Submitted by Biblioteca do Instituto de Física (bif@ndc.uff.br) on 2017-06-05T18:45:59Z No. of bitstreams: 1 Dissertação de mestrado - Rafael Mynssem Brum.pdf: 1829207 bytes, checksum: 8b52407e238edb901004b2e8de1dbdaf (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-05T18:45:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação de mestrado - Rafael Mynssem Brum.pdf: 1829207 bytes, checksum: 8b52407e238edb901004b2e8de1dbdaf (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O presente trabalho tem por finalidade descrever as propriedades termodinâmicas de um polímero em uma rede de Bethe de número de coordenação arbitrário q limitado por uma superfície na qual está fixado o monômero inicial da cadeia polimérica. Para isso, consideramos o problema de um ponto de vista combinatório de maneira a obter sua função de partição canônica e através dela (como método clássico da mecânica estatística) encontrarmos as grandezas termodinâmicas de interesse tais como a energia livre de Helmholtz, entropia, energia interna, pressão e etc. Realizamos nosso estudo inicialmente no caso atérmico e posteriormente consideramos uma interação atrativa entre os monômeros e a superfície. Também analisamos, no final de cada caso estudado (específico para q = 4 e geral para qualquer q), a transição de fase associada à adsorção do polímero na parede e seus efeitos na pressão. Notamos que a pressão, em geral, apresenta um decaimento exponencial com a distância em que o polímero está fixado. / This work describes the thermodynamic properties of a polymer on a Bethe lattice of arbitrary coordination number q which is limited by a surface on which the initial monomer of the polymer is xed. For this purpose, we consider the problem from a combinatoria point of view in order to obtain the canonical partiton function and, using clássical methods of statistical mechanics, the thermodynamic quantities of interest, such as the Helmholtz free energy, entropy internal energy, pressure, and so on. Initially we study the athermal case, and afterwards we include attractive interactions between the surface and the chain. We also, at the end of each case studied (q = 4 and general value of q), analize the adsorption transition of the polymer to the surface and its efects on the pressure. We notice that the pressure, in general, shows an exponential decay with the distance to the grafting point.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-graduação em Física / Made available in DSpace on 2012-10-22T11:35:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 246861.pdf: 534401 bytes, checksum: aff6ab2309addcd73150f8373cea5465 (MD5) / Demonstramos neste trabalho que a modulação dos parâmetros de interação dos hamiltonianos de Ising e Blume-Capel, segundo seqüências aperiódicas, pode ocasionar uma mudança de classe de universalidade na rede de Bethe e oscilação log-periódica da magnetização. Observamos possível mudança do expoente crítico da magnetização ß em relação a seu valor em sistemas homogêneos ou periódicos. Esta mudança não ocorre quando a seqüência de Fibonacci é usada. Na seqüência de duplicação de período caracterizamos o expoente ß como uma função da razão JA/JB. Na seqüência de Rudin-Shapiro obtemos evidências de que esta aperiodicidade causa mudança na classe de universalidade do sistema.

Neste trabalho consideramos o modelo de Potts na árvore de Cayley submetida a um campo magnético. Esse campo pode ser representado pela interação dos spins da árvore com um spin adicional, denominado spin fantasma. Essa nova rede passa a ser chamada de árvore de Cayley fechada e assimétrica. Sendo uma rede hierárquica, ela representa soluções exatas que são obtidas quando as técnicas do grupo de renormalização no espaço real são aplicadas. Subtraindo os efeitos de superfície e considerando somente o interior da árvore (rede de Bethe), esses resultados reproduzem os resultados da aproximação de campo médio de Bethe-Peierls. Com a finalidade de estudar a função de correlação do modelo de Potts na rede de Bethe, consideramos primeiramente uma cadeia de Potts interagindo com um spin fantasma. Através das regras de composição em série e paralelo e do método da quebra e colapso para as trasmissividades térmicas (função de correlação) obtemos uma fórmula de recorrência para a função de correlação entre quaisquer dois spins na cadeia. Mostramos então que pela invariança translacional da rede de Bethe qualquer par de spins pode ser mapeado no sistema anterior. A seguir consideramos o modelo de Potts de um estado na árvore de Cayley fechada e assimétrica. Decimando os spins interiores da unidade geradora da rede, obtemos um mapa polinomial quadrático para a transformação do grupo de renormalização (mapa de Bethe-Peierls). O diagrama de fase desse sistema é então obtido do conjunto de Mandelbrot através de uma transformação de Mobius. O mapa de Bethe-Peierls apresenta dois pontos fixos, que são relacionados com as fases ferro e paramagnética e o regime caótico é identificado com a fase vidro de spin. Esse sistema revela ser o exemplo mais simples de vidro de spin de McKay-Berker-Kirkpatrick. Na rede de Bethe e a campo nulo esse sistema apresenta transições de fase de segunda ordem. Analisando o comportamento crítico da função de correlação e de suas derivadas, vemos que se identificarmos a função de correlação entre o spin fantasma e qualquer spin da rede com a magnetização (por spin) e a função de correlação entre dois spins primeiros vizinhos com a energia interna do sistema, cinco expoentes críticos ((&#948, &#946, &#947 &#8217, &#945, &#945 &#8217) são calculados e satisfazem as relações de escala. Para ilustrar o procedimento recursivo apresentado para calcular a função de correlação entre dois spins separados por ligações m na rede de Bethe, consideramos os spins de Potts de um estado. Obtemos então de forma explícita as correlações para m=1, 2 e 3.0 / In this work we consider the Potts model on the Cayley tree subjected to a magnetic Field. This field can be represented by the interaction of the tree spins with an additional one, denominated ghost spin. This new lattice is then called closed-asymmetric Cayley tree. Being a hierarchical lattice it comes to have exact solutions which are obtained when the real-space renormalization group techniques are applied. Subtracting the surface effects and considering only the tree interior (Bethe lattice), these results reproduce the results of Bethe-Peierls mean-field approximation. With the objective of studying the pair-correlation function of the Potts model on the Bethe lattice, we at first consider a Potts chain interacting with a ghost spin. Throughout the series-parallel composition rules and the break-collapse method for the thermal transmissivities (pair-correlation function) we obtain a recursive relation for the correlation function between any two spins on the chain. We then show, due to the translational invariance of the Bethe lattice, that any pair of spins can be mapped into the latter system. Next we consider the one-state Potts model on the closed asymmetric tree. Decimating the inner spins of the generating unit for the lattice, we obtain a quadratic polynomial map for the renormalization group transformation (Bethe-Peierls map). The phase diagram of this system is obtained from the Mandelbrot set throughout a Mobius transformation. The Bethe-Peierls map has two stable fixed points which are related to the ferro and paramagnetic phases and the chaotic regime is identified with the spin-glass phase. This system turns out to be the simplest example of a McKay-Berker-Kirkpatrick spin glass. On the Bethe lattice with vanishing field this system presents second-order phase transitions. Analyzing the critical behavior of the pair-correlation function and of this derivatives, we see that if we identify the correlation function between the ghost spin and any spin on the lattice with the magnetization (per spin), and the correlation function between two nearest-neighbor spins with the internal energy of the system, five critical exponents (&#948, &#946, &#947 &#8217, &#945, &#945 &#8217) are calculated and they satisfy the scaling relations. In order to illustrate the recursive procedure presented to calculate the pair-correlation function between spins m bonds apart on the Bethe lattice, we consider the one-state Potts spins. We obtain explicitly the correlation for m=1, 2 and 3.

Neste trabalho consideramos o modelo de Potts na árvore de Cayley submetida a um campo magnético. Esse campo pode ser representado pela interação dos spins da árvore com um spin adicional, denominado spin fantasma. Essa nova rede passa a ser chamada de árvore de Cayley fechada e assimétrica. Sendo uma rede hierárquica, ela representa soluções exatas que são obtidas quando as técnicas do grupo de renormalização no espaço real são aplicadas. Subtraindo os efeitos de superfície e considerando somente o interior da árvore (rede de Bethe), esses resultados reproduzem os resultados da aproximação de campo médio de Bethe-Peierls. Com a finalidade de estudar a função de correlação do modelo de Potts na rede de Bethe, consideramos primeiramente uma cadeia de Potts interagindo com um spin fantasma. Através das regras de composição em série e paralelo e do método da quebra e colapso para as trasmissividades térmicas (função de correlação) obtemos uma fórmula de recorrência para a função de correlação entre quaisquer dois spins na cadeia. Mostramos então que pela invariança translacional da rede de Bethe qualquer par de spins pode ser mapeado no sistema anterior. A seguir consideramos o modelo de Potts de um estado na árvore de Cayley fechada e assimétrica. Decimando os spins interiores da unidade geradora da rede, obtemos um mapa polinomial quadrático para a transformação do grupo de renormalização (mapa de Bethe-Peierls). O diagrama de fase desse sistema é então obtido do conjunto de Mandelbrot através de uma transformação de Mobius. O mapa de Bethe-Peierls apresenta dois pontos fixos, que são relacionados com as fases ferro e paramagnética e o regime caótico é identificado com a fase vidro de spin. Esse sistema revela ser o exemplo mais simples de vidro de spin de McKay-Berker-Kirkpatrick. Na rede de Bethe e a campo nulo esse sistema apresenta transições de fase de segunda ordem. Analisando o comportamento crítico da função de correlação e de suas derivadas, vemos que se identificarmos a função de correlação entre o spin fantasma e qualquer spin da rede com a magnetização (por spin) e a função de correlação entre dois spins primeiros vizinhos com a energia interna do sistema, cinco expoentes críticos ((&#948, &#946, &#947 &#8217, &#945, &#945 &#8217) são calculados e satisfazem as relações de escala. Para ilustrar o procedimento recursivo apresentado para calcular a função de correlação entre dois spins separados por ligações m na rede de Bethe, consideramos os spins de Potts de um estado. Obtemos então de forma explícita as correlações para m=1, 2 e 3.0 / In this work we consider the Potts model on the Cayley tree subjected to a magnetic Field. This field can be represented by the interaction of the tree spins with an additional one, denominated ghost spin. This new lattice is then called closed-asymmetric Cayley tree. Being a hierarchical lattice it comes to have exact solutions which are obtained when the real-space renormalization group techniques are applied. Subtracting the surface effects and considering only the tree interior (Bethe lattice), these results reproduce the results of Bethe-Peierls mean-field approximation. With the objective of studying the pair-correlation function of the Potts model on the Bethe lattice, we at first consider a Potts chain interacting with a ghost spin. Throughout the series-parallel composition rules and the break-collapse method for the thermal transmissivities (pair-correlation function) we obtain a recursive relation for the correlation function between any two spins on the chain. We then show, due to the translational invariance of the Bethe lattice, that any pair of spins can be mapped into the latter system. Next we consider the one-state Potts model on the closed asymmetric tree. Decimating the inner spins of the generating unit for the lattice, we obtain a quadratic polynomial map for the renormalization group transformation (Bethe-Peierls map). The phase diagram of this system is obtained from the Mandelbrot set throughout a Mobius transformation. The Bethe-Peierls map has two stable fixed points which are related to the ferro and paramagnetic phases and the chaotic regime is identified with the spin-glass phase. This system turns out to be the simplest example of a McKay-Berker-Kirkpatrick spin glass. On the Bethe lattice with vanishing field this system presents second-order phase transitions. Analyzing the critical behavior of the pair-correlation function and of this derivatives, we see that if we identify the correlation function between the ghost spin and any spin on the lattice with the magnetization (per spin), and the correlation function between two nearest-neighbor spins with the internal energy of the system, five critical exponents (&#948, &#946, &#947 &#8217, &#945, &#945 &#8217) are calculated and they satisfy the scaling relations. In order to illustrate the recursive procedure presented to calculate the pair-correlation function between spins m bonds apart on the Bethe lattice, we consider the one-state Potts spins. We obtain explicitly the correlation for m=1, 2 and 3.