Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Nous revisitons la méthode classique des paramétrices pour en déduire une minoration et une majoration gaussiennes, pour la solution fondamentale d'un opérateur parabolique général sous forme non divergentielle. Nous utilisons ensuite le fait que la fonction de Neumann Green, d'un opérateur parabolique général sur un ouvert borné régulier, peut être construite comme somme de la solution fondamentale et d'une intégrale de type simple couche parabolique pour établir une minoration gaussienne pour cette fonction de Neumann Green. Le point clef de la preuve réside dans l'effet régularisant, en temps, de l'intégrale de type simple couche. Nous démontrons aussi que cette approche peut être adaptée pour démontrer une minoration gaussienne pour la fonction de Green-Neumann correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert régulier d'une variété riemannienne compacte sans bord. Nous démontrons ensuite une nouvelle majoration gaussienne pour la fonction de Neumann Green correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert Lipschitz d'une variété riemannienne complète. L'intérêt de cette nouvelle majoration est qu'elle ne contient pas le terme habituel d'une exponentielle en temps. Finalement, comme application des estimations gaussiennes, nous donnons un résultat de compacité des potentiels isospectraux en relation avec une formule asymptotique pour les noyaux de la chaleur / We revisit the parametrix method in order to obtain a gaussian two-sided bound for the fundamental solution of a general parabolic operator which is not in a divergence form. Then we use the fact that the Neumann Green function of a general parabolic operator on a regular bounded domain can be constructed as a perturbation of the fundamental solution by a simple-layer potential in order to establish a Gaussian lower bound for this Neumann Green function. The key point of the proof lies in the time-regularising effect of the single-layer potential. We also prove that this method can be adapted to get a lower Gaussian bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on an open subset of a compact Riemannian manifold. In a second part, we prove a new Gaussian upper bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on a Lipschitz domain of a complete Riemannian manifold. The principal interest of this new upper bound is that we do not have the usual exponentiel terme in time in this upper bound. In a last part, as an application of the Gaussian estimates, we give a compactness result of isospectral potentials which is in relation to an asymptotic formule for the heat kernels

Le but de la thèse est de relier entre les propriétés de diffusion des variétés riemanniennes et leur géométrie. On veut plonger une famille de variétés riemanniennes dont la métrique est dépendante d'un paramètre t dans un espace de Hilbert par ces propriétés de diffusion. Plus précisément, à l'aide des fonctions propres du laplacien correspondant ou de son noyau de la chaleur. On démontre qu'on peut construire des plongements par un nombre fini de fonctions propres pour toute famille de variétés riemanniennes (M, g(t)) telle que la métrique g(t) est analytique en fonction de t. Dans le cas où g(t) est de volume constant, on peut construire un plongement avec toutes les fonctions propres. Ce dernier s'appelle plongement G.P.S et donne beaucoup d'informations sur cette famille de variétés. Ensuite, on construit la solution fondamentale P de l'équation de la chaleur non linéaire sur (M, g(t)) telle que g(t) soit de volume constant. Finalement, on émet une conjecture sur ce noyau de la chaleur. Si cette dernière s'avérait vraie, on pourrait plonger (M, g(t)) dans un espace de Hilbert à l'aide de P.

Ce travail de thèse, constitué de deux parties apparemment très différentes, a pour objectif commun de modéliser et simuler certaines interfaces non classiques en mécanique des fluides et en mécanique des solides. Dans la première partie qu'est la partie principale du travail, l'écoulement de Stokes d'un fluide dans un canal encadré par deux parois solides parallèles est étudié. La surface d'une paroi étant supposée lisse, la condition d'adhérence parfaite classique est adoptée pour l'interface fluide-solide homogène correspondante. La surface de l'autre paroi étant supposée rugueuse et capable de piéger de petites poches d'air, l'interface liquide-solide correspondante est donc hétérogène. La première partie de ce travail consiste à homogénéiser l'interface liquide-solide hétérogène de façon à remplacer cette dernière par une interface fluide-solide homogène imparfaite caractérisée par une longueur de glissement effective. Le problème essentiel de déterminer la longueur de glissement effective est résolu par le développement : (i) d'une approche semi-analytique dans le cas où la surface rugueuse est périodique; (ii) d'une approche basée sur la méthode de solution fondamentale dans le cas où la surface rugueuse est aléatoire. Les résultats obtenus par les approches développées sont systématiquement comparés avec ceux délivrés par la méthode des éléments finis. La deuxième partie du travail est de déterminer les modules élastiques effectifs d'un composite fibreux dans lequel les interfaces entre la matrice et les fibres sont imparfaites et décrites par le modèle membranaire. Une méthode numérique efficace basée sur la transformée de Fourier est ainsi développée et implantée pour traiter le cas général où la section d'une fibre peut avoir une forme quelconque / The present work, consisting of two seemingly very different parties, aims at modeling and simulating some non-classical interfaces in fluid mechanics and solid mechanics. In the first part which is the main part of the work, the Stokes flow of a fluid in a channel bounded by two parallel solid walls is studied. The surface of a solid wall being assumed to be smooth, the classic perfect adherence condition is adopted for the corresponding homogeneous fluid-solid interface. The surface of the other wall being taken to be rough and capable of trapping small pockets of air, the corresponding liquid-solid interface is heterogeneous. The first part of this work is to homogenize the heterogeneous liquid-solid interface so as to replace it by an imperfect homogeneous fluid-solid interface characterized by an effective slip length. The essential underlying problem of determining the effective slip length is achieved by developing: (i) a semi-analytical approach when the rough surface is periodic; (ii) an approach based on the fundamental solution method when the surface is randomly rough. The results obtained by the developed approaches are systematically compared with those issued from the finite element method. The second part of the work is to determine the effective elastic moduli of a fiber composite in which the interfaces between the matrix and fibers are imperfect and described by the membrane model. An efficient numerical method based on the fast Fourier transform is developed and implemented to treat the general case where the section of a fiber can be of any shape

Ce travail de thèse a pour but de développer la méthode des éléments frontières (BEM) et la méthode hybride éléments finis/éléments frontières (FEM/BEM) pour l'élastodynamique et la poroélastodynamique, et d'appliquer ces méthodes aux études d'effets de site sismiques et d'interaction dynamique sol-structure. La première partie du mémoire aborde les problèmes théoriques. Les formulations, en domaine temporel, de la BEM et de la FEM/BEM peuvent tenir compte du caractère ouvert des espaces (semi-)infinis. En particulier, la FEM/BEM peut également prendre en compte des comportements matériels complexes. Ces formulations ont cependant des difficultés numériques pouvant limiter leur applicabilité en pratique il s'agit de la stabilité numérique du schéma temporel, de l'augmentation rapide du temps de calcul avec le nombre de pas de temps et de l'effet de la troncature de l'espace semi-infini. Des techniques, destinées à améliorer les performances de ces méthodes, sont alors proposées. Pour l'application de la BEM en poroélastodynamique, une expression a de la solution fondamentale temporelle est proposée, en faisant deux hypothèses l'accélération relative, par rapport au squelette, du fluide interstitiel est négligée et les constituants du milieu (grains solides et fluide) sont incompressibles. Cette solution approchée, en termes de déplacements et de pressions interstitielles, est adéquate pour les sols sous sollicitations sismiques. Toutes les formulations sont validées et intégrées dans le code de calcul HYBRID. La seconde partie de la thèse est consacrée à l'application de la BEM et de la FEM/BEM aux calculs sismiques. Les phénomènes physiques et les caractéristiques principales des effets de site bidimensionnels, dus aux conditions topographiques et géotechniques, sont présentés. On prouve théoriquement que les effets de site peuvent considérablement aggraver le potentiel destructeur du mouvement sismique, car ils amplifient le mouvement, prolongent la durée du séisme et provoquent des mouvements différentiels. Des études paramétriques sont effectuées et montrent l'influence significative sur le mouvement sismique en surface de plusieurs facteurs le contenu fréquentiel de l'excitation, le contraste d'impédance sédiment/substratum, la géométrie du relief ou du bassin (largeur, profondeur ou hauteur, pente, forme), l'épaisseur de la sédimentation, l'effet multicouche et la saturation en eau interstitielle. Une étude, portant sur l'interaction dynamique barrage/fondation, démontre la nécessité de tenir compte de l'effet de flexibilité de la fondation dans les calculs sismiques des barrages en terre.