Thèse de doctorat : Mathématiques Appliquées : Nancy 1 : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr.

Nos différents résultats consistent principalement à établir des extensions du calcul stochastique classique. Pour (X_t) processus de Markov, il s'agissait à l'origine de donner dans les quatre cas suivants, la décomposition explicite de F(X_t,t) en tant que processus de Dirichlet, sous des conditions minimum sur F fonction déterministe à valeurs réelles. Dans le premier cas, X est un processus de Lévy réel avec composante brownienne. Dans le deuxième cas X est un processus de Lévy symétrique sans composante brownienne mais admettant des temps locaux en tant que processus de Markov. Dans le troisième cas, X est un processus de Markov symétrique général sans condition d'existence de temps locaux mais F(x,t) ne dépend pas de t. Dans le quatrième cas, nous supprimons l'hypothèse de symétrie du troisième cas. Dans chacun des trois premiers cas, on obtient une formule d'Itô à la seule condition que la fonction F admette des dérivées de Radon-Nikodym d'ordre 1 localement bornées. On rappelle que dans l'hypothèse où X est une semi-martingale, la formule d'Itô classique nécessite que F soit C^2. C'est l'hypothèse que nous devons prendre dans le quatrième cas. Le premier cas excepté, chacune des formules d'Itô obtenues s'appuie sur la construction de nouvelles intégrales stochastiques par rapport à des processus aléatoires qui ne sont pas des semi-martingales.

Dans l'industrie pétrolière, de nombreuses campagnes sismiques visant à trouver de nouveaux champs pétroliers sont effectuées en mer. Afin de reproduire numériquement les résultats de ces campagnes d'acquisitions sismiques marine, les méthodes de différences finies ou d'éléments finis sont le plus souvent utilisées. Dans cette thèse, nous travaillons avec la méthode des éléments spectraux (Komatitsch et Tromp, 2002), qui est une méthode d'éléments finis explicite à haut degré d'interpolation polynomiale. Pour de l'acquisition sismique marine, la propagation d'ondes s'effectue dans des modèles composés de deux parties : une partie fluide (la couche d'eau épaisse homogène représentant l'océan) et une partie solide (les roches composant le fond des océans). La partie fluide étant moins intéressante que la partie solide où peuvent se trouver les réservoirs d'hydrocarbures, nous voulons une méthode numérique où la propagation d'ondes dans le fluide est la moins coûteuse possible en temps calcul. Un moyen de gagner ce temps est d'utiliser une méthode intégrant des pas de temps locaux (Diaz et Joly, 2005) où la partie fluide est traitée à l'aide d'un pas de temps plus grand que dans la partie solide. Pour cela, il faut s'assurer que l'augmentation du pas de temps sans modifier le maillage ne change pas la condition de stabilité CFL dans le fluide. Cette condition est calculée à partir de la vitesse maximale de propagation des ondes dans le domaine, et des pas de temps et d'espace. Or, les modèles utilisés présentent généralement un fort contraste des vitesses à l'interface fluide-solide en faveur du solide. C'est donc le pas de temps de ce dernier qui gouverne la condition CFL. Donc augmenter le pas de temps seulement dans le fluide ne changera pas la condition CFL et la simulation numérique pourra s'effectuer sans risquer l'explosion de la solution pour cause d'instabilité du schéma numérique. Mon travail a consisté à intégrer un tel procédé dans la méthode des éléments spectraux du code SPECFEM à 2D. Comme on a des pas de temps différents de part et d'autre de l'interface fluide-solide, les données à échanger entre les deux milieux ne sont pas coordonnées car à des temps différents. Pour palier à cette difficulté, on impose la conservation de l'énergie à notre système pour la construction des conditions de raccord. Cette manoeuvre implique néanmoins la résolution d'un système linéaire l'interface mais son coût est négligeable comparé aux calculs économisés dans la partie fluide. Afin de se rapprocher plus encore de la réalité des modèles pétroliers, j'ai travaillé sur l'implémentation de couches absorbantes de type CPML (convolutional perfectly match layer, voir Komatitsch et Martin 2007 ) qui permettent de simuler un milieu infini en absorbant toutes les ondes y pénétrant et donc évitent des réflexions parasites des bords du domaine. Ces conditions ont été implémentées pour des modèles fluide-solide à 2D.

Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) est devenu un processus incontournable dès que l'on veut s'affranchir des propriétés de Markov et d'indépendance des accroissements. Nous verrons les principales propriétés de ce processus, nous insisterons sur certains aspects de son utilisation comme modèle de file fluide. On développe ensuite la construction d'une intégrale anticipative relative au mBf à partir de l'intégrale anticipative relative au mouvement Brownien. Fort de cette idée, nous avons introduit une intégrale anticipative relative à des processus de Poissons filtrés (pPf) à partir d'une intégrale anticipative pour des processus de Poissons marqués, intégrale que nous relions à l'intégrale de Stieltjès. L'étude se poursuit par une formule de Itô pour des fonctionnelles cylindriques et par un résultat sur la continuité de Holdër des processus intégrés. Pour finir, un théorème de convergence en loi d'une suite de pPf vers un processus de Volterra est établi.

Le sujet principal de la thèse est l'étude de processus obtenus à<br />partir du mouvement brownien par différents types de changements de<br />probabilité (pénalisations). De cette manière, nous construisons des<br />processus qui sont fortement liés aux temps locaux browniens et aux<br />temps locaux d'intersection; en particulier, nous généralisons le<br />modèle d'Edwards, un modèle de polymère obtenu par pénalisation des<br />auto-intersections browniennes.

Dans cette thèse, on étudie la convergence du processus d'exploration de l'arbre généalogique d'un processus de branchement en temps continu non binaire, dans la limite d'une grande population. Dans la première partie, nous donnons une description précise du processus d'exploration de l'arbre non binaire. Ensuite nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres non binaires. Après renormalisation des paramètres, nous présentons les résultats de convergence du processus de population et du processus d'exploration dans la limite d'une grande population. Dans la deuxième partie, nous établissons d'abord la convergence du processus de population vers un processus de branchement à espace d'état continu avec sauts. Puis, nous montrons la convergence du processus d'exploration normalisé de l'arbre généalogique correspondant vers le processus de hauteur continu défini récemment par Li, Pardoux et Wakolbinger.Dans la dernière partie, on définit un modèle discret de population avec interaction définie par une fonction générale non linéaire f. On fait une renormalisation adéquate du modèle discret pour obtenir en limite un processus de branchement à espace d'état continu généralisé. Ensuite nous renormalisons le processus d'exploration de l'arbre généalogique associé et nous prenons la limite quand la taille de la population tend vers l'infini. / In this thesis, we study the convergence of the exploration process of the non-binary tree associated to a continuous time branching process, in the limit of a large population. In the first part, we give a precise description of the exploration process of the non-binary tree. We then describe a bijection between exploration processes and Galton Watson non-binary trees. After some renormalization, we present the results of convergence of the population process and the exploration process, in the limit of a large populations.In the second part, we first establish the convergence of the population process to a continuous state branching process (CSBP) with jumps. We then show the convergence of the (rescaled) exploration process, of the corresponding genealogical tree towards the continuous height process recently defined by Li, Pardoux and Wakolbinger. In the last part, we consider a population model with interaction defined with a more general non linear function $f.$ We proceed to a renormalization of the parameters model and we obtain in limit a generalized CSBP. We then renormalize the height process of the associated genealogical tree, and take the weak limit as the size of the population tends to infinity.

Depuis le début de l’ère spatiale avec le lancement du satellite Spoutnik 1 en 1957, les ceintures de radiationterrestres n’ont cessé de faire l’objet d’études du fait de leur dangerosité pour les satellites mais aussi pour l’êtrehumain. En effet, lors d’une forte activité solaire, l’injection de particules dans cet environnement radiatif peut induiredes flux jusqu’à 1000 fois plus élevés que par temps calme. Par conséquent, il est important d’en comprendrela physique ainsi que la dynamique au cours de ce que l’on appelle un orage géomagnétique. Dans ce but, le Département Physique Instrumentation Environnement et Espace (DPhIEE) de l’ONERA développe depuis maintenantplus de 20 ans la famille de modèles Salammbô reproduisant de façon robuste et en trois dimensions la dynamiquedes particules piégées dans ces ceintures. Néanmoins, bien que précis au-delà d’environ 100 keV, la physique et leshypothèses prises en compte dans ce modèle restent insuffisantes en deçà. En effet, aux basses énergies, les ceintures de radiation ne peuvent plus être considérées comme homogènes autour de la Terre. L’objectif de cette thèse a donc été de prendre en compte une quatrième dimension, le temps magnétique local (MLT), afin de mieux reproduire l’évolution des structures fines lors d’un orage géomagnétique. La première partie s’est portée sur l’optimisation du schéma numérique. L’ajout d’une quatrième dimension induit, via l’apparition d’un terme d’advection, une forte diffusion numérique qu’il convient de limiter, tout en tenant compte du temps de calcul. L’équation statistique implémentée a alors été discrétisée selon un schéma de type Beam-Warming du second ordre couplé à un limiteur Superbee, garantissant une propagation satisfaisante de la distribution initiale. Une fois les problèmes numériquesmaitrisés, les différents mécanismes physiques pilotant la dynamique des particules piégées ont été implémentésdans le code, avec une attention toute particulière sur la dépendance en MLT de l’interaction onde-particule. Laprise en compte des champs électriques magnétosphériques fut également nécessaire. En effet, ils constituent l’undes moteurs principaux du mouvement des particules de basses énergies. Le modèle Salammbô 4D a ensuite étévalidé par comparaison avec le modèle 3D déjà existant sur une simulation de l’orage magnétique de Mars 2015.Les résultats ont montré une bonne restitution de la dynamique des ceintures de radiation, avec en plus l’accès à laphase principale de l’orage. Cet évènement a ensuite été modélisé à plus basse énergie pour constater la dynamiqueasymétrique des électrons piégés avec le rôle prépondérant du champ électrique de convection. La comparaison avecles données du satellite THEMIS a montré une bonne modélisation des différents processus physiques, notammentcelui de « dropout » par traversée de la magnétopause. Enfin, la mise en place d’une condition limite dynamiquemodulée par les paramètres du vent solaire et dépendante du MLT ouvre de nombreuses perspectives. / Since the beginning of the Space Era with the launch of Spoutnik 1 spacecraft in 1957, the radiation belts havebeen studied by scientists due to their hazardousness on both spacecrafts and humans. Indeed, particles are injectedduring strong solar activity and can induce fluxes thousand times higher than quiet time ones. Thus, it’s veryimportant to understand the nature of physics-based processes and the consecutive dynamic during a geomagneticstorm. For this purpose, the Department Physics Instrumentation Environment and spacE (DPhIEE) at ONERA hasbeen developing the Salammbô models family for more than 20 years which robustly reproduce in three dimensionsthe dynamics of trapped particles in the radiation belts. Nevertheless, although they are reliable at high energy, thephysics-based processes and the hypothesis taken into account are inadequate at lower energies, below a few hundredsof keV. Indeed, the radiation belts can no longer be considered as homogeneous around the Earth. The aim of thisPhD research work was to take into account a fourth coordinate, the Magnetic Local Time (MLT), in order to betterreproduce the thinnest structures occurring during a geomagnetic storm. The first part of this work focused on theoptimization of the numerical scheme. By the emergence of an advective term, the inclusion of a fourth coordinateinduces a strong numerical diffusion that has to be controlled and limited without deteriorating the computingefficiency. So, the implemented statistical equation was discretized using a Beam-Warming scheme coupled with theSuperbee limiter, which guarantee us an adequate propagation of the initial distribution. Once numerical issues havebeen resolved and controlled, all the different mechanisms driving the dynamics of the trapped particles have beenimplemented into the code, taking into account their MLT dependency, especially for the wave-particle interaction.Taking into account the magnetospheric electric fields was also necessary. Indeed, they correspond to one of themain drivers of the low energy particles motion. Then, the Salammbô 4D model has been validated by a comparisonwith the 3D one on a simulation of the March 2015 geomagnetic storm. The results showed a good restitutionof the dynamics of the radiation belts, refining the storm main phase resolution. Thereafter, this event has beensimulated at lower energy to analyze the asymmetry of the dynamics of trapped electrons highlighting the primerole of the convection electric field. The comparison with data from THEMIS spacecraft showed a good modelingof the different physics-based processes, in particular regarding dropouts as controlled by magnetopause shadowingeffect. Finally, the implementation of a solar wind driven outer boundary condition opens up new prospects.

Cette thèse s'inscrit dans la théorie de l'intégration par régularisation de Russo et Vallois. La première partie est consacrée à l'approximation du temps local des semi-martingales continues. On montre que, si $X$ est une diffusion réversible, alors $ \frac{1}{\epsilon}\int_0^t \left( \indi_{\{ y < X_{s+\epsilon}\}} - \indi_{\{ y < X_{s}\}} \right) \left( X_{s+\epsilon}-X_{s} \right)ds$ converge vers $L_t^y(X)$, en probabilité uniformément sur les compacts, quand $\epsilon \to 0$. De ce premier schéma, on tire deux autres schémas d'approximation du temps local, l'un valable pour les semi-martingales continues, l'autre pour le mouvement Brownien standard. Dans le cas du mouvement Brownien, une vitesse de convergence dans $L^2(\Omega)$ et un résultat de convergence presque sûre sont établis. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'intégrale "forward" et à la variation quadratique généralisée, définies par des limites en probabilité de famille d'intégrales. Dans le cas Höldérien, la convergence presque sûre est établie. Enfin, on montre la convergence au second ordre pour une série de processus particuliers.

Dans cette thèse, on étudie des liens entre processus d'exploration et arbres aléatoires avec ou sans interaction, pour en déduire des extensions du théorème de Ray Knight. Dans la première partie nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres binaires. On montre que l'arbre associé à un processus d'exploration défini avec les paramètres mu et lambda décrivant les taux de ses minimas et maximas locaux respectivement à n'importe quel instant considéré, est un arbre binaire aléatoire de taux de naissance mu et de taux de mort lambda. De cette correspondance, nous déduisons une représentation discrète d'un processus de branchement linéaire en terme de temps local d'un processus d'exploration. Après renormalisation des paramètres, nous en déduisons une preuve du théorème de Ray Knight généralisé donnant une représentation en loi d'un processus de Feller linéaire en terme du temps local du mouvement brownien réfléchi en zéro avec une dérive. Dans la deuxième partie, nous considérons un modèle de population avec compétition définie par une fonction polynomiale f(x) = x^{alpha}, alpha>0 et partant de m ancêtres à l'instant initial 0. On étudie l'effet de la compétition sur la hauteur et la longueur de la forêt d'arbres généalogiques quand m tend vers l'infini. On montre que la hauteur est d'espérance finie si alpha> 1, et est infinie dans le cas contraire, tandis que la longueur est d'espérance finie si alpha > 2, et est infinie dans le cas contraire. / In this thesis, we study connections between explorations processes and random trees, from which we deduce Ray Knight Theorem. In the first part, we describe a bijection between exploration processes and Galton Watson binary trees. We show that the tree we obtain under the curve of an exploration process whose maxima and minima rates are respectively lambda and mu, is a Galton Watson binary tree with birth rate mu and death rate lambda. From this correspondence, we establish a discrete Ray Knight representation of the process population size of a Galton Watson tree in term of local time of exploration process associated to this tree. After some renormalization, we deduce from this discrete approximation with a limiting argument, a generalized Ray Knight theorem giving a representation of a Feller branching process in term of local time of a reflected Brownian motion with a linear drift. In the second part, we consider a population model with competition defined with a function f(x) = x^{alpha}. We study the effect of the competition on the height and the length of the genealogical trees of a large population. We show that the expectation of the height has a finite expectation stays finite if alpha> 1 and is infinite almost surely if alpha le 1, while the length has a finite expectation if alpha > 2, and is infinite almost surely if alpha le 2. In the last part, we consider a population model with interaction defined with a more general non linear function f.

Cette thèse porte sur la simulation de la propagation et diffraction d'ondes dans un milieu élastique anisotrope hétérogène fissuré à l'aide de méthodes numériques explicites. L'objectif est de développer une méthode numérique performante capable de prendre en compte les détails géométriques ou singularités de la solution de manière précise. Les deux premières parties sont consacrées à des méthodes de raffinement de maillage spatio-temporel. Adapter le pas de temps localement au pas d'espace permet en même temps de diminuer la dispersion numérique dans la grille grossière et de gagner en temps de calcul. Les méthodes proposées sont conservatives, ce qui garantit la stabilité des schémas numériques. La géométrie des fissures est prise en compte par la méthode des domaines fictifs. La troisième partie présente un nouvel élément fini qui garantit la convergence de cette méthode. La dernière partie décrit le couplage entre les techniques de raffinement et la méthode de domaines fictifs.