Neste trabalho investigamos as propriedade estatísticas de um modelo de coevolução de N espécies, sob a perspectiva da dinâmica de replicadores. As interações entre pares de espécies são dadas por variáveis aleatórias independentes, fixas no tempo. As interações são também simétricas, de modo que a dinâmica maximiza uma função de Lyapunov (o funcional adaptabilidade). Isto permite usar as técnicas da mecânica estatística de sistemas desordenados para determinar analiticamente as propriedades estatísticas dos estados estacionários, particularmente a diversidade de espécies (total de espécies coexistindo em um sistema ecológico). As auto-interações são iguais a um parâmetro de controle que mede a competição entre indivíduos de uma mesma espécie (competição intraespecífica). A cada espécie associamos um conjunto de p traços ou características, representados por variáveis binárias aleatórias distribuídas com igual probabilidade. As forças de interação são dadas por funções não lineares da regra de Hebb. Estas são funções moduladoras do número de elementos complementares entre os conjuntos de traços de um dado par de espécies. Estudamos analítica e numericamente o caso em que p é proporcional ao total de espécies na comunidade, via método de réplicas. A análise é possível devido ao resultado de Sompolinsky: funções não lineares da regra de Hebb são equivalentes, no limite de p extensivo, a regra de Hebb somada a um ruído gaussiano estático, cuja variância depende da forma da função moduladora. A competição intraespecífica, o total de traços, a presença de espécies altamente complementares e finalmente o peso dos termos de competição interespecífica (elementos não diagonais da matriz de acoplamentos) são as principais influências sobre o comportamento das grandezas termodinâmicas no equilíbrio, principalmente a diversidade. Os resultados analíticos concordam com a solução numérica da equação de replicadores, no regime em que as soluções de réplicas simétricas são estáveis. / We investigate the statistical properties of a coevolution model of N species using the replicator dynamics framework. The pairwise species interactions are given by independent quenched random variables. They are also symmetric, so that the dynamics maximizes a quadratic Lyapunov function (the fitness functional). This allows the use of tools of statistical mechanics of disordered systems to analyze the statistical properties of the equilibrium states, especially the ecosystem diversity (total number of coexisting species in an ecological system). The self-interactions are equal to a control parameter measuring the intraspecies competition. We associate to each species a set of p traits and represent them by independent random variables, equally distributed. The strength of the pairwise interactions is given by nonlinear functions of the Hebb rule. These are modulating functions of the number of complementary elements in the sets of traits of a given species pair. We study analytically and numerically the limit of extensive p, using the replica trick. The analytical approach is possible due to a result derived by Sompolinsky: in the limit of extensive p, nonlinear functions of the Hebb rule are equivalent to the Hebb rule plus a Gaussian static noise, whose variance is dependent on the form of the modulating function. The intraspecies competition, the total number of traits, the presence of highly complementary species pairs and the contribution of the nondiagonal elements of the interaction matrix are the main influences over the behavior of the equilibrium properties, principally the diversity. Our analytical results agree with the numerical solutions of the replicator equation in the regime of stable replica symmetric solutions.

Neste trabalho investigamos as propriedade estatísticas de um modelo de coevolução de N espécies, sob a perspectiva da dinâmica de replicadores. As interações entre pares de espécies são dadas por variáveis aleatórias independentes, fixas no tempo. As interações são também simétricas, de modo que a dinâmica maximiza uma função de Lyapunov (o funcional adaptabilidade). Isto permite usar as técnicas da mecânica estatística de sistemas desordenados para determinar analiticamente as propriedades estatísticas dos estados estacionários, particularmente a diversidade de espécies (total de espécies coexistindo em um sistema ecológico). As auto-interações são iguais a um parâmetro de controle que mede a competição entre indivíduos de uma mesma espécie (competição intraespecífica). A cada espécie associamos um conjunto de p traços ou características, representados por variáveis binárias aleatórias distribuídas com igual probabilidade. As forças de interação são dadas por funções não lineares da regra de Hebb. Estas são funções moduladoras do número de elementos complementares entre os conjuntos de traços de um dado par de espécies. Estudamos analítica e numericamente o caso em que p é proporcional ao total de espécies na comunidade, via método de réplicas. A análise é possível devido ao resultado de Sompolinsky: funções não lineares da regra de Hebb são equivalentes, no limite de p extensivo, a regra de Hebb somada a um ruído gaussiano estático, cuja variância depende da forma da função moduladora. A competição intraespecífica, o total de traços, a presença de espécies altamente complementares e finalmente o peso dos termos de competição interespecífica (elementos não diagonais da matriz de acoplamentos) são as principais influências sobre o comportamento das grandezas termodinâmicas no equilíbrio, principalmente a diversidade. Os resultados analíticos concordam com a solução numérica da equação de replicadores, no regime em que as soluções de réplicas simétricas são estáveis. / We investigate the statistical properties of a coevolution model of N species using the replicator dynamics framework. The pairwise species interactions are given by independent quenched random variables. They are also symmetric, so that the dynamics maximizes a quadratic Lyapunov function (the fitness functional). This allows the use of tools of statistical mechanics of disordered systems to analyze the statistical properties of the equilibrium states, especially the ecosystem diversity (total number of coexisting species in an ecological system). The self-interactions are equal to a control parameter measuring the intraspecies competition. We associate to each species a set of p traits and represent them by independent random variables, equally distributed. The strength of the pairwise interactions is given by nonlinear functions of the Hebb rule. These are modulating functions of the number of complementary elements in the sets of traits of a given species pair. We study analytically and numerically the limit of extensive p, using the replica trick. The analytical approach is possible due to a result derived by Sompolinsky: in the limit of extensive p, nonlinear functions of the Hebb rule are equivalent to the Hebb rule plus a Gaussian static noise, whose variance is dependent on the form of the modulating function. The intraspecies competition, the total number of traits, the presence of highly complementary species pairs and the contribution of the nondiagonal elements of the interaction matrix are the main influences over the behavior of the equilibrium properties, principally the diversity. Our analytical results agree with the numerical solutions of the replicator equation in the regime of stable replica symmetric solutions.

Investigamos analiticamente as propriedades estatísticas dos mínimos locais (estados metaestáveis) de vidros de spin de Ising com interações de p-spins na presença de um campo magnético h. O número médio de mínimos, assim como a sobreposição típica entre pares de mínimos idênticos são calculados para qualquer valor de p. Para p &#62 2 e h pequeno mostramos que a sobreposição típica qt é uma função descontínua da energia. O tamanho na descontinuidade em qt cresce com p e decresce com h, indo a zero para valores finitos do campo magnético [1]. Investigamos as correções ao alcance infinito para o caso em que h = 0 e encontramos que o número de estados metaestáveis aumenta quando o efeito de conectividade finita é considerado e esse aumento torna-se mais pronunciado à medida que p aumenta [2]. Ainda, estudamos a termodinâmica deste modelo utilizando o método das réplicas. Demos ênfase à análise da transição entre os regimes de simetria de réplicas e o primeiro passo de quebra de simetria de réplicas. Em particular, derivamos condições analíticas para o início da transição contínua, assim como para a localização do ponto tricrítico onde a transição entre os dois regimes torna-se descontínua [3]. Como aplicação de interações de ordem alta em sistemas de spins contínuos, estudamos analiticamente as propriedades estatísticas de um ecossistema composto de N espécies interagindo através de interações Gaussianas aleatórias de ordem p &#8805 2 e auto-interações determinísticas u &#8805 0. Para o caso u &#8800 0, o aumento na ordem das interações faz com que o sistema se torne mais cooperativo. Para p &#62 2 há um limite inferior para a concentração de espécies sobreviventes, prevenindo a existência de espécies raras e, conseqüentemente, aumentando a robustez do ecossistema contra perturbações externas [4]. / The statistical properties of the local optima (metastable states) of the infinite range Ising spin glass with p-spin interactions in the presence of an external magnetic field h are investigated analytically. The average number of optima as well as the typical overlap between pairs of identical optima are calculated for general p. For p &#62 2 and small h we show that the typical overlap qt is a discontinuous function of the energy. The size of the jump in qt increases with p and decreases with h, vanishing at finite values of the magnetic field [1]. We study the corrections to the infinite range model for h = 0 and find that the number of local optima increases as the effect of the finite connectivity is considered, and that this increase becomes more pronounced for large p [2]. Furthermore, we study analytically the thermodynamics of this model using the replica method, giving emphasis to the analysis of the transition between the replica symmetric and the one-step of replica symmetry breaking regimes. In particular, we derive analytical conditions for the onset of the continuous transition, as well as for the location of the tricritical point at which the transition between those two regimes becomes discontinuous [3]. As an application of high-order interactions in systems of continuous spins, we study the statistical properties of an ecosystem composed of N species interacting via random Gaussian interactions of order p &#8805 2, and deterministic self-interactions u &#8805 0. For nonzero u the increase of the order of the interactions makes the system more cooperative. We find that for p &#62 2 there is a threshold value which gives a lower bound to the concentration of the surviving species, preventing then the existence of rare species and, consequently, increasing the robustness of the ecosystem to external perturbations [4].

Investigamos analiticamente as propriedades estatísticas dos mínimos locais (estados metaestáveis) de vidros de spin de Ising com interações de p-spins na presença de um campo magnético h. O número médio de mínimos, assim como a sobreposição típica entre pares de mínimos idênticos são calculados para qualquer valor de p. Para p &#62 2 e h pequeno mostramos que a sobreposição típica qt é uma função descontínua da energia. O tamanho na descontinuidade em qt cresce com p e decresce com h, indo a zero para valores finitos do campo magnético [1]. Investigamos as correções ao alcance infinito para o caso em que h = 0 e encontramos que o número de estados metaestáveis aumenta quando o efeito de conectividade finita é considerado e esse aumento torna-se mais pronunciado à medida que p aumenta [2]. Ainda, estudamos a termodinâmica deste modelo utilizando o método das réplicas. Demos ênfase à análise da transição entre os regimes de simetria de réplicas e o primeiro passo de quebra de simetria de réplicas. Em particular, derivamos condições analíticas para o início da transição contínua, assim como para a localização do ponto tricrítico onde a transição entre os dois regimes torna-se descontínua [3]. Como aplicação de interações de ordem alta em sistemas de spins contínuos, estudamos analiticamente as propriedades estatísticas de um ecossistema composto de N espécies interagindo através de interações Gaussianas aleatórias de ordem p &#8805 2 e auto-interações determinísticas u &#8805 0. Para o caso u &#8800 0, o aumento na ordem das interações faz com que o sistema se torne mais cooperativo. Para p &#62 2 há um limite inferior para a concentração de espécies sobreviventes, prevenindo a existência de espécies raras e, conseqüentemente, aumentando a robustez do ecossistema contra perturbações externas [4]. / The statistical properties of the local optima (metastable states) of the infinite range Ising spin glass with p-spin interactions in the presence of an external magnetic field h are investigated analytically. The average number of optima as well as the typical overlap between pairs of identical optima are calculated for general p. For p &#62 2 and small h we show that the typical overlap qt is a discontinuous function of the energy. The size of the jump in qt increases with p and decreases with h, vanishing at finite values of the magnetic field [1]. We study the corrections to the infinite range model for h = 0 and find that the number of local optima increases as the effect of the finite connectivity is considered, and that this increase becomes more pronounced for large p [2]. Furthermore, we study analytically the thermodynamics of this model using the replica method, giving emphasis to the analysis of the transition between the replica symmetric and the one-step of replica symmetry breaking regimes. In particular, we derive analytical conditions for the onset of the continuous transition, as well as for the location of the tricritical point at which the transition between those two regimes becomes discontinuous [3]. As an application of high-order interactions in systems of continuous spins, we study the statistical properties of an ecosystem composed of N species interacting via random Gaussian interactions of order p &#8805 2, and deterministic self-interactions u &#8805 0. For nonzero u the increase of the order of the interactions makes the system more cooperative. We find that for p &#62 2 there is a threshold value which gives a lower bound to the concentration of the surviving species, preventing then the existence of rare species and, consequently, increasing the robustness of the ecosystem to external perturbations [4].