Nous considérons le cas d'un corps faiblement élastique dont une partie de la frontière est encastrée. Notre problème est de déterminer un contrôle sur la partie de la frontière laissée libre (non-encastrée), de telle sorte que le système, quelque soit son état d'origine, s'amortisse le plus rapidement possible.<br /><br />En d'autres termes, nous considérons un système élastodynamique, amorti au moyen d'une rétroaction définie par une condition de type Neumann sur une partie de la frontière, l'autre partie de la frontière étant munie des conditions de Dirichlet homogène. Nous obtenons des résultats de stabilisation frontière linéaire et non-linéaire, ainsi qu'un résultat de contrôlabilité. Nous démontrons pour cela des relations ad-hoc, dites de Rellich, puis nous utilisons la méthode des multiplicateurs.<br /><br />L'originalité de ce travail réside dans la présence d'une interface entre la partie Dirichlet et la partie Neumann, qui génère des singularités.

La diffraction d'ondes élastiques par une fissure dans un matériau est un problème majeur en contrôle non destructif. Une modélisation réaliste consiste à prendre en compte une condition de contact unilatéral sur la fissure. Dans cette thèse, on étudie des problèmes dynamiques de contact unilatéral dans des milieux fissurés. Au niveau théorique, on présente un résultat d'existence pour un milieu viscoélastique de Kelvin-Voigt fissuré, pour lequel on considère une condition de contact unilatéral avec frottement non local (régularisé). Ce résultat est obtenu en utilisant une méthode de pénalisation et des propriétés de compacité. L'étude numérique porte sur le problème de l'élastodynamique avec contact unilatéral sans frottement, qui reste un problème ouvert sur le plan mathématique. Pour le résoudre, on utilise la méthode des domaines fictifs. On propose pour cela une formulation du problème en contraintes-déplacements-multiplicateurs de Lagrange. Un élément fini adapté est utilisé pour la discrétisation en espace et permet d'obtenir un schéma explicite en temps, par condensation de masse. Plusieurs schémas de discrétisation en temps sont présentés: un schéma implicite décentré dont on démontre la stabilité, un schéma implicite centré qui apparaît stable au vu des expériences numériques. Des résultats de validation sont présentés ainsi que des résultats concernant des applications plus réalistes.

Ce document regroupe des travaux organisés autour de deux thèmes<br />de recherche.<br /><br />Le premier concerne la stabilisation-frontière de quelques systèmes<br />distribués, en présence de singularités. On s'intéresse principalement à l'équation des ondes et au système élastodynamique pour lesquels de nombreux auteurs ont obtenu des résultats de stabilisation en utilisant la méthode des multiplicateurs sous des conditions géométriques restrictives. Pour étendre ces résultats, on est amené à démontrer certaines propriétés de ``régularité cachée'' des solutions fortes, ce qui nécessite l'analyse des singularités d'un problème elliptique avec conditions aux limites mêlées. La connaissance de ces singularités permet de généraliser une relation de Rellich, cruciale dans l'obtentionédes estimations d'énergie conduisant aux résultats de stabilisation.<br /><br />Le second thème a pour objet l'étude des écoulements de Hele-Shaw à<br />source ponctuelle. Le modèle de Stokes-Leibenson fait apparaître<br />une équation elliptique dont le second membre est la distribution de Dirac au point-source. Ce problème est de plus intrinsèquement non linéaire du fait que le domaine lui-même évolue d'une manière inconnue. On utilise la méthode de Helmholtz-Kirchhoff pour reformuler le problème. Ceci permet de démontrer un résultat d'existence et d'unicité locales d'une solution classique. On construit ensuite un modèle numérique, dit ``modèle quasi-contour'', destiné à étudier certaines propriétés qualitatives de ces écoulements.

Ce travail est consacre au développement d'un outil numérique capable de modéliser la propagation 3D d'ondes sismiques à l'échelle du globe pour des distributions réalistes de vitesse et de densité. On considère les équations de l 'élastodynamique en milieu élastique isotrope et on inclut les effets de la gravité dans l'approximation de Cowling pour un état initial d'équilibre hydrostaotique. On présente d'abord une approximation aux différences finies pour modéliser la propagation des ondes S H longue période (~ 30 s) dans un manteau terrestre axisymétrique en négligeant la gravité. Dans cette description, on étudie l'effet de variations de topographie et de vitesse sur les ondes réfléchies sous les discontinuités du manteau. On développe ensuite une méthode d'éléments spectraux permettant la modélisation 3D du champ d'ondes complet en géométrie sphérique. On utilise un maillage hexaédrique non-conforme de la sphère qui s'adapte à la variation des paramètres élastiques du milieu. L'espace des multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes de continuité sur les interfaces non-conformes est discrétisé par une méthode de joints qui devient conforme en géométrie sphérique. La prise en compte de régions fluides est basée sur la construction d'un opérateur Dirichlet to Neumann qui couple la méthode des éléments spectraux à une méthode de sommation de modes. La méthoge est validée dans des milieux homogènes par couches puis pour des modèles de Terre moyens, en comparant les sismogrammes obtenus avec ceux calculés par une méthode de modes propres. L'implémentation parallèle et le coût de calcul de la méthode sont présentés et les perspectives sont discutées. La potentialité de la méthode permet d'envisager pour la première fois de modéliser la propagation du champ d'ondes complet dans des modèles de Terre 3D pour des périodes inférieures à 50 secondes.

Cette thèse porte sur la simulation de la propagation et diffraction d'ondes dans un milieu élastique anisotrope hétérogène fissuré à l'aide de méthodes numériques explicites. L'objectif est de développer une méthode numérique performante capable de prendre en compte les détails géométriques ou singularités de la solution de manière précise. Les deux premières parties sont consacrées à des méthodes de raffinement de maillage spatio-temporel. Adapter le pas de temps localement au pas d'espace permet en même temps de diminuer la dispersion numérique dans la grille grossière et de gagner en temps de calcul. Les méthodes proposées sont conservatives, ce qui garantit la stabilité des schémas numériques. La géométrie des fissures est prise en compte par la méthode des domaines fictifs. La troisième partie présente un nouvel élément fini qui garantit la convergence de cette méthode. La dernière partie décrit le couplage entre les techniques de raffinement et la méthode de domaines fictifs.

Ce mémoire décrit mes travaux de recherche sur l'analyse mathématique et numérique de problèmes de propagation d'ondes. Le premier chapitre est consacré à des méthodes numériques pour la propagation ou la diffraction d'ondes élastiques dans des solides : (i) potentiels retardés dans des milieux élastiques homogènes isotropes, (ii) méthodes d'imagerie sismique par tomographie, (iii) équations paraxiales, (iv) éléments finis mixtes pour l'élasto-dynamique. Ce dernier point, (iv), le plus détaillé ici, s'inscrit dans une stratégie générale pour obtenir une méthode numérique performante pouvant traiter des milieux complexes (anisotropes, hétérogènes) avec des obstacles de géométrie quelconque. Il a été développé dans l'optique d'utiliser la méthode des domaines fictifs qui fait l'objet du deuxième chapitre. Après une description de cette méthode sur un problème modèle scalaire, elle est présentée tout d'abord pour un problème de diffraction d'ondes élastiques par une fissure modélisée soit par une condition de surface libre soit par une condition de contact unilatéral, puis pour un problème d'acoustique musicale (modélisation de la guitare). Le troisième chapitre traite de questions de conditions aux limites artificielles utilisées pour borner le domaine de calcul. Des méthodes de couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) sont analysées pour des problèmes transitoires (électromagnétisme, acoustique, élasto-dynamique, système hyperbolique général du premier ordre) puis pour un problème d'acoustique en écoulement en régime harmonique. Le mémoire se termine par un point sur les travaux en cours et des perspectives ouvertes par ces travaux.

Dans la première partie nous présentons deux méthodes numériques non conformes espace-temps pour la propagation d'ondes en interaction fluide-structure. Ces méthodes, robustes et précises, sont basées sur deux formulations mixtes dites duale-duale et primale-primale. Elles sont explicites, sauf à l'interface, et conservatives, ce qui en assure la stabilité. Nous les validons à l'aide de solutions analytiques calculées par la méthode de Cagniard-de Hoop (CdH). Dans la deuxième partie nous obtenons, via la méthode CdH, des estimations d'erreur pour l'utilisation de conditions aux limites absorbantes (CLA) ou couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) pour la résolution de l'équation des ondes dans le demi-espace. La troisième partie est consacrée aux PMLs pour l'acoustique en écoulement: analyse (par CdH) de l'instabilité des PMLs classiques et construction de PMLs stabilisées. La dernière partie consiste en une présentation mathématique détaillée de la méthode CdH.

Ce travail de thèse a pour but de développer la méthode des éléments frontières (BEM) et la méthode hybride éléments finis/éléments frontières (FEM/BEM) pour l'élastodynamique et la poroélastodynamique, et d'appliquer ces méthodes aux études d'effets de site sismiques et d'interaction dynamique sol-structure. La première partie du mémoire aborde les problèmes théoriques. Les formulations, en domaine temporel, de la BEM et de la FEM/BEM peuvent tenir compte du caractère ouvert des espaces (semi-)infinis. En particulier, la FEM/BEM peut également prendre en compte des comportements matériels complexes. Ces formulations ont cependant des difficultés numériques pouvant limiter leur applicabilité en pratique il s'agit de la stabilité numérique du schéma temporel, de l'augmentation rapide du temps de calcul avec le nombre de pas de temps et de l'effet de la troncature de l'espace semi-infini. Des techniques, destinées à améliorer les performances de ces méthodes, sont alors proposées. Pour l'application de la BEM en poroélastodynamique, une expression a de la solution fondamentale temporelle est proposée, en faisant deux hypothèses l'accélération relative, par rapport au squelette, du fluide interstitiel est négligée et les constituants du milieu (grains solides et fluide) sont incompressibles. Cette solution approchée, en termes de déplacements et de pressions interstitielles, est adéquate pour les sols sous sollicitations sismiques. Toutes les formulations sont validées et intégrées dans le code de calcul HYBRID. La seconde partie de la thèse est consacrée à l'application de la BEM et de la FEM/BEM aux calculs sismiques. Les phénomènes physiques et les caractéristiques principales des effets de site bidimensionnels, dus aux conditions topographiques et géotechniques, sont présentés. On prouve théoriquement que les effets de site peuvent considérablement aggraver le potentiel destructeur du mouvement sismique, car ils amplifient le mouvement, prolongent la durée du séisme et provoquent des mouvements différentiels. Des études paramétriques sont effectuées et montrent l'influence significative sur le mouvement sismique en surface de plusieurs facteurs le contenu fréquentiel de l'excitation, le contraste d'impédance sédiment/substratum, la géométrie du relief ou du bassin (largeur, profondeur ou hauteur, pente, forme), l'épaisseur de la sédimentation, l'effet multicouche et la saturation en eau interstitielle. Une étude, portant sur l'interaction dynamique barrage/fondation, démontre la nécessité de tenir compte de l'effet de flexibilité de la fondation dans les calculs sismiques des barrages en terre.

A partir des sismogrammes, une phase de nucléation des séismes, peu radiative, a été détéctée. En laboratoire, des expériences de rupture, entre deux blocs rocheux, décrivent un processus de nucléation et donnent une loi d'affaiblissement de la résistance de l'interface en fonction de son glissement relatif. Nous interprétons une partie de ces observations par un modèle d'initiation: une instabilité de frottement en élastodynamique. Dans le cas unidimensionnel, alors qu' une loi en vitesse aboutit à un problème mal posé (multiplicité de solution, chocs et nécessité de la convention de retard maximal), une loi en glissement fournit une solution unique, continue, avec un temps d'instabilité non nul. Nous étudions les propriétés de l'initiation dans des problèmes de cisaillement bi et tridimensionnels en élasticité complète avec la loi en glissement. Quand une linéarisation est possible, nous menons une analyse spectrale et trouvons une approximation analytique (partie dominante). Pour des processus complexes (affaiblissement non-linéaire, hétérogénéité et propagation de la rupture), nous simulons numériquement en différences finies. Le temps d'initiation est fonction de la géométrie et de la taille de la faille, en rapport avec le taux d'affaiblissement initial. Proches de la stabilité (taux faible) les failles finies s'initient très lentement. Aussi, le signal émis en surface par l'initiation en profondeur est très dépendant de ce taux. Enfin nous montrons que l'hétérogénéité rallonge le temps d'initiation. Ces propriétés ont été vérifiées à la fois dans les cas bi et tridimensionnels.

Cette thèse porte sur la simulation de la propagation et diffraction d'ondes dans un milieu élastique anisotrope hétérogène fissuré à l'aide de méthodes numériques explicites. L'objectif est de développer une méthode numérique performante capable de prendre en compte les détails géométriques ou singularités de la solution de manière précise. Les deux premières parties sont consacrées à des méthodes de raffinement de maillage spatio-temporel. Adapter le pas de temps localement au pas d'espace permet en même temps de diminuer la dispersion numérique dans la grille grossière et de gagner en temps de calcul. Les méthodes proposées sont conservatives, ce qui garantit la stabilité des schémas numériques. La géométrie des fissures est prise en compte par la méthode des domaines fictifs. La troisième partie présente un nouvel élément fini qui garantit la convergence de cette méthode. La dernière partie décrit le couplage entre les techniques de raffinement et la méthode de domaines fictifs.