Dans cette thèse on étudie des schémas numériques pour des processus<br />/X/ à coefficients discontinus. Un premier schéma pour le cas<br />unidimensionnel utilise les Équations Différentielles Stochastiques<br />avec Temps Local. En effet en dimension un les processus /X/ sont<br />solutions de telles équations. On construit une grille sur la droite<br />réelle, qu'une bijection adéquate transforme en une grille uniforme<br />de pas /h/. Cette bijection permet de transformer /X/ en /Y/ qui se<br />comporte localement comme un Skew Brownian Motion, pour lequel on<br />connaît les probabilités de transition sur une grille uniforme, et le<br />temps moyen passé sur chaque cellule de cette grille. Une marche<br />aléatoire peut alors être construite, qui converge vers /X/ en racine<br />de /h/. Toujours dans le cas unidimensionnel on propose un deuxième<br />schéma plus général. On se donne une grille non uniforme sur la<br />droite réelle, dont les cellules ont une taille proportionnelle à<br />/h/. On montre qu'on peut relier les probabilités de transition de<br />/X/ sur cette grille, ainsi que le temps moyen passé par /X/ sur<br />chacune de ses cellules, à des solutions de problèmes d'EDP<br />elliptiques ad hoc. Une marche aléatoire en temps et en espace est<br />ainsi construite, qui permet d'approcher /X/ à nouveau en racine de<br />/h/. Ensuite on présente des pistes pour adapter cette dernière<br />approche au cas bidimensionnel et les problèmes que cela soulève.<br />Enfin on illustre par des exemples numériques les schémas étudiés.

Cette thèse porte sur la simulation de la propagation et diffraction d'ondes dans un milieu élastique anisotrope hétérogène fissuré à l'aide de méthodes numériques explicites. L'objectif est de développer une méthode numérique performante capable de prendre en compte les détails géométriques ou singularités de la solution de manière précise. Les deux premières parties sont consacrées à des méthodes de raffinement de maillage spatio-temporel. Adapter le pas de temps localement au pas d'espace permet en même temps de diminuer la dispersion numérique dans la grille grossière et de gagner en temps de calcul. Les méthodes proposées sont conservatives, ce qui garantit la stabilité des schémas numériques. La géométrie des fissures est prise en compte par la méthode des domaines fictifs. La troisième partie présente un nouvel élément fini qui garantit la convergence de cette méthode. La dernière partie décrit le couplage entre les techniques de raffinement et la méthode de domaines fictifs.

Pour V un processus aléatoire càd-làg, on appelle diffusion dans le milieu aléatoire V la solution formelle de l’équation différentielle stochastique \[ dX_t = - \frac1{2} V'(X_t) dt + dB_t, \] où B est un mouvement brownien indépendant de V . Le temps local au temps t et à la position x dela diffusion, noté LX(t, x), donne une mesure de la quantité de temps passé par la diffusion au point x, avant l’instant t. Dans cette thèse nous considérons le cas où le milieu V est un processus de Lévyspectralement négatif convergeant presque sûrement vers −∞, et nous nous intéressons au comportementasymptotique lorsque t tend vers l’infini de $\mathcal{L}_X^*(t) := \sup_{\mathbb{R}} \mathcal{L}_X(t, .)$ le supremum du temps local de ladiffusion, ainsi qu’à la localisation du point le plus visité par la diffusion. Nous déterminons notammentla convergence en loi et le comportement presque sûr du supremum du temps local. Cette étude révèleque le comportement asymptotique du supremum du temps local est fortement lié aux propriétés desfonctionnelles exponentielles des processus de Lévy conditionnés à rester positifs et cela nous amène àétudier ces dernières. Si V est un processus de Lévy, V ↑ désigne le processus V conditionné à rester positif.La fonctionnelle exponentielle de V ↑ est la variable aléatoire $\int_0^{+ \infty} e^{- V^{\uparrow} (t)}dt$ . Nous étudions en particulier sa finitude, son auto-décomposabilité, l’existence de moments exponentiels, sa queue en 0, l’existence et larégularité de sa densité. / For V a random càd-làg process, we call diffusion in the random medium V the formal solution of thestochastic differential equation \[ dX_t = - \frac1{2} V'(X_t) dt + dB_t, \] where B is a brownian motion independent of V . The local time at time t and at the position x of thediffusion, denoted by LX(t, x), gives a measure of the amount of time spent by the diffusion at point x,before instant t. In this thesis we consider the case where the medium V is a spectrally negative Lévyprocess converging almost surely toward −∞, and we are interested in the asymptotic behavior, whent goes to infinity, of $\mathcal{L}_X^*(t) := \sup_{\mathbb{R}} \mathcal{L}_X(t, .)$ the supremum of the local time of the diffusion. We arealso interested in the localization of the point most visited by the diffusion. We notably establish theconvergence in distribution and the almost sure behavior of the supremum of the local time. This studyreveals that the asymptotic behavior of the supremum of the local time is deeply linked to the propertiesof the exponential functionals of Lévy processes conditioned to stay positive and this brings us to studythem. If V is a Lévy process, V ↑ denotes the process V conditioned to stay positive. The exponentialfunctional of V ↑ is the random variable $\int_0^{+ \infty} e^{- V^{\uparrow} (t)}dt$ . For this object, we study in particular finiteness,

Cette thèse étudie certaines propriétés fractales et trajectorielles de processus de branchement en temps et espace continus. De façon informelle, ce type de processus est obtenu en considérant l'évolution d'une population où les individus se reproduisent et meurent au cours du temps, et ce de manière aléatoire. Le premier chapitre concerne la classe des processus de branchement avec immigration. On donne une formule semi-explicite pour la transformée de Laplace des temps d'atteinte ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante de récurrence-transience. Ces deux résultats illustrent la compétition branchement/immigration. Le second chapitre considère l'arbre Brownien et ses mesures de temps local, dites mesures de niveau. On montre que celles-ci s'obtiennent comme restriction, à une constante près explicitée, d'une certaine mesure de Hausdorff sur l'arbre. Le résultat est montré simultanément pour tous niveaux. Le troisième chapitre étudie le Super-mouvement Brownien associé à un mécanisme de branchement général. Sa mesure d'occupation totale est obtenue comme restriction d'une certaine mesure de packing dans l'espace euclidien. Le résultat est valable en grande dimension. La condition sur la dimension de l'espace ambiant est discutée à travers le calcul, sous des hypothèse de régularité faibles pour le mécanisme de branchement, de la dimension de packing du range total du processus. / This thesis investigates some fractal and pathwise properties of branching processes with continuous time and state-space. Informally, this kind of process can be described by considering the evolution of a population where individuals reproduce and die over time, randomly. The first chapter deals with the class of continuous branching processes with immigration. We provide a semi-explicit formula for the hitting times and a necessary and sufficient condition for the process to be recurrent or transient. Those two results illustrate the competition between branching and immigration. The second chapter deals with the Brownian tree and its local time measures : the level-sets measures. We show that they can be obtained as the restriction, with an explicit multiplicative constant, of a Hausdorff measure on the tree. The result holds uniformly for all levels. The third chapter study the Super-Brownian motion associated with a general branching mechanism. Its total occupation measure is obtained as the restriction to the total range, of a given packing measure on the euclidean space. The result is valid for large dimensions. The condition on the dimension is discussed by computing the packing dimension of the total range. This is done under a weak assumption on the regularity of the branching mechanism.

Les marches aléatoires en<br />milieu aléatoire constituent un modèle permettant de décrire<br />des phénomènes de diffusion et de transport en milieux<br />inhomogènes, possédant néanmoins des propriétés de<br />régularité à grande échelle. Le premier chapitre,<br />introductif, illustre la richesse de comportements des marches<br />aléatoires en milieu aléatoire. Le second chapitre concerne la<br />marche de Sinai (cas récurrent) et répond négativement à une<br />conjecture d'Erdös et Révész initialement posée pour la<br />marche aléatoire simple. Il révèle un paradoxe lié au<br />phénomène de localisation obtenu par Sinai. Dans le troisième<br />chapitre, nous nous intéressons à la limite supérieure de la<br />marche de Sinai en paysage aléatoire et traitons une conjecture de<br />Révész. Les quatrième et cinquième chapitres concernent les<br />marches aléatoires en milieu aléatoire transientes de vitesse<br />nulle. Un résultat classique de Kesten, Kozlov et Spitzer dit que<br />le temps d'atteinte du niveau n converge en loi, après<br />renormalisation, vers une variable aléatoire positive stable, mais<br />ils n'obtiennent pas la description de son paramètre. Nous<br />présentons ici une nouvelle preuve de ce résultat: une analyse<br />fine du potentiel associé à l'environnement nous permet<br />d'obtenir une caractérisation complète de la loi stable limite.<br />Le cas d'environnements de Dirichlet s'avère être<br />particulièrement explicite.

Nous présentons dans cette thèse les évolutions apportées au solveur Galerkin Discontinu Teta-CLAC, issu de la collaboration IRMA-AxesSim, au cours du projet HOROCH (2015-2018). Ce solveur permet de résoudre les équations de Maxwell en 3D, en parallèle sur un grand nombre d'accélérateurs OpenCL. L'objectif du projet HOROCH était d'effectuer des simulations de grande envergure sur un modèle numérique complet de corps humain. Ce modèle comporte 24 millions de mailles hexaédriques pour des calculs dans la bande de fréquences des objets connectés allant de 1 à 3 GHz (Bluetooth). Les applications sont nombreuses : téléphonie et accessoires, sport (maillots connectés), médecine (sondes : gélules, patchs), etc. Les évolutions ainsi apportées comprennent, entre autres : l'optimisation des kernels OpenCL à destination des CPU dans le but d'utiliser au mieux les architectures hybrides ; l'expérimentation du runtime StarPU ; le design d'un schéma d'intégration à pas de temps local ; et bon nombre d'optimisations permettant au solveur de traiter des simulations de plusieurs millions de mailles. / In this thesis, we present the evolutions made to the Discontinuous Galerkin solver Teta-CLAC – resulting from the IRMA-AxesSim collaboration – during the HOROCH project (2015-2018). This solver allows to solve the Maxwell equations in 3D and in parallel on a large amount of OpenCL accelerators. The goal of the HOROCH project was to perform large-scale simulations on a complete digital human body model. This model is composed of 24 million hexahedral cells in order to perform calculations in the frequency band of connected objects going from 1 to 3 GHz (Bluetooth). The applications are numerous: telephony and accessories, sport (connected shirts), medicine (probes: capsules, patches), etc. The changes thus made include, among others: optimization of OpenCL kernels for CPUs in order to make the best use of hybrid architectures; StarPU runtime experimentation; the design of an integration scheme using local time steps; and many optimizations allowing the solver to process simulations of several millions of cells.

L’imagerie du sous-sol par équations d’onde est une application de l’ingénierie pétrolière qui mobilise des ressources de calcul très importantes. On dispose aujourd’hui de calculateurs puissants qui rendent accessible l’imagerie de régions complexes mais des progrès sont encore nécessaires pour réduire les coûts de calcul et améliorer la qualité des simulations. Les méthodes utilisées aujourd’hui ne permettent toujours pas d’imager correctement des régions très hétérogènes 3D parce qu’elles sont trop coûteuses et /ou pas assez précises. Les méthodes d’éléments finis sont reconnues pour leur efficacité à produire des simulations de qualité dans des milieux hétérogènes. Dans cette thèse, on a fait le choix d’utiliser une méthode de Galerkine discontinue (DG) d’ordre élevé à flux centrés pour résoudre l’équation des ondes acoustiques et on développe un schéma d’ordre élevé pour l’intégration en temps qui peut se coupler avec la technique de discrétisation en espace, sans générer des coûts de calcul plus élevés qu’avec le schéma d’ordre deux Leap-Frog qui est le plus couramment employé. Le nouveau schéma est comparé au schéma d’ordre élevé ADER qui s’avère plus coûteux car il requiert un plus grand nombre d’opérations pour un niveau de précision fixé. De plus, le schéma ADER utilise plus de mémoire, ce qui joue aussi en faveur du nouveau schéma car la production d’images du sous-sol consomme beaucoup de mémoire et justifie de développer des méthodes numériques qui utilisent la mémoire au minimum. On analyse également la précision des deux schémas intégrés dans un code industriel et appliqués à des cas test réalistes. On met en évidence des phénomènes de pollution numériques liés à la mise en oeuvre d'une source ponctuelle dans le schéma DG et on montre qu'on peut éliminer ces ondes parasites en introduisant un terme de pénalisation non dissipatif dans la formulation DG. On finit cette thèse en discutant les difficultés engendrées par l'utilisation de schémas numériques dans un contexte industriel, et en particulier l'effet des calculs en simple précision. / Oil engineering uses a wide variety of technologies including imaging wave equation which involves very large computing resources. Very powerful computers are now available that make imaging of complex areas possible, but further progress is needed both to reduce the computational cost and improve the simulation accuracy. The current methods still do not allow to image properly heterogeneous 3D regions because they are too expensive and / or not accurate enough. Finite element methods turn out to be efficient for producing good simulations in heterogeneous media. In this thesis, we thus chose to use a high order Discontinuous Galerkin (DG) method based upon centered fluxes to solve the acoustic wave equation and developed a high-order scheme for time integration which can be coupled with the space discretization technique, without generating higher computational cost than the second-order Leap Frog scheme which is the most widely used . The new scheme is compared to the high order ADER scheme which is more expensive because it requires a larger number of computations for a fixed level of accuracy. In addition, the ADER scheme uses more memory, which also works in favor of the new scheme since producing subsurface images consumes lots of memory and justifies the development of low-memory numerical methods. The accuracy of both schemes is then analyzed when they are included in an industrial code and applied to realistic problems. The comparison highlights the phenomena of numerical pollution that occur when injecting a point source in the DG scheme and shows that spurious waves can be eliminated by introducing a non-dissipative penalty term in the DG formulation. This work ends by discussing the difficulties induced by using numerical methods in an industrial framework, and in particular the effect of single precision calculations.

Cette thèse se compose de quatre chapitres:Le chapitre 1 étudie la distribution du temps de coalescence (plus récent ancêtre commun) de deux individus tirés au hasard (uniformly) dans la génération actuelle d'un processus de Bienaymé-Galton-Watson en temps continu.Dans le chapitre 2, nous obtenons une représentation de la diffusion de Feller logistique en termes des temps locaux d'un mouvement brownien réfléchi H avec une dérive qui est affine en le temps local accumulé par H à son niveau actuel.Le chapitre 3 considère la diffusion de Feller avec compétition générale. Nous donnons des conditions précises sur le terme de la concurrence, pour le but de décider si le temps d'extinction (qui est aussi la hauteur du processus) reste borné ou non lorsque la taille initiale de la population tend vers l'infini, et de même pour la masse totale du processus.Dans le chapitre 4, nous généralisons les résultats du chapitre 3 pour le cas du processus de branchement à espace d'état continu avec compétition à trajectoires discontinues. / This thesis consists of four chapters:Chapter 1 investigates the distribution of the coalescence time (most recent common ancestor) for two individuals picked at random (uniformly) in the current generation of a continuous time Bienaymé-Galton-Watson process.In chapter 2 we obtain a Ray-Knight representation of Feller's branching diffusion with logistic growth in terms of the local times of a reflected Brownian motion H with a drift that is affine in the local time accumulated by H at its current level.Chapter 3 considers the Feller's branching diffusion with general competition. We give precise conditions on the competition term, in order to decide whether the extinction time (which is also the height of the process) remains or not bounded as the initial population size tends to infinity, and similarly for the total mass of the process.In chapter 4 we generalize the results of chapter 3 to the case of continuous state branching process with competition which has discontinuous paths.

Cette thèse étudie le raffinement local de maillage à la fois en espace et en temps pour l’équation de l’elastodynamique du second ordre pour le calcul haute performance. L’objectif est de mettre en place des méthodes numériques pour traiter des hétérogénéités de petite taille ayant un impact important sur la propagation des ondes. Nous utilisons une approche par éléments finis de Galerkin discontinus avec pénalisation pour leur flexibilité et facilité de parallélisation. La formulation éléments finis que nous proposons a pour particularité d’être élasto-acoustique, pour pouvoir prendre en compte des hétérogénéités acoustiques de petite taille. Par ailleurs, nous proposons un terme de pénalisation optimisé qui est mieux adapté à l’équation de l’élastodynamique, conduisant en particulier à une meilleure condition CFL. Nous avons aussi amélioré une formulation PML du second ordre pour laquelle nous avons proposé une nouvelle discrétisation temporelle qui rend la formulation plus stable. En tirant parti de la p-adaptivité et des maillages non-conformes des méthodes de Galerkin discontinues combiné à une méthode de pas de temps local, nous avons grandement réduit le coût du raffinement local. Ces méthodes ont été implémentées en C++, en utilisant des techniques de template metaprogramming, au sein d’un code parallèle à mémoire distribuée (MPI) et partagée (OpenMP). Enfin, nous montrons le potentiel de notre approche sur des cas tests de validation et sur des cas plus réalistes avec des milieux présentant des hydrofractures. / This thesis studies local mesh refinement both in time and space for the second order elastodynamic equation in a high performance computing context. The objective is to develop numerical methods to treat small heterogeneities that have global impact on wave propagation. We use an internal penalty discontinuous Galerkin finite element approach for its flexibity and parallelization capabilities. The elasto-acoustic finite element formulation we discuss is elasto-acoustic in order to handle local acoustic heterogeneities. We also propose an optimized penalty term more suited to the elastodynamic equation that results in better CFL condition. We improve a second order PML formulation with an original time discretization that results in a more stable formulation. Using the p-adaptivity and nonconforming mesh capabilities of discontinuous Galerkin methods combined with a local time stepping method, we greatly reduce the high computational cost of local refinements. These methods have been implemented in C++, using template metaprogramming, in a distributed memory (MPI) and shared memory (OpenMP) parallel code. Finally, we show the potential of our methods on validation test cases and on more realistic test cases with medium including hydrofractures.

Dans ce travail de thèse le processus d'information concernant un instant de défaut τ dans un modèle de risque de crédit est décrit par un pont brownien sur l'intervalle stochastique [0, τ]. Un tel processus de pont est caractérisé comme plus adapté dans la modélisation que le modèle classique considérant l'indicatrice I[0,τ]. Après l'étude des formules de Bayes associées, cette approche de modélisation de l'information concernant le temps de défaut est reliée avec d'autres informations sur le marché financier. Ceci est fait à l'aide de la théorie du grossissement de filtration, où la filtration générée par le processus d'information est élargie par la filtration de référence décrivant d'autres informations n'étant pas directement liées avec le défaut. Une attention particulière est consacrée à la classification du temps de défaut par rapport à la filtration minimale mais également à la filtration élargie. Des conditions suffisantes, sous lesquelles τ est totalement inaccessible, sont discutées, mais également un exemple est donné dans lequel τ évite les temps d'arrêt, est totalement inaccessible par rapport à la filtration minimale et prévisible par rapport à la filtration élargie. Enfin, des contrats financiers comme, par exemple, des obligations privée et des crédits default swaps, sont étudiés dans le contexte décrit ci-dessus. / In this PhD thesis the information process concerning a default time τ in a credit risk model is described by a Brownian bridge over the random time interval [0, τ]. Such a bridge process is characterised as to be a more adapted model than the classical one considering the indicator function I[0,τ]. After the study of related Bayes formulas, this approach of modelling information concerning the default time is related with other financial information. This is done with the help of the theory of enlargement of filtration, where the filtration generated by the information process is enlarged with a reference filtration modelling other information not directly associated with the default. A particular attention is paid to the classification of the default time with respect to the minimal filtration but also with respect to the enlarged filtration. Sufficient conditions under which τ is totally inaccessible are discussed, but also an example is given of a τ avoiding the stopping times of the reference filtration, which is totally inaccessible with respect to its own filtration and predictable with respect to the enlarged filtration. Finally, common financial contracts like defaultable bonds and credit default swaps are considered in the above described settings.