentiation. Then for the continuous study of a modeling parameter on damping properties of viscoelastic sandwichs, we proposed a generic method to solve the nonlinear residual complex eigenvalues problem which has in addition to the frequency dependence introduced by the viscoelastic core, a modeling parameter dependence that describes a very specific study interval. This resolution is based on asymptotic numerical method, automatic differentiation, homotopy technique and continuation technic and takes into account various viscoelastic laws. We propose after that, two separate formulations to study effects on the damping properties according to two modeling parameters which are important in the design of high viscoelastic sandwichs with high damping power. The first is laminate fibers orientation in the sandwich reference and the second is layers thickness which when they are well defined allow to obtain not only sandwich structures with high damping power but also very light. The highly nonlinear complex eigenvalues problems obtained in these formulations are solved by the new method of resolution of eigenvalue residual problem with two nonlinearity developed before. Comparisons with discrete results and computation time are made to show the usefulness of these two formulations and of the new method of solving nonlinear complex eigenvalues residual problem of two dependances