Cette thèse se compose de quatre parties indépendantes. Le fil conducteur de celle-ci est le grossissement de filtration. Dans la première partie, nous présentons des résultats classiques de grossissement de filtration en temps discret. Nous étudions quelques exemples dans le cadre du grossissement initial de filtration. Dans le cadre du grossissement progressif nous donnons des conditions pour obtenir la propriété d'immersion des martingales. Nous donnons également diverses caractérisations des pseudo temps d'arrêt et nous énonçons des propriétés pour les temps honnêtes.Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la détermination du prix de produits à annuités variables dans le cadre de l'assurance vie. Pour cela nous considérons deux modèles, dans ces deux modèles nous considérons que le marché est incomplet et nous adoptons l'approche par prix d'indifférence. Dans le premier modèle nous supposons que l'assuré procède à des retraits aléatoires et nous calculons la prime d'indifférence par des méthodes standards en contrôle stochastique. Nous sommes conduits à résoudre des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec un saut. Nous fournissons un théorème de vérification et nous donnons les stratégies optimales associées à nos problèmes de contrôle. De ceux-ci, nous tirons une méthode de calcul pour obtenir la prime d'indifférence. Dans le second modèle nous proposons la même approche que dans le premier modèle mais nous supposons que l'assuré effectue des retraits qui correspondent au pire cas pour l'assureur. Nous sommes alors amenés à traiter un problème de max-min.Dans la troisième partie, nous étudions la relation des solutions d'EDSR dans deux filtrations différentes. Nous étudions alors la relation entre ces deux solutions. Nous appliquons ces résultats pour obtenir le prix d'indifférence dans les deux filtrations, c'est-à-dire le prix auquel un agent aurait le même niveau d'utilité attendue en utilisant des informations supplémentaires.Dans la quatrième partie, nous considérons des équations différentielles stochastiques rétrogrades avancées (EDSRAs) avec un saut. Nous étudions l'existence et l'unicité d'une solution à ces EDSRAs. Pour cela nous utilisons la décomposition des processus à sauts liée au grossissement progressif de filtration pour nous ramener à l'étude d'EDSRAs browniennes avant et après le temps de saut. / This thesis consists of four independent parts. The topic in common is the filtration enlargement.In the first part, we present classical results for filtration enlargement in discrete time. We study some examples in initial enlargement of filtration. For the progressive enlargement of filtration, we give conditions for immersion martingale property. We also provide various characterizations of pseudo-stopping times and properties for honest times.In the second part, we are interested in determining the indifference price for variable annuities products. For this we consider two models, in both models we suppose that the market is incomplete and we adopt the approach of indifference price. In the first model we assume that the insured performs random withdrawals. Following indifference pricing theory, we define indifference fee rate for the insurer as a solution of an equation involving two stochastic control problems. Relating these problems to backward stochastic differential equations with a jump, we provide a verification theorem and give the optimal strategies associated to our control problems. From these, we derive a computation method to get indifference fee rates. We conclude this part with numerical illustrations of indifference fees sensibilities with respect to parameters.In the second model we propose the same approach as in the first model but we assume that the insured makes withdrawals that match the worst case for the insurer. In the third part, we study the relation of the solutions of BSDEsin two filtrations. As an application, one of our goals is to find theindifference price of information, i.e. the price at which an agentwould have the same expected utility level using extra informationas by not doing so. In the fourth part, we investigate advanced backward stochastic differential equations (ABSDE) with a jump. We study the existence and uniqueness of the solution to these ABSDEs. For this we relate the solution of the ABSDEs wth jumps to Brownian ABSDEs associated to the original ABSDE before and after the time jump.

Cette thèse porte sur les modèles à densité pour les temps de défaut et leur application au risque de crédit et de contrepartie. La première partie est une contribution théorique à l'étude des projections sur différentes filtrations de la densité de Radon-Nikodym, sous la forme d'exponentielle de Doléans-Dade, intervenant lors de changements de mesure. Le résultat principal est la caractérisation des changements de mesure qui préservent l'immersion, obtenue par application de nos formules de projection. La deuxième partie a pour objet une dynamisation informationnelle du modèle de copule gaussienne statique appliqué à un portefeuille de crédit, pouvant être vue comme un modèle à densité permettant de traîter de la couverture des CDO par CDS ou bien du risque de contrepartie sur les dérivés de crédit. Les principales contributions sont l'introduction de la perspective dynamique , qui permet de donner une justification théorique aux bump-sensibilités de copule gaussienne utilisées par les praticiens, et l'application aux calculs de CVA sur un CDS. / This thesis is about density models of default times and applications to credit and counterparty risk. The rest part is a theoretical contribution to the study of projections on different filtrations of the Radon-Nikodym density of a measure change. The main result is a characterization of the measure changes preserving immersion in a density setup, obtained by application of our projection formulas. The second part is about an informational dynamization of the Gaussian copula model of portfolio credit risk, resulting in a density model of default times suitable to del with dynamic issues such as hedging of CDO through CDS or counterparty risk on credit derivatives. Here the main contributions are the introduction of the dynamic perspective, which allows one to give a theoretical justification to the Gaussian copula bump sensitivities used by practioners, and the application to CVA computations on CDS.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la quantification optimale et ses applications. Nous y abordons des aspects théoriques, algorithmiques et numériques. Elle comporte cinq chapitres. Dans la première partie, nous étudions liens entre la réduction de variance par stratification et la quantification optimale. Dans le cas ou la variable aléatoire considérée est un processus Gaussien, un schéma de simulation de complexité linéaire est développé pour la loi conditionnelle à une strate du processus en question. Le second chapitre est consacré à l'évaluation numérique de la base de Karhunen-Loève d'un processus Gaussien par la méthode de Nyström. Dans la troisième partie, nous proposons une nouvelle approche de la quantification de solutions d'EDS, dont nous étudions la convergence. Ces résultats conduisent à un nouveau schéma de cubature pour les solutions d'équations différentielles stochastiques, qui est développé dans le quatrième chapitre, et que nous éprouvons sur des problèmes de valorisation d'options. Dans le cinquième chapitre, nous présentons un nouvel algorithme de recherche rapide de plus proche voisin par arbre, basé sur la quantification de la loi empirique du nuage de points considéré.

Cette thèse est constitué de deux partie : dans la première partie, nous etudions un marché complet dont l'actif risqué est un processus discontinu. <br />La seconde est consacrée à une modélisation du risque de défaut. Nous insistons sur la différence entre l'information liée au défaut de celle du marché sans défaut. Nous établissons des théorèmes de représentation prévisibles pour les martingales dans la filtration élargie.

Dans ce dossier je présente l'ensemble des travaux de recherche que j'ai effectués pendant les années 2007-2012. Depuis ma thèse doctorale (soutenue le 11 décembre 2006), mes travaux de recherche portent sur les risques de crédit et des applications, en particulier, sur les quatre thèmes suivants : approche de densité dans la modélisation de défaut, optimisation de portefeuille avec risques de contrepartie et de contagion, risque d'informations asymétriques sur le défaut, et méthode de Stein. L'étude de ces problèmes fait intervenir de différentes théories mathématiques, comme par exemple le grossissement de filtrations, le contrôle stochastique, les méthodes numériques probabilistes, etc., et conduit à des questions mathématiques intéressantes, souvent profondes. Parmi ces sujets, certains sont issus de motivations d'actualité financière et susceptibles d'avoir des applications dans la pratique; d'autres sont des problèmes mathématiques inspirés par la finance mais qui ont un caractère théorique.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solution d'équations différentielles stochastiques rétrogrades avec grossissement de filtration. La motivation de ce problème mathématique provient de la résolution d'un problème financier de couverture par un agent possédant une information supplémentaire inconnue sur le marché. Dans une première partie, nous résolvons ce problème, successivement dans un cadre continu puis avec sauts, et montrons que sous l'hypothèse (H3) du grossissement de filtration, grâce à un théorème de représentation des martingales, l'EDSR dans l'espace grossie sous des hypothèses standard a une unique solution. L'une des conséquences principales est que, dans un marché complet, la détention d'une information supplémentaire par l'agent initié ne lui confère pas de stratégie de couverture différente. Dans une seconde partie, nous développons un modèle d'agent informé et influent, ce qui nous amène à résoudre une équation différentielle stochastique progressive rétrograde avec grossissement de filtration, et nous obtenons également un théorème d'existence et d'unicité de solution. Nous sommes également amenés à étudier le problème de couverture en marché incomplet, puisque du fait de l'influence, le marché sans information devient incomplet. Enfin, dans la dernière partie, nous généralisons les résultats d'existence et d'unicité de solution d'EDSR avec grossissement de filtration à des EDSR à horizon aléatoire.

Dans cette thèse, nous donnerons tout d'abord des conditions sur les paramètres d’une EDSR à générateur lipschitzien ou à croissance quadratique telles que les processus solutions de l’EDSR admettent des densités par rapport à la mesure de Lebesgue. Puis, nous donnerons des conditions sur les paramètres d’une EDSR non-markovienne à générateur lipschitzien ou quadratique telles que les processus solutions de l’EDSR admettent une dérivée de Malliavin, à l’aide d’une nouvelle caractérisation de cette dérivée. Ce résultat nous fournira une nouvelle structure interne des espaces de Malliavin que nous étudierons. Nous donnerons ensuite des conditions nous assurant que des solutions d’EDSR non-markoviennes à générateurs lipschitziens stochastiques sont différentiables au sens de Malliavin en utilisant cette caractérisation. Nous ferons ensuite une analyse de densités pour les lois des solutions de telles EDSR et nous appliquerons nos résultats à la biologie. Enfin, nous étudierons deux exemples d’utilisations des EDSR en finance. On s’intéressera tout d’abord à un problème de maximisation d’utilité avec un horizon aléatoire que nous réduirons à l’analyse d’un nouveau type d’EDSR à coefficients singuliers et nous illustrerons nos résultats par des simulations numériques. Puis, nous résoudrons un problème de type Principal/Agent sous volatilité incertaine. / In the first part of this PhD thesis, we give conditions on the parameters of Lipschitz and quadratic growth BSDEs such that the laws of the components Y and Z of the solutions to such BSDEs admit densities with respect to the Lebesgue measure. We then provide conditions on the parameters of non-Markovian Lipschitz or quadratic growth BSDEs such that the components Y and Z of their solutions are Malliavin differentiable. We obtain these conditions by applying a new characterization of the Malliavin differentiability, as an Lp convergence criterion of difference quotients. This result provide also a new characterization of the Malliavin-Sobolev spaces that we study in detail. To finish this first theoretical part, we provide conditions ensuring that solutions of non-Markovian stochastic-Lipschitz BSDEs are Malliavin differentiable by applying the characterization of the Malliavin differentiability obtained. We then analyse the existence of densities for the laws of the components of solutions to such BSDEs and we apply our result to a model of gene expression. In the second part of this thesis, we investigate financial problems dealing with BSDEs. We first solve a utility maximization problem with a random horizon, characterized by an exogenous default time. We reduce it to the analysis of a specific BSDE, which we call BSDE with singular coefficients, when the default time is assumed to be bounded. We give conditions ensuring the existence and the uniqueness of solutions to such BSDE and we illustrate our results by numerical simulations. Then, we solve a Principal/Agent problem with ambiguity, in which the "Nature" impacts both the utilities of the Agent and the Principal, charaterized by sets of probability measures which modify the volatility.

Dans ce travail de thèse le processus d'information concernant un instant de défaut τ dans un modèle de risque de crédit est décrit par un pont brownien sur l'intervalle stochastique [0, τ]. Un tel processus de pont est caractérisé comme plus adapté dans la modélisation que le modèle classique considérant l'indicatrice I[0,τ]. Après l'étude des formules de Bayes associées, cette approche de modélisation de l'information concernant le temps de défaut est reliée avec d'autres informations sur le marché financier. Ceci est fait à l'aide de la théorie du grossissement de filtration, où la filtration générée par le processus d'information est élargie par la filtration de référence décrivant d'autres informations n'étant pas directement liées avec le défaut. Une attention particulière est consacrée à la classification du temps de défaut par rapport à la filtration minimale mais également à la filtration élargie. Des conditions suffisantes, sous lesquelles τ est totalement inaccessible, sont discutées, mais également un exemple est donné dans lequel τ évite les temps d'arrêt, est totalement inaccessible par rapport à la filtration minimale et prévisible par rapport à la filtration élargie. Enfin, des contrats financiers comme, par exemple, des obligations privée et des crédits default swaps, sont étudiés dans le contexte décrit ci-dessus. / In this PhD thesis the information process concerning a default time τ in a credit risk model is described by a Brownian bridge over the random time interval [0, τ]. Such a bridge process is characterised as to be a more adapted model than the classical one considering the indicator function I[0,τ]. After the study of related Bayes formulas, this approach of modelling information concerning the default time is related with other financial information. This is done with the help of the theory of enlargement of filtration, where the filtration generated by the information process is enlarged with a reference filtration modelling other information not directly associated with the default. A particular attention is paid to the classification of the default time with respect to the minimal filtration but also with respect to the enlarged filtration. Sufficient conditions under which τ is totally inaccessible are discussed, but also an example is given of a τ avoiding the stopping times of the reference filtration, which is totally inaccessible with respect to its own filtration and predictable with respect to the enlarged filtration. Finally, common financial contracts like defaultable bonds and credit default swaps are considered in the above described settings.