Dans cette thèse nous nous concentrons sur l'établissement de certains théorèmes limite et l'approximations probabilistes. Un théorème limite est un résultat indiquant que la structure à grande échelle de certains systèmes aléatoires peut être véritablement approchée par une distribution de probabilité typique. Les exemples classiques sont le Théorème Central Limite , le principe d'invariance de Donsker, etc. D'autre part, nous appelons approximation probabiliste toute formalation mathématique permettant d'évaluer des distances entre les lois de deux éléments aléatoires. Lorsque l'une des distributions est gaussienne, on parle d'approximation normale. Le TCL et l'approximation normale associée sont l'un des thèmes récurrents de toute la théorie des probabilités. Au cours des cinq dernières années, I. Nourdin, G. Peccati et d'autres auteurs ont développé une nouvelle théorie d'approximations normales et non normales pour des variables aléatoires sur l'espace de Wiener, qui est basée sur l'utilisation d'un calcul de variations de dimension infinie, connu sous le nom de ''calcul de Malliavin'', ainsi que la célèbre ''méthode de Stein'' pour les approximations probabilistes. Leur travail généralise les résultats précédents par D. Nualart et G. Peccati à propos de théorèmes limite portant sur les chaos de Wiener. Après cela, G. Peccati, J. L. Solé, M.S. Taqqu et F. Utzet ont étendu cette méthode pour obtenir des approximations normales sur l'espace de Poisson. L'objectif de cette thèse est d'obtenir des TCLs multi-dimensionnels sur l'espace de Poisson, ainsi que plusieurs extensions.

Dans ce dossier je présente l'ensemble des travaux de recherche que j'ai effectués pendant les années 2007-2012. Depuis ma thèse doctorale (soutenue le 11 décembre 2006), mes travaux de recherche portent sur les risques de crédit et des applications, en particulier, sur les quatre thèmes suivants : approche de densité dans la modélisation de défaut, optimisation de portefeuille avec risques de contrepartie et de contagion, risque d'informations asymétriques sur le défaut, et méthode de Stein. L'étude de ces problèmes fait intervenir de différentes théories mathématiques, comme par exemple le grossissement de filtrations, le contrôle stochastique, les méthodes numériques probabilistes, etc., et conduit à des questions mathématiques intéressantes, souvent profondes. Parmi ces sujets, certains sont issus de motivations d'actualité financière et susceptibles d'avoir des applications dans la pratique; d'autres sont des problèmes mathématiques inspirés par la finance mais qui ont un caractère théorique.

Le chapitre 1 est principalement consacré au comportement asymptotique des variations à poids du mouvement brownien fractionnaire. Tout d'abord, après avoir motivé l'intérêt d'une telle étude et rappelé la situation ``sans poids'', nous voyons que dans certains cas (en fonction de la valeur de l'indice de Hurst H), la situation ``avec poids'' peut être très différente. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement au cas où H vaut 1/4, et nous faisons le lien avec une conjecture récente par (Burdzy et) Swanson concernant la possibilité d'écrire une formule d'Itô pour la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un bruit blanc espace-temps. Enfin, nous traitons le cas du mouvement brownien itéré, en faisant apparaître à la limite une version à poids du mouvement brownien en scène aléaoire introduit par Kesten et Spitzer dans les années 70.<br /><br />Le chapitre 2 présente des théorèmes limites abstraits (principalement valables pour une suite (F_n) d'intégrales multiples par rapport à un processus gaussien isonormal X) sous des hypothèses concernant la dérivée de Malliavin de F_n. Nous y exposons notamment une nouvelle méthode donnant (de manière étonnament simple) une estimation de type Berry-Esséen quand la suite (F_n) converge en loi vers une gaussienne. En particulier, cette méthode permet d'estimer la vitesse de convergence dans le classique théorème de Breuer et Major. Notons que les outils présentés dans ce chapitre sont la base des résultats obtenus dans le premier chapitre.<br /><br />Le chapitre 3 est consacré à mes travaux relatifs à la théorie de l'intégration contre des ``chemins rugueux'' (rough paths en anglais). Tout d'abord, nous faisons un lien avec l'intégration par régularisation à la Russo-Vallois. Ensuite, nous étudions un problème de contrôle optimal. Enfin, nous exploitons l'intégration algébrique récemment introduite par Gubinelli pour calculer le développement asymptotique de la ``loi'' de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un brownien fractionnaire d'une part, et pour étudier les équations différentielles avec retard dirigées par un chemin rugueux d'autre part.<br /><br />Enfin, dans le chapitre 4, nous définissons et étudions un nouvel objet, appelé ``dérivée stochastique''. Puis, nous illustrons certains phénomènes généraux en appliquant cette théorie au cas du mouvement brownien fractionnaire avec dérive.

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés analytiques et asymptotiques des processus de Markov, et de leurs applications à la méthode de Stein. Le point de vue considéré consiste à déployer des inégalités fonctionnelles pour majorer la distance entre lois de probabilité. La première partie porte sur l'étude asymptotique de processus de Markov inhomogènes en temps via des inégalités de type Poincaré, établies par l'analyse spectrale fine de l'opérateur de transition. On se place d'abord dans le cadre du théorème central limite, qui affirme que la somme renormalisée de variables aléatoires converge vers la mesure gaussienne, et l'étude est consacrée à l'obtention d'une borne à la Berry-Esseen permettant de quantifier cette convergence. La distance choisie est une quantité naturelle et encore non étudiée dans ce cadre, la distance du chi-2, complétant ainsi la littérature relative à d'autres distances (Kolmogorov, variation totale, Wasserstein). Toujours dans le contexte non-homogène, on s'intéresse ensuite à un processus peu mélangeant relié à un algorithme stochastique de recherche de médiane. Ce processus évolue par sauts de deux types (droite ou gauche), dont la taille et l'intensité dépendent du temps. Une majoration de la distance de Wasserstein d'ordre 1 entre la loi du processus et la mesure gaussienne est établie dans le cas où celle-ci est invariante sous la dynamique considérée, et étendue à des exemples où seule la normalité asymptotique est vérifiée. La seconde partie s'attache à l'étude des entrelacements entre processus de Markov (homogènes) et gradients, qu'on peut interpréter comme un raffinement du critère de Bakry-Emery, et leur application à la méthode de Stein, qui est un ensemble de techniques permettant de majorer la distance entre deux mesures de probabilité. On prouve l'existence de relations d'entrelacement du second ordre pour les processus de naissance-mort, allant ainsi plus loin que les relations du premier ordre connues. Ces relations sont mises à profit pour construire une méthode originale et universelle d'évaluation des facteurs de Stein relatifs aux mesures de probabilité discrètes, qui forment une composante essentielle de la méthode de Stein-Chen. / The object of this thesis is the study of some analytical and asymptotic properties of Markov processes, and their applications to Stein's method. The point of view consists in the development of functional inequalities in order to obtain upper-bounds on the distance between probability distributions. The first part is devoted to the asymptotic study of time-inhomogeneous Markov processes through Poincaré-like inequalities, established by precise estimates on the spectrum of the transition operator. The first investigation takes place within the framework of the Central Limit Theorem, which states the convergence of the renormalized sum of random variables towards the normal distribution. It results in the statement of a Berry-Esseen bound allowing to quantify this convergence with respect to the chi-2 distance, a natural quantity which had not been investigated in this setting. It therefore extends similar results relative to other distances (Kolmogorov, total variation, Wasserstein). Keeping with the non-homogeneous framework, we consider a weakly mixing process linked to a stochastic algorithm for median approximation. This process evolves by jumps of two sorts (to the right or to the left) with time-dependent size and intensity. An upper-bound on the Wasserstein distance of order 1 between the marginal distribution of the process and the normal distribution is provided when the latter is invariant under the dynamic, and extended to examples where only the asymptotic normality stands. The second part concerns intertwining relations between (homogeneous) Markov processes and gradients, which can be seen as refinment of the Bakry-Emery criterion, and their application to Stein's method, a collection of techniques to estimate the distance between two probability distributions. Second order intertwinings for birth-death processes are stated, going one step further than the existing first order relations. These relations are then exploited to construct an original and universal method of evaluation of discrete Stein's factors, a key component of Stein-Chen's method.

Dans cette thèse, on s'intéresse à des algorithmes d'analyse de données utilisant des marches aléatoires sur des graphes de voisinage, ou graphes géométriques aléatoires, construits à partir des données. On sait que les marches aléatoires sur ces graphes sont des approximations d'objets continus appelés processus de diffusion. Dans un premier temps, nous utilisons ce résultat pour proposer un nouvel algorithme de partitionnement de données flou de type recherche de modes. Dans cet algorithme, on définit les paquets en utilisant les propriétés d'un certain processus de diffusion que l'on approche par une marche aléatoire sur un graphe de voisinage. Après avoir prouvé la convergence de notre algorithme, nous étudions ses performances empiriques sur plusieurs jeux de données. Nous nous intéressons ensuite à la convergence des mesures stationnaires des marches aléatoires sur des graphes géométriques aléatoires vers la mesure stationnaire du processus de diffusion limite. En utilisant une approche basée sur la méthode de Stein, nous arrivons à quantifier cette convergence. Notre résultat s'applique en fait dans un cadre plus général que les marches aléatoires sur les graphes de voisinage et nous l'utilisons pour prouver d'autres résultats : par exemple, nous arrivons à obtenir des vitesses de convergence pour le théorème central limite. Dans la dernière partie de cette thèse, nous utilisons un concept de topologie algébrique appelé homologie persistante afin d'améliorer l'étape de "pooling" dans l'approche "sac-de-mots" pour la reconnaissance de formes 3D. / In this thesis, we study data analysis algorithms using random walks on neighborhood graphs, or random geometric graphs. It is known random walks on such graphs approximate continuous objects called diffusion processes. In the first part of this thesis, we use this approximation result to propose a new soft clustering algorithm based on the mode seeking framework. For our algorithm, we want to define clusters using the properties of a diffusion process. Since we do not have access to this continuous process, our algorithm uses a random walk on a random geometric graph instead. After proving the consistency of our algorithm, we evaluate its efficiency on both real and synthetic data. We then deal tackle the issue of the convergence of invariant measures of random walks on random geometric graphs. As these random walks converge to a diffusion process, we can expect their invariant measures to converge to the invariant measure of this diffusion process. Using an approach based on Stein's method, we manage to obtain quantitfy this convergence. Moreover, the method we use is more general and can be used to obtain other results such as convergence rates for the Central Limit Theorem. In the last part of this thesis, we use the concept of persistent homology, a concept of algebraic topology, to improve the pooling step of the bag-of-words approach for 3D shapes.

Cette thèse se concentre sur quelques sujets de probabilités et statistique liés à la génomique comparative. Dans la première partie nous présentons une approximation de Poisson composée pour calculer des probabilités impliquées dans des tests statistiques pour la significativité des régions génomiques conservées trouvées par une approche de type région de référence.<br>Un aspect important de notre démarche est le fait de prendre en compte l'existence des familles multigéniques. Dans la deuxième partie nous proposons trois mesures, basées sur la distance de transposition dans le groupe symétrique, pour quantifier l'exceptionalité de l'ordre des gènes dans des régions génomiques conservées. Nous avons obtenu des expressions analytiques pour leur distribution dans le cas d'une permutation aléatoire. Dans la troisième partie nous avons étudié la distribution du nombre de cycles dans le graphe des points de rupture d'une permutation signée aléatoire. Nous avons utilisé la technique ``Markov chain imbedding'' pour obtenir cette distribution en terme d'un produit de matrices de transition d'une certaine chaîne de Markov finie. La connaissance de cette<br>distribution fournit par la suite une très bonne approximation pour la distribution de la distance d'inversion.