L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solution d'équations différentielles stochastiques rétrogrades avec grossissement de filtration. La motivation de ce problème mathématique provient de la résolution d'un problème financier de couverture par un agent possédant une information supplémentaire inconnue sur le marché. Dans une première partie, nous résolvons ce problème, successivement dans un cadre continu puis avec sauts, et montrons que sous l'hypothèse (H3) du grossissement de filtration, grâce à un théorème de représentation des martingales, l'EDSR dans l'espace grossie sous des hypothèses standard a une unique solution. L'une des conséquences principales est que, dans un marché complet, la détention d'une information supplémentaire par l'agent initié ne lui confère pas de stratégie de couverture différente. Dans une seconde partie, nous développons un modèle d'agent informé et influent, ce qui nous amène à résoudre une équation différentielle stochastique progressive rétrograde avec grossissement de filtration, et nous obtenons également un théorème d'existence et d'unicité de solution. Nous sommes également amenés à étudier le problème de couverture en marché incomplet, puisque du fait de l'influence, le marché sans information devient incomplet. Enfin, dans la dernière partie, nous généralisons les résultats d'existence et d'unicité de solution d'EDSR avec grossissement de filtration à des EDSR à horizon aléatoire.

L'objectif de cette thèse est d'étudier la réalisation d'un équilibre dans un marché où les prix des actifs financiers sont discontinus et sur lequel les agents sont différemment informés. Dans une première partie, nous résolvons le problème d'optimisation d'un initié qui possède une information forte initiale, i.e. il connaît dès le début une fonctionnelle des trajectoires du processus des prix. Nous établissons, sous une hypothèse d'indépendance de tribus, une condition nécessaire et suffisante d'existence d'un équilibre, défini par le fait que le marché des consommations s'équilibre. Nous montrons qu'à l'équilibre le marché révèle toutes les informations pertinentes. Dans une deuxième partie, nous étudions deux autres modélisations de l'information privée. La première est l'information forte progressive : l'information privée est perturbée par un bruit indépendant qui décroît au cours du temps. La deuxième s'appelle information faible : l'agent sait qu'une information concernant une variable aléatoire va être révélée, il ne peut pas l'observer mais il anticipe sa loi. D'un point de vue mathématique, l'information privée de l'initié n'est plus exprimée par une augmentation de filtration (à la différence d'une information forte, initiale ou progressive) mais par une mesure de probabilité différente assignée à cet agent. Enfin, nous avons étudié la formation d'un équilibre avec plusieurs agents initiés ayant des informations différentes. Nous avons plus particulièrement examiné sous quelles conditions la somme de leur portefeuille est nulle. Nous avons montré que plus un agent est informé sur le marché, plus il doit rester discret et investir peu sur ce marché, afin qu'un équilibre puisse exister. Dans la dernière partie, nous avons simulé les stratégies d'initiés pour différentes informations privées et nous les avons comparées à la stratégie optimale d'un non-initié. Nous avons aussi simulé la formation d'un équilibre et le montant maximal que peut investir un initié dans le marché sans empêcher un équilibre d'avoir lieu.

Cette thèse est consacrée à l’étude du calcul fonctionnel non-anticipatif, qui est basé sur la notion de dérivée verticale d'une fonctionelle. Nous étendons le cadre classique de ce calcul à des fonctionnelles ne possédant pas de dérivée directionnelle classique. Dans la première partie, nous montrons comment une classe importante de fonctionelles, définie par une espérance conditionnelle, peuvent être approchées de façon systématique par des fonctionnelles régulières. Dans la deuxième partie, nous introduisons une notion de dérivée verticale faible qui couvre une plus grande classe de fonctionnelles, et notamment toutes les martingales locales. Dans la première partie, nous nous sommes intéressés à la représentation d'une espérance conditionnelle par une fonctionnelle non-anticipative. L'idée est d'approximer ces fonctionnelles par une suite des fonctionnelles régulières dans un certain sens. Cette approche fournit une façon systématique d'obtenir une approximation explicite de la représentation des martingales pour une grande famille de fonctionnelles Browniennes. Nous obtenons également un ordre de convergence explicite. Quelques applications au problème de la couverture dynamique sont données à la fin de cette partie.Dans la deuxième partie, nous étendons la notion de dérivée verticale pour des fonctionnelles qui n'admettent pas nécessairement de dérivée directionnelle. Cette notion nous permet également d'obtenir une caractérisation fonctionnelle d'une martingale locale par rapport à un processus de référence fixé, ce qui donne lieu à une notion de solution faible pour des équations aux dérivées partielles dépendant de la trajectoire. / This thesis focuses on various mathematical questions arising in the non-anticipative functional calculus, which is based on a notion of pathwise directional derivatives for functionals. We extend the scope and results of this calculus to functionals which may not admit such derivatives, either through approximations (Part I) or by defining a notion of weak vertical derivative (Part II). In the first part, we consider the representation of conditional expectations as non-anticipative functionals. We show that it is possible under very general conditions to approximate such functionals by a sequence of smooth functionals in an appropriate sense. This approach provides a systematic method for computing explicit approximations to martingale representations for a large class of Brownian functionals. We also derive explicit convergence rates of the approximations. These results are then applied to the problem of sensitivity analysis and dynamic hedging of (path-dependent) contingent claims. In the second part, we propose a concept of weak vertical derivative for non-anticipative functionals which may fail to possess directional derivatives. The definition of the weak vertical derivative is based on the notion of pathwise quadratic variation and makes use of the duality associated to the associated bilinear form. We show that the notion of weak vertical derivative leads to a functional characterization of local martingales with respect to a reference process, and allows to define a concept of pathwise weak solution for path-dependent partial differential equations.