Cette thèse se décompose en six chapitres plus ou moins distincts. Cependant, tous font appel au calcul de Malliavin, aux notions de processus gaussien et processus de Lévy, et à leur utilisation en statistique. Chacune des trois parties a fait l'objet de deux articles. <br />Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d'Itô et deTanaka pour le mouvement brownien bifractionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l'existence de la densité d'occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire.<br />Dans la deuxième partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxième temps, nous construisons d'une part des estimateurs efficace pour la dérive de mouvement brownien fractionnaire et d'autre part des estimateurs biaisés de type James-Stein qui dominent, sous le riqsue quadratique usuel, l'estimateur du maximum de vraisemblance.<br />La dernière partie présente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant à un calcul de Malliavin pour les processus de Lévy, qui a été développée récemment par Solé et al. , et nous étudions des processus anticipés de type intégrale d'Itô-Skorohod sur l'espace de Lévy. Dans le deuxième, nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.

Dans la premiere partie de cette these, nous donnons un point de vue financier sur l'etude des taux d'interet long terme. En finance, les modeles classiques de taux ne s'appliquent plus pour des maturites longues (15 ans et plus). Nous montrons que les techniques de maximisation d'utilite esperee permettent de retrouver la regle de Ramsey (qui relie la courbe des taux a l'utilite marginale de la consommation optimale). En marche incomplet, il est possible de montrer un analogue de la regle de Ramsey et nous examinons la maniere dont la courbe des taux est modifiee. Ensuite nous considerons le cas ou il y a une incertitude sur un parametre du modele, puis nous etendons ces resultats au cas ou les fonctions d'utilites sont stochastiques. D'autre part nous proposons dans cette these une nouvelle maniere d'apprehender la consommation, comme des provisions que l'investisseur met de cote pour les utiliser en cas d'un evenement de defaut. Alors le probleme de maximisationn de l'utilite esperee de la richesse et de la consommation peut etre vu comme un probleme de maximisation de l'utilite esperee de la richesse terminale avec un horizon aleatoire. La deuxieme partie de cette these concerne l'analyse stochastique des processus ponctuels determinantaux. Les processus determinantaux et permanentaux sont des processus ponctuels dont les fonctions de correlations sont donnees par un determinant ou un permanent. Les points de ces processus ont respectivement un comportement de repulsion ou d'attraction: ils sont tres loin de la situation d'absence de correlation rencontree pour les processus de Poisson. Nous etablissons un resultat de quasi-invariance: nous montrons que si nous perturbons les point le long d'un champ de vecteurs, le processus qui en resulte est toujours un determinantal, dont la loi est absolument continue par rapport a la distribution d'origine. En se basant sur cette formule et en suivant l'approche de Bismut du calcul de Malliavin, nous donnons ensuite une formule d'integration par parties.

Dans cette thèse nous appliquons le calcul de Malliavin à l'estimation statistique de paramètres de certains processus stochastiques et à l'obtention de théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids de processus fractionnaires et/ou à deux paramètres ainsi qu'à l'approximation gaussienne de mesures de probabilités multidimensionnelles. Dans le Chapitre 1 nous construisons des estimateurs de type Stein pour la dérive de processus gaussiens et pour l'intensité de processus de Poisson. Dans le Chapitre 2 nous calculons l'estimateur bayésien du signal d'entrée d'un canal de Poisson et nous étendons notre résultat aux canaux dont le bruit est une martingale normale possédant la propriété de représentation chaotique. Dans le Chapitre 3 nous établissons des théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du drap brownien standard (nous permettant de donner un estimateur asymptotiquement normal de la variation quadratique de certains processus de diffusion à deux paramètres) puis pour celles de certains draps browniens fractionnaires. Dans ce même chapitre nous établissons un théorème de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$ nous permettant de donner le comportement asymptotique des sommes de Riemann à signe alterné associées au mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$. Enfin dans le Chapitre 4 nous appliquons la méthode de Stein et du calcul de Malliavin afin d'obtenir des bornes explicites pour l'approximation gaussienne multidimensionnelle de fonctionnelles de champs gaussiens. Nous appliquons en particulier nos résultats aux théorème de la limite centrale de Breuer et Major pour des champs associés à un mouvement brownien fractionnaire.

En utilisant le calcul de Malliavin et la théorie des formes de Dirichlet à travers la propriété de densité de l'énergie image, nous menons une étude de la régularité des mesures invariantes. Les cas discret et continu sont traités. Nous en déduisons des vitesses de convergence à l'équilibre, grace à un renforcement "quantitatif" de la propriété de densité de l'énergie image, qui permet d'établir des convergences en variation totale de mesures. De nombreuses conséquences sont déduites de cette propriété, comme le caractère Rajchman des variables non dégénérées au sens de l'opérateur carré du champ, ceci va dans le sens de la conjecture de Bouleau-Hirsch.

Dans cette thèse nous nous concentrons sur l'établissement de certains théorèmes limite et l'approximations probabilistes. Un théorème limite est un résultat indiquant que la structure à grande échelle de certains systèmes aléatoires peut être véritablement approchée par une distribution de probabilité typique. Les exemples classiques sont le Théorème Central Limite , le principe d'invariance de Donsker, etc. D'autre part, nous appelons approximation probabiliste toute formalation mathématique permettant d'évaluer des distances entre les lois de deux éléments aléatoires. Lorsque l'une des distributions est gaussienne, on parle d'approximation normale. Le TCL et l'approximation normale associée sont l'un des thèmes récurrents de toute la théorie des probabilités. Au cours des cinq dernières années, I. Nourdin, G. Peccati et d'autres auteurs ont développé une nouvelle théorie d'approximations normales et non normales pour des variables aléatoires sur l'espace de Wiener, qui est basée sur l'utilisation d'un calcul de variations de dimension infinie, connu sous le nom de ''calcul de Malliavin'', ainsi que la célèbre ''méthode de Stein'' pour les approximations probabilistes. Leur travail généralise les résultats précédents par D. Nualart et G. Peccati à propos de théorèmes limite portant sur les chaos de Wiener. Après cela, G. Peccati, J. L. Solé, M.S. Taqqu et F. Utzet ont étendu cette méthode pour obtenir des approximations normales sur l'espace de Poisson. L'objectif de cette thèse est d'obtenir des TCLs multi-dimensionnels sur l'espace de Poisson, ainsi que plusieurs extensions.

Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) est devenu un processus incontournable dès que l'on veut s'affranchir des propriétés de Markov et d'indépendance des accroissements. Nous verrons les principales propriétés de ce processus, nous insisterons sur certains aspects de son utilisation comme modèle de file fluide. On développe ensuite la construction d'une intégrale anticipative relative au mBf à partir de l'intégrale anticipative relative au mouvement Brownien. Fort de cette idée, nous avons introduit une intégrale anticipative relative à des processus de Poissons filtrés (pPf) à partir d'une intégrale anticipative pour des processus de Poissons marqués, intégrale que nous relions à l'intégrale de Stieltjès. L'étude se poursuit par une formule de Itô pour des fonctionnelles cylindriques et par un résultat sur la continuité de Holdër des processus intégrés. Pour finir, un théorème de convergence en loi d'une suite de pPf vers un processus de Volterra est établi.

Cette thèse donne deux applications du calcul de Malliavin pour les processus de sauts.<br />Dans la première partie, nous traitons la minoration de la densité des diffusions à sauts dont la partie continue est dirigée par un mouvement Brownien. Pour cela, nous utilisons une formule d'intégration par parties conditionnelle basée sur le mouvement Brownien uniquement.<br />Nous traitons ensuite le calcul d'options financières dont le prix du sous-jacent est un processus à sauts pur.<br />Dans la deuxième partie, nous développons un calcul abstrait du type Malliavin basé sur des variables aléatoires non indépendantes, de densité conditionnelle discontinue. Nous établissons une formule d'intégration par parties que nous appliquons aux amplitudes et temps de sauts des processus à sauts considérés. Dans la troisième partie, nous utilisons cette intégration par parties pour calculer le Delta d'options européennes et asiatiques, et pour calculer le prix et le Delta d'options américaines via des formules de représentation pour les espérances conditionnelles et leur gradient.

Cette thèse développe une nouvelle méthodologie permettant d'établir des approximations analytiques pour les prix des options européennes. Notre approche combine astucieusement des développements stochastiques et le calcul de Malliavin afin d'obtenir des formules explicites et des évaluations d'erreur précises. L'intérêt de ces formules réside dans leur temps de calcul qui est aussi rapide que celui de la formule de Black et Scholes. Notre motivation vient du besoin croissant de calculs et de procédures de calibration en temps réel, tout en contrôlant les erreurs numériques reliées aux paramètres du modèle. On traite ainsi quatre catégories de modèles, en réalisant des paramétrisations spécifiques pour chaque modèle afin de mieux cibler le bon modèle proxy et obtenir ainsi des termes correctifs faciles à évaluer. Les quatre parties traitées sont : les diffusions avec sauts, les volatilités locales ou modèles à la Dupire, les volatilités stochastiques et finalement les modèles hybrides (taux-action). Il faut signaler aussi que notre erreur d'approximation est exprimée en fonction de tous les paramètres du modèle en question et est analysée aussi en fonction de la régularité du payoff.

L'ensemble de ce travail est dédié à l'étude de certaines propriétés concernant les processus de sauts d-dimensionnels X = (Xt) dont le générateur est donné par Lψ(x) = 1/2 ∑ aᵤᵥ(x)∂²ψ(x)/∂xᵤ∂xᵥ + g(x)∇ψ(x) + ∫ (ψ(x + c(z, x)) − ψ(x))γ(z, x)µ(dz) où µ est de masse totale infinie. Si γ ne dépendait pas de x, nous nous trouverions dans une situation classique où le processus X pourrait être représenté comme une solution d'une équation stochastique comportant une mesure ponctuelle de Poisson de mesure d'intensité γ(z)µ(dz) ; lorsque γ dépend de x, on peut s'en représenter l'heuristique en imaginant le processus comme la trajectoire d'une particule, la loi des sauts pouvant alors dépendre de la position de la particule. Dans la première partie, nous donnons des conditions pour obtenir l'existence et l'unicité de tels processus. Ensuite, nous considérons ce type de processus comme une généralisation des PDMP ; nous montrons qu'ils peuvent être vus comme une limite d'une suite (Xᵣ(t)) de PDMP standards pour lesquels l'intensité des sauts tend vers l'infini quand r tend vers l'infini, suivant deux régimes : un lent et un rapide qui, en supposant que les processus en question sont centrés et normalisés convenablement, produit une composante de diffusion à la limite. Finalement, on prouve la récurrence au sens de Harris de X en utilisant un schéma régénératif entièrement basé sur les sauts du processus. De plus, nous dégageons des conditions explicites par rapport aux coefficients du processus qui nous permettent de contrôler la vitesse de convergence vers l'équilibre en terme d'inégalités de déviation pour des fonctionnelles additives intégrables. Dans la seconde partie, nous considérons à nouveau le même type de processus X = (Xt(x)) partant du point x. Utilisant une approche basé sur un Calcul de Malliavin fini-dimensionnel, nous étudions la régularité jointe de ce processus dans le sens suivant : on fixe b≥1 et p>1, K un ensemble compact de Rᵈ, et nous donnons des conditions suffisantes pour avoir P(Xt(x)∈dy)=pt(x,y)dy avec (x,y)↦pt(x,y) appartenant à Wᵇᵖ(K×Rᵈ) / This work is dedicated to the study of some properties concerning the d-dimensional jump type diffusion X = (Xt) with infinitesimal generator given by Lψ(x) = 1/2 ∑ aᵤᵥ(x)∂²ψ(x)/∂xᵤ∂xᵥ + g(x)∇ψ(x) + ∫ (ψ(x + c(z, x)) − ψ(x))γ(z, x)µ(dz) where µ is of infinite total mass. If γ did not depend on x, we would be in a classical situation where the process X could be represented as the solution of a stochastic equation driven by a Poisson point measure with intensity measure γ(z)µ(dz) ; when γ depends on x, we may have the heuristic idea that, if we were to imagine the process as a trajectory of a particle, the law of the jumps may depend on the position of the particle. In the first part, we give some conditions to obtain existence and uniqueness of such processes. Then, we consider this type of processes as a generalization of Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP) ; we show that they can be seen as a limit of a sequence (Xᵣ(t)) of standard PDMP's for which the intensity of the jumps tends to infinity as r tends to infinity, following two regimes: a slow one, which leads to a jump component with finite variation, and a rapid one which, supposing that the processes at hand are centered and renormalized in a convenient way, produces the diffusion component in the limit. Finally, we prove Harris recurrence of X using a regeneration scheme which is entirely based on the jumps of the process. Moreover we state explicit conditions in terms of the coefficients of the process allowing to control the speed of convergence to equilibrium in terms of deviation inequalities for integrable additive functionals. In the second part, we consider again the same type of process X = (Xt(x)) starting from x. Using an approach based on a finite dimensional Malliavin Calculus, we study the joint regularity of this process in the following sense : we fix b≥1 and p>1, K a compact set of Rᵈ, and we give sufficient conditions in order to have P(Xt(x)∈dy)=pt(x,y)dy with (x,y)↦pt(x,y) in Wᵇᵖ(K×Rᵈ)

De ce fait, le premier objectif de notre travail consiste à proposer des générateurs de nombres aléatoires appropriés pour des architectures parallèles et massivement parallèles de clusters de CPUs/GPUs. Nous testerons le gain en temps de calcul et l'énergie consommée lors de l'implémentation du cas linéaire du pricing européen. Le deuxième objectif est de reformuler le problème non-linéaire du pricing américain pour que l'on puisse avoir des gains de parallélisation semblables à ceux obtenus pour les problèmes linéaires. La méthode proposée fondée sur le calcul de Malliavin est aussi plus avantageuse du point de vue du praticien au delà même de l'intérêt intrinsèque lié à la possibilité d'une bonne parallélisation. Toujours dans l'objectif de proposer des algorithmes parallèles, le dernier point est l'étude de l'unicité de la solution de certains cas linéaires inverses en finance. Cette unicité aide en effet à avoir des algorithmes simples fondés sur Monte Carlo / Handling multidimensional parabolic linear, nonlinear and linear inverse problems is the main objective of this work. It is the multidimensional word that makes virtually inevitable the use of simulation methods based on Monte Carlo. This word also makes necessary the use of parallel architectures. Indeed, the problems dealing with a large number of assets are major resources consumers, and only parallelization is able to reduce their execution times. Consequently, the first goal of our work is to propose "appropriate" random number generators to parallel and massively parallel architecture implemented on CPUs/GPUs cluster. We quantify the speedup and the energy consumption of the parallel execution of a European pricing. The second objective is to reformulate the nonlinear problem of pricing American options in order to get the same parallelization gains as those obtained for linear problems. In addition to its parallelization suitability, the proposed method based on Malliavin calculus has other practical advantages. Continuing with parallel algorithms, the last point of this work is dedicated to the uniqueness of the solution of some linear inverse problems in finance. This theoretical study enables the use of simple methods based on Monte Carlo